企業(yè)利潤數(shù)學(xué)模型的建立與分析

王子龍

摘 要 利潤是企業(yè)可持續(xù)發(fā)展的基石，如何用最小的成本獲得更多的利潤是股東繼續(xù)經(jīng)營企業(yè)的根本。本文以企業(yè)利潤最大化為目標(biāo)，通過對其進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立及相應(yīng)的方法分析，并以某企業(yè)往年利潤數(shù)據(jù)為例，進(jìn)行企業(yè)過程數(shù)據(jù)分析，為將數(shù)學(xué)模型分析方法應(yīng)用于企業(yè)經(jīng)營等日常經(jīng)濟管理提供思路。

關(guān)鍵詞 利潤 數(shù)學(xué)模型 數(shù)據(jù)分析 最值

一、引言

隨著社會生產(chǎn)的專業(yè)化與規(guī)模化發(fā)展，在社會資源有限的情況下，人力成本越來越高、環(huán)保壓力越來越大，造成企業(yè)的生產(chǎn)壓力不斷增大，利潤空間也餓越來越小。很多情況下，企業(yè)會通過升級技術(shù)裝備、減少用工成本，進(jìn)而提高實際盈利能力，但是裝備設(shè)施的升級成本也很高，很多企業(yè)無法承受，這就給許多企業(yè)帶來困擾，甚至由于經(jīng)營不善最終導(dǎo)致破產(chǎn)。近些年隨著一些先進(jìn)管理理念的引進(jìn)，企業(yè)家們開始不斷嘗試采用基于數(shù)學(xué)分析的方法，為企業(yè)經(jīng)營提供新的思路與方法。

基于數(shù)學(xué)分析的管理方法主要是借助數(shù)學(xué)模型對企業(yè)全過程進(jìn)行精密管理，通過對實際經(jīng)營過程的不斷分析優(yōu)化，為企業(yè)生產(chǎn)節(jié)約資源，減少不必要的成本支出，給企業(yè)帶來新的利潤空間。本文主要結(jié)合數(shù)學(xué)建模方法，闡述了經(jīng)濟分析中的典型數(shù)學(xué)工具，并以某工廠的利潤進(jìn)行了應(yīng)用分析，為企業(yè)經(jīng)營發(fā)展提供新的方向與基礎(chǔ)。

二、經(jīng)濟分析中的數(shù)學(xué)工具

（一）數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型從概念上說，是借助數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)語言建立的一種描述對象的某種特性所呈現(xiàn)的關(guān)系表達(dá)式。從廣義上來理解，數(shù)學(xué)模型是由數(shù)學(xué)中的相關(guān)概念、公式與理論所組成，建立數(shù)學(xué)模型就是要對現(xiàn)實物理世界進(jìn)行抽象描述，從某種意義上來說，整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可以看成是一門有關(guān)建立數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的科學(xué)。從狹義上來理解，數(shù)學(xué)模型是指描述那些特定問題或特定事物及系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，這也可理解為是對一個系統(tǒng)內(nèi)各變量間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表達(dá)方式。

數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用歷史可以追溯到早期使用數(shù)字的時代，隨著人類采用數(shù)字來進(jìn)行簡單的計數(shù)到現(xiàn)在進(jìn)入數(shù)字化時代，就開始不斷地采用并建立各種對象的數(shù)學(xué)模型，以解決日常生產(chǎn)生活中的各種現(xiàn)實問題。如很多科技工作者主要工作就是對特定對象進(jìn)行特性研究、教師借助數(shù)據(jù)對學(xué)生進(jìn)行綜合評價分析、企業(yè)對生產(chǎn)過程與采購過程數(shù)據(jù)進(jìn)行分析等，其本質(zhì)都是基于特定數(shù)學(xué)模型，借助數(shù)學(xué)方法進(jìn)行內(nèi)在規(guī)律的分析與挖掘。

（二）數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)分析方法

數(shù)學(xué)模型是對真實物理世界的一種描述表達(dá)方式，因此在實際數(shù)學(xué)建模過程中必須要求符合客觀物理規(guī)律，才能為后續(xù)的數(shù)學(xué)分析提供有力的模型基礎(chǔ)，確保得到精確可靠的分析結(jié)果。主要體現(xiàn)在以下三方面：

第一：要求數(shù)學(xué)建模的真實完整性。真實完整性是要求所建立的數(shù)學(xué)模型是真實的、系統(tǒng)的、完整的，且要與實際情況相符合。

第二：要求數(shù)學(xué)建模的簡明實用性。是指在實際建模過程中，盡量地保留系統(tǒng)本質(zhì)問題及內(nèi)在關(guān)系，對于非本質(zhì)的、次要的、對反映客觀真實程度影響不大的要素可以進(jìn)行舍去，這樣在保證模型精度的基礎(chǔ)之上，實現(xiàn)模型簡單化和易操作性，同時也需要兼顧數(shù)據(jù)的可采集性。

第三：要求數(shù)學(xué)建模具有適應(yīng)性。是指隨著外部環(huán)境和人們理解事物能力的變化，只要通過對之前所建立模型中的相關(guān)變量及參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，確保調(diào)整后的模型具有很好的適應(yīng)性。

在模型的基礎(chǔ)之上，要想得到可靠的分析結(jié)果，良好的數(shù)學(xué)分析方法是十分關(guān)鍵的。對經(jīng)濟領(lǐng)域的問題分析，往往最終都轉(zhuǎn)化為求解模型的最值極值問題。

因此可以說，數(shù)學(xué)模型是解決實際問題的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)分析方法是解決實際問題的有力工具，兩者之間具有相互關(guān)聯(lián)，且密不可分的關(guān)系。

三、某工廠利潤的數(shù)學(xué)分析

（一）企業(yè)利潤最大化原則

總所周知，企業(yè)生產(chǎn)的目的是生產(chǎn)銷售商品，進(jìn)而獲得實際利潤，為了衡量企業(yè)的生存擴張能力，其利潤率水平是一個十分關(guān)鍵的指標(biāo)。在實際企業(yè)運營過程中，企業(yè)家們總是追求利潤的最大化。

企業(yè)利潤最大化原則[4]是指產(chǎn)量的邊際收益要等于邊際成本，邊際收益是指生產(chǎn)商品過程中最后增加單位產(chǎn)量所增加的實際收益，而邊際成本是指生產(chǎn)商品過程中最后增加單位產(chǎn)量所需要的實際支出?？梢姡绻詈笤黾訂挝划a(chǎn)品生產(chǎn)時，其邊際收益大于邊際成本，則企業(yè)便會繼續(xù)生產(chǎn)，進(jìn)而實現(xiàn)利潤最大化，否則企業(yè)便會停止生產(chǎn)。從數(shù)學(xué)的最大值原理可以知道，當(dāng)邊際收益與邊際成本相等時，企業(yè)的總利潤最大，可見這是企業(yè)利潤最大化的條件，適合所有的市場結(jié)構(gòu)模型。

（二）某工廠過程數(shù)據(jù)分析

現(xiàn)在以工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品為例進(jìn)行過程數(shù)據(jù)分析。某工廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需要的設(shè)備臺時和兩種原材料的消耗以及資源的限制情況，如表1所示。

其中該工廠每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品A可獲利50元，每生產(chǎn)一單位B產(chǎn)品可獲利100元，因此工廠就會考慮如何生產(chǎn)產(chǎn)品A和B才能實現(xiàn)利潤率最大。

該問題已經(jīng)不是生產(chǎn)技術(shù)問題，而是生產(chǎn)管理問題，為了解決這個實際生產(chǎn)管理問題，其解決的方法是采用數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)分析的工具。因此需要按照文章第2部分所描述的過程進(jìn)行分析。

首先，確定決策變量。工廠目前要決策的是產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的生產(chǎn)量，可以用變量X1和X2來表示，即：決策變量X1表示生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量；決策變量B表示生產(chǎn)產(chǎn)品X2的數(shù)量。由于它們表示產(chǎn)品產(chǎn)量，所以只取非負(fù)數(shù)。

其次，根據(jù)問題的限制條件，列出表示條件的線性不等式。對于臺時數(shù)方面的限制可以表示為x1+x2≤300，原材料的限量可以表示為2x1+x2≤400和x2≤250。除了上述約束外，顯然還有x1≥0，x2≥0。

最后，根據(jù)實際問題所追求的目標(biāo)，列出其線性表函數(shù)式。則總利潤可表示為Z=50x1+100x2。

綜上所述，得到了描述該問題的一組數(shù)學(xué)表達(dá)式：

目標(biāo)函數(shù)為：Max z=50x1+100x2 （1）

約束條件為：

由式（1）（2）所建立的數(shù)學(xué)描述即是對該工廠生產(chǎn)A/B兩種產(chǎn)品的數(shù)學(xué)模型，因此只要對其進(jìn)行數(shù)學(xué)分析即可得到科學(xué)合理的決策依據(jù)。

（三）某工廠數(shù)據(jù)分析結(jié)果

3.2節(jié)所描述的數(shù)學(xué)模型中，目標(biāo)函數(shù)為變量的線性函數(shù)，約束條件也為變量的線性等式或不等式，故此模型稱之為線性規(guī)劃。如果目標(biāo)函數(shù)是變量的非線性函數(shù)，或約束條件中含有變量非線性的等式或不等式的數(shù)學(xué)模型則稱之為非線性規(guī)劃。把滿足所有約束條件的解稱為該線性規(guī)劃的可行解。把使得目標(biāo)函數(shù)值最大（即利潤最大）的可行解稱為該線性規(guī)劃的最優(yōu)解，此目標(biāo)函數(shù)值稱為最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，簡稱最優(yōu)值。

結(jié)合高中所學(xué)的線性規(guī)劃方法，可以根據(jù)線性約束條件采用圖解進(jìn)行分析，如圖1所示。

從圖1就得到了問題的最優(yōu)解為B點，B點的坐標(biāo)為（50，250），因此最佳決策為X1=50，X2=250，此時Z=27500這說明該廠的最優(yōu)生產(chǎn)計劃方案是生產(chǎn)A產(chǎn)品50單位，生產(chǎn)B產(chǎn)品250單位，可得最大利潤27500元。

因此，當(dāng)生產(chǎn)50單位A產(chǎn)品，250單位B產(chǎn)品才能使工廠獲得最大利潤，同樣，在該工廠其他方面的銷售或成本方面的問題也可以采用此類方法進(jìn)行優(yōu)化與解決。當(dāng)然，數(shù)據(jù)的分析必須精準(zhǔn)嚴(yán)密。相信依據(jù)對數(shù)學(xué)模型的合理應(yīng)用加上對實際生活中的需求了解，該工廠在未來的發(fā)展道路上能把利潤最大化并越走越遠(yuǎn)。

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)不僅是工程技術(shù)的基礎(chǔ)，也是企業(yè)經(jīng)營管理和國民經(jīng)濟分析的基礎(chǔ)。本文通過對經(jīng)濟分析中數(shù)學(xué)模型的建立與數(shù)學(xué)分析方法的闡述，來探討經(jīng)濟中的數(shù)學(xué)問題，并通過實例闡述企業(yè)利潤最優(yōu)問題的求解。通過從原理到實例的論述，為企業(yè)經(jīng)營和社會經(jīng)濟中的優(yōu)化問題采用數(shù)學(xué)方法得到解決提供了新思路與新方法，不僅如此，當(dāng)前大數(shù)據(jù)技術(shù)在經(jīng)濟中的分析也正在如火如荼開展，相信在數(shù)學(xué)工具的幫助下，人們將會越來越多地通過數(shù)據(jù)挖掘內(nèi)在的規(guī)律，為人們進(jìn)一步深入掌握經(jīng)濟運行規(guī)律提供有力技術(shù)基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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