一道極坐標題的解法與變式研究

蘇保明

(云南省蒙自市蒙自一中(新校區(qū)) 661100)

由于近幾年新課標高考數(shù)學卷引入“三選一”選考內容，導致高考卷中時常會考查求曲線的極坐標方程.而解決這類問題的難度不大，只要平時養(yǎng)成勤于思考、勇于探索的學習習慣，就一定能找到解決問題的最佳方法.例如：

題目在直角坐標xOy中，圓C1:x2+y2=4，圓C2:(x-2)2+y2=4.

(1)在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1,C2的極坐標方程；

(2)(略).

此題是一道具有很強的靈活性與挑戰(zhàn)性的高考名題，大部分考生是根據(jù)選修教材《坐標系與參數(shù)方程》中的方法進行求解：

解由圓C1:x2+y2=4，得圓心的直角坐標為C1(0,0)、半徑r1=2.在極坐標系中，設M(ρ,θ)是圓上任意一點，如圖1，所以，圓C1的極坐標方程是ρ=2.

根據(jù)課本上的解法，求圓C2的極坐標方程有以下兩種方法：

解法1 由圓C2:(x-2)2+y2=4，得圓心的直角坐標為C2(2,0)、半徑為r2=2.如圖2，在極坐標系中，設N(ρ,θ)是圓上任意一點，連結C2N.

當O、C2、N三點不共線時，在△OC2N中，由余弦定理得

解法2 由圓C2:(x-2)2+y2=4，得圓心的坐標為C2(2,0)、半徑為r2=2，如圖3，在極坐標系中，設P(ρ,θ)是圓上任意一點，圓C2與極軸相交于點B，連結PB，則OB=4.當O、B、P三點不共線時，

∵OB是圓C2的直徑，

∴∠OPB=90°.

在Rt△OPB中，由邊角關系得

∵OP=ρ，∴ρ=4cosθ.

所以，圓C2的極坐標方程是ρ=4cosθ.

以上兩種方法是課本上或其他資料上的常規(guī)解法，其實，除了以上兩種方法外，還有一種學生容易忽視的方法：可根據(jù)直角坐標與極坐標之間的關系x=ρcosθ，y=ρsinθ，直接代入圓的直角坐標方程，即可轉化為圓的極坐標方程.

解法3 把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入圓C2:(x-2)2+y2=4，得

(ρcosθ-2)2+(ρsinθ)2=4，

∴ρ2cos2θ-4ρcosθ+4+ρ2sin2θ=4，

∴ρ2(cos2θ+sin2θ)=4ρcosθ，

即ρ=4cosθ或ρ=0.

∵ρ=0包含在ρ=4cosθ中，∴ρ=4cosθ.

所以，圓C2的極坐標方程是ρ=4cosθ.

評注解法3是通過直角坐標與極坐標之間的橋梁x=ρcosθ，y=ρsinθ，把圓的直角坐標方程轉化為極坐標方程，利用此法可避免畫圖所用時間，而且計算量不大，通俗易懂，容易掌握，值得借鑒.

變式1 已知圓的直角坐標方程為x2+y2-3x+3y-8=0，求此圓的極坐標方程.

分析此題不必先求出圓心和半徑、再用余弦(或正弦)定理進行求解，而只需把x=ρcosθ、y=ρsinθ直接代入圓的直角坐標方程，即可求出圓的極坐標方程.

解以直角坐標系的原點為極點、x軸的正方向為極軸建立極坐標系，把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入x2+y2-3x+3y-8=0，得

(ρcosθ)2+(ρsinθ)2-3ρcosθ+3ρsinθ-8=0，

∴ρ2(cos2θ+sin2θ)+3ρ(sinθ-cosθ)-8=0，

所以，圓的極坐標方程是

分析若利用課本中的常規(guī)方法顯得較復雜，但是先化為圓的標準方程，再利用直角坐標與極坐標之間的關系x=ρcosθ，y=ρsinθ，就能簡捷求解.

解以直角坐標系xOy的原點O為極點、x軸的正方向為極軸建立極坐標系.

∴圓的標準方程為(x+2)2+(y-3)2=13.

∵x=ρcosθ、y=ρsinθ，

∴(ρcosθ+2)2+(ρsinθ-3)2=13，

∴(ρcosθ)2+4ρcosθ+4+(ρsinθ)2-6ρsinθ+9=13，

∴ρ2(cos2θ+sin2θ)+4ρcosθ-6ρsinθ=0，

即ρ=0或ρ=6sinθ-4cosθ.

∵ρ=0包含在ρ=6sinθ-4cosθ中，∴ρ=6sinθ-4cosθ，

所以，圓的極坐標方程是ρ=6sinθ-4cosθ.

分析先根據(jù)已知圓心的極坐標和半徑求出圓的直角坐標方程，再把x=ρcosθ，y=ρsinθ直接代入圓的直角坐標方程即可求出圓C的極坐標方程.

∵半徑r=4，

∴圓的直角坐標方程為x2+(y-4)2=16，

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴(ρcosθ)2+(ρsinθ-4)2=16，

∴ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-8ρsinθ+16=16，

∴ρ2=8ρsinθ，即ρ=0或ρ=8sinθ.

∵ρ=0包含在ρ=8sinθ中，∴ρ=8sinθ，

所以，圓C的極坐標方程是ρ=8sinθ.

分析先根據(jù)圓的參數(shù)方程求出圓的直角坐標方程，再把x=ρcosθ，y=ρsinθ直接代入圓的直角坐標方程即可求出圓的極坐標方程.

∴圓的直角坐標方程為(x-2)2+(y-2)2=2.

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴(ρcosθ-2)2+(ρsinθ-2)2=2，

∴(ρcosθ)2-4ρcosθ+4+(ρsinθ)2-4ρsinθ+4=2，

∴ρ2(cos2θ+sin2θ)-4ρ(cosθ+sinθ)+6=0，

所以，圓的極坐標方程為