導(dǎo)數(shù)證明不等式方法探究

張一生

(湖北省十堰市第一中學(xué) 442000)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí),與其他數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系密切,是歷年高考的必考內(nèi)容.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題多出現(xiàn)在壓軸題位置，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式是函數(shù)綜合問題中的熱點(diǎn)，是高考常見考查內(nèi)容.本文擬對(duì)導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式問題歸類總結(jié)，對(duì)證明方法作一些探究.

一、構(gòu)造函數(shù)法

1.形如f(x)>g(x)的不等式，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)F(x)的最值.

例1 求證: ex≥x+1.

思路探究構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-(x+1)，利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性與最值，可得f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)≥f(0)=0，問題得證.

2.不等式能轉(zhuǎn)化為左右結(jié)構(gòu)相同,轉(zhuǎn)化后形如f(a)>f(b),可構(gòu)造函數(shù)f(x),利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)單調(diào)性,使問題得到解決.

例2 己知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1(a≤-2).

求證:對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

所證|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等價(jià)于f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1

構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+4x,利用導(dǎo)數(shù)證明F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,由x1≥x2,得F(x2)≥F(x1),問題得證.

構(gòu)造函數(shù)h(t)=lnt-t+1(t>1),利用導(dǎo)數(shù)證明h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,h(t)

則g′(x)=lnx2-lnx.由00,g(x)在(0,x2)上為增函數(shù),故g(x)

4.函數(shù)f(x)滿足f(x1)=f(x2),x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),欲證x1+x2<2x0(或x1+x2>2x0),可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(亦可構(gòu)造F(x)=f(x)-f(2x0-x))

例4 (2010年天津理科)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R),如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2>2.

由x1≠x2,且f(x1)=f(x2),不妨設(shè)x1

欲證x1+x2>2,即證x2>2-x1.由x2,2-x1∈(1,+∞),f(x)在(1,+∞)上遞減,只需證f(x2)

構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x),其中x∈(0,1).所證等價(jià)于F(x)<0對(duì)x∈(0,1)恒成立.利用導(dǎo)數(shù),可得F(x)

二、函數(shù)最值比較法

欲證f(x)>g(x),無法通過構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)解決,可嘗試求解f(x)min與g(x)max,利用f(x)min>g(x)max使問題得到解決.

三、中介函數(shù)轉(zhuǎn)化法

欲證f(x)>g(x),可借助中介函數(shù)h(x),通過證明f(x)>h(x)>g(x)實(shí)現(xiàn)目標(biāo).

由教材習(xí)題:lnx

利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式,就是不斷應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸的思想,將函數(shù)進(jìn)行變形,研究函數(shù)性質(zhì),直至出現(xiàn)較易解決的函數(shù)形式,實(shí)現(xiàn)問題解決.