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    基于第三類Chebyshev節(jié)點(diǎn)組的Hermite插值

    2019-03-25 05:54:56許貴橋王彩華
    關(guān)鍵詞:范數(shù)插值解析

    張 靜,黃 蓉,許貴橋,王彩華

    (天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

    在平均框架下研究函數(shù)類的逼近問題是函數(shù)逼近論研究的熱點(diǎn).過去研究的大部分函數(shù)類是具有有限光滑性的函數(shù)空間,近些年許多學(xué)者開始研究具有無限光滑性乃至解析函數(shù)類上的問題,如文獻(xiàn)[1-10].在討論這些問題時(shí),最常見的方法是多項(xiàng)式插值方法,而在以上研究中,誤差分析都是針對光滑函數(shù)的,相應(yīng)于解析函數(shù)的討論大多僅針對Lagrange插值,如文獻(xiàn)[11-13].本文討論基于第三類Chebyshev節(jié)點(diǎn)組的Hermite插值對一種解析函數(shù)類的逼近問題,得到了相應(yīng)量的強(qiáng)漸近階或其值.

    1 預(yù)備知識

    設(shè)n為非負(fù)整數(shù),將定義在[-1,1]上的n階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的全體記為Cn[-1,1],特別地,當(dāng)n=0時(shí),將[-1,1]上的連續(xù)函數(shù)的全體記為C[-1,1].

    為函數(shù) f在[-1,1]上的 Lp范數(shù).

    函數(shù)類An是[-1,1]上的解析函數(shù)的一個(gè)子集,定義如下:

    An={f∈Cn[-1,1]:‖f(n)‖≤1,n=1,2,…}

    n次第三類Chebyshev多項(xiàng)式[14]為

    其中Vn(x)的零點(diǎn)為

    當(dāng)θ=π時(shí),

    對任意 f∈C[-1,1],根據(jù)文獻(xiàn)[15],計(jì)算可得基于上述節(jié)點(diǎn)組{xk}nk=1的Hermite插值多項(xiàng)式為

    其中

    基函數(shù)lk(x)是n-1次多項(xiàng)式,因而插值函數(shù)Hn(f,x)是2n-1次多項(xiàng)式.

    引理[15]若f∈A2n,Hn(f,x)由式(2)給出,則對任意 x∈[-1,1], 存在 ξ∈[-1,1], 使得

    2 Hn在最大范數(shù)下的逼近誤差

    定理1設(shè)f∈A2n,Hn(f,x)由式(2)給出,則對任意 x∈[-1,1], 有

    且式(4)的估計(jì)是精確的.

    證明由文獻(xiàn)[13]知

    且Vn(x)=2nωn(x).由引理有

    于是有

    利用數(shù)學(xué)歸納法可證得

    而當(dāng)θ=π時(shí),Vn(x)=(-1)n(2n+1),從而可知|Vn(x)|的最大值為2n+1,代入式(6)可得式(4)成立.

    此時(shí),式(4)中等號成立,從而此估計(jì)式是精確的,定理1得證.

    在最大范數(shù)下,因?yàn)?/p>

    再由定理1可得如下推論成立.

    推論設(shè)Hn(f,x)由式(2)給出,則有

    3 Hn在Lp范數(shù)下的逼近誤差

    定理2設(shè)Hn(f,x)由式(2)給出,則有

    證明由式(6),當(dāng) f∈A2n時(shí),有‖f(2n)‖≤1,且有

    于是得

    從而可知

    下面計(jì)算‖Vn2‖p.令

    分2種情況討論.

    (1)當(dāng) p=1時(shí).對于 k1有

    其中

    由等價(jià)無窮小知

    又因?yàn)閨sin2m|≤|m|, 故有

    并且

    于是有

    從而

    所以

    由上式和式(10)可得

    所以當(dāng)p=1時(shí),

    (2)當(dāng)p>1時(shí).對于k1有

    其中

    根據(jù) C2,p的定義, 因?yàn)?/p>

    另一方面,

    其中

    因?yàn)?/p>

    故存在常數(shù) C4,使得|v(t)|≤C4, 所以有

    由范數(shù)性質(zhì)可知

    所以

    對于k2有

    所以

    因此

    則p>1時(shí),

    綜上,由式(9)、式(11)和式(16),定理2得證.

    4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

    表1 例1的Hn在最大范數(shù)、L1范數(shù)和L2范數(shù)下的逼近誤差Tab.1 Approximate errors of Hnunder maximum norm,L1norm and L2norm of example 1

    表2 例2的Hn在最大范數(shù)下的逼近誤差Tab.2 Approximate errors of Hnunder maximum norm of example 2

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