“設(shè)而不求”縱橫談
——對高中數(shù)學(xué)中“設(shè)而不求”解題思想探究和感悟

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué) 114000)

文獻(xiàn)[1]針對運(yùn)用“設(shè)而不求”的解題思想解決解析幾何問題做了很全面的論述，使讀者感受到了該思想在解題中的強(qiáng)大威力和不可取代的作用.事實上除解析幾何單元外，“設(shè)而不求”解題思想在高中數(shù)學(xué)其它章節(jié)同樣有所應(yīng)用，它的作用是能幫助我們解決了看似不可解的數(shù)學(xué)問題，達(dá)到了意想不到的效果，因此，其在其它單元解題中同樣具有強(qiáng)大威力和不可取代的作用.另外，近幾年高考試題對此的考查也有所體現(xiàn)，而且從新課標(biāo)考查數(shù)學(xué)科素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)高考命題的角度來判斷，在其它高中數(shù)學(xué)單元“設(shè)而不求”的解題思想將會有逐步受到重視的傾向，可見對其進(jìn)行進(jìn)一步探究和挖掘是有必要的.

下面分別按高中各單元內(nèi)容列舉幾個例子(不包含解析幾何單元)，試圖通過這些實例對“設(shè)而不求”解題思想在各單元解題中如何運(yùn)用、題型特點、解題思考給予說明.

一、函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用中的“設(shè)而不求”

A.a

C.c

由此得f(2)=f(π-2) ，f(3)=f(π-3).

分析從本題已知條件的結(jié)構(gòu)上來看，通過解出a、b、c的值來判斷大小是不可能的，所以，轉(zhuǎn)而思考利用函數(shù)性質(zhì)解題.從上述解題過程來看，利用偶函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化自變量的數(shù)值范圍，再借助函數(shù)單調(diào)性達(dá)到問題的解決.

A.-2 B.-1 C.1 D.2

略解注意到函數(shù)如下性質(zhì)：1.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，1)對稱的充要條件是f(x)=2-f(2-x).2.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，則其對稱區(qū)間上最值相反.

分析本題同樣是不可直接求出最大小值的問題，所以，思考如何借助函數(shù)性質(zhì)解決.從解題過程看，本題主要是利用函數(shù)圖象關(guān)于點對稱的性質(zhì)解決的.從考綱和教材角度看，簡單的點對稱、直線對稱問題是高考和教材所要求的，所以，對這方面相關(guān)知識的積累與運(yùn)用是必須要掌握的.

縱觀高中數(shù)學(xué)中涉及的函數(shù)性質(zhì)，大致劃分為：奇偶性、對稱性、單調(diào)性、周期性等，這些性質(zhì)都是高考要求的，而且也是可以和“設(shè)而不求”進(jìn)行整合組題的，所以，平時學(xué)習(xí)時，多注意函數(shù)性質(zhì)的積累和挖掘，加之“設(shè)而不求”技巧的運(yùn)用，對提高解題水平是大有幫助的.

二、函數(shù)與方程問題中的“設(shè)而不求”

A.lg12 B.2lg12 C.3lg12 D.4lg12

分析函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)重點知識，也是高考熱點.在眾多的函數(shù)與方程的題型中，不通過求方程根的手段解決問題是重要的、也是有一定難度的問題，本題就是其中之一.就其解法，其解題基本思考是數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合確定根的分布狀況，從而實現(xiàn)問題的解決.

三、存在性問題中的“設(shè)而不求”

四、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的“設(shè)而不求”

又由已知得x∈(-，x1)時f(x)為增函數(shù)，x∈(x1，x2)時f(x)為減函數(shù)，x∈(x2，+)時f(x)為增函數(shù)，所以x2為(x1，x2)上的極小值點，所以

分析本題的解決并不是解出極值點，再進(jìn)行數(shù)值計算得到的，而是借助于導(dǎo)數(shù)在求極值、求單調(diào)區(qū)間、判斷函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用，借助極值對式子進(jìn)行放縮變換而得到的.

五、平面向量中的“設(shè)而不求”

分析問題的解決并不是求x、y的值，而是借助平面向量基本定理和三點共線的結(jié)論等式③，采取代入的辦法建立起x、y的關(guān)系式，達(dá)到求值的目的.

六、三角函數(shù)中的“設(shè)而不求”

從解題過程看，由條件找到函數(shù)對稱軸，再利用正弦函數(shù)在對稱軸處函數(shù)值的特征得到問題的解決.

七、數(shù)列中的“設(shè)而不求”

例8 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S9=54，則a2+a4+a9的值為( ).

A. 9 B.18 C.24 D. 54

略解設(shè)等差數(shù)列的首項為a1, 公差為d，則9a1+36d=54，所以a1+4d=6.又a2+a4+a9=3a1+12d=3(a1+4d)=18，因此答案選B.

分析從等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)來看，求等差數(shù)列中的項一般需要知道首項和公差.顯然由已知條件可以看出要分別求出首項和公差是不可能的，另從運(yùn)用等差數(shù)列等距性角度看，也可直接使用.所以，從這個意義上講，本題是一道解法比較獨特的問題，獨特在將已知和求解式均轉(zhuǎn)化為a1+4d，也就是整體解題，而不是解出數(shù)列的首項和公差.

事實上，關(guān)于“設(shè)而不求”解題技巧在高中數(shù)學(xué)各章節(jié)(包括立體幾何、空間向量)的運(yùn)用還有很多例子，限于篇幅就不過多贅述.

作為“設(shè)而不求”解題技巧運(yùn)用的小結(jié)，筆者感覺一是解題時如何想到運(yùn)用“設(shè)而不求”解題技巧；二是如何入手使用“設(shè)而不求”解題技巧進(jìn)行求解.對于第一個問題我的回復(fù)是看似不可用正常方法推理解決的問題.對于第二個問題我的回復(fù)是在敢于設(shè)未知量的前提下，注意函數(shù)性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、整體解題、公式代入等思想方法的綜合運(yùn)用.