大角度單擺微擾解的分析

洪海蓮，馬 豪, 顏慧賢，林俊武，王宗篪

(三明學院 機電工程學院，福建 三明 365004)

單擺是一種重要的物理模型，但是在大學物理教學中，只考慮理想的單擺模型，即擺動角，這是因為當單擺做小角度擺動時，存在的近似，此時單擺運動的微分方程可以認為是線性方程，單擺做簡諧振動，可求得單擺的精確解。在實際應用中，擺動角在很多情況下，如果仍然套用線性方程的公式進行計算，誤差很大，同時也不利于學生對大角度擺角問題的理解。

目前，研究大角度擺角問題的方法主要有相平面法、線性內(nèi)插法、疊代法等，上述方法基本都是將大角度時的非線性方程轉(zhuǎn)化為易于處理的新變量非線性方程，再用較為復雜的貝塞爾函數(shù)或者橢圓函數(shù)來構(gòu)成方程的逼近解，這些方法確定的解析解的逼近精度不高，同時，對這些復雜解的理解仍然存在很大困難。

本文首先應用泰勒級數(shù)展開，用微擾法分析非線性方程，求出周期、圓頻率和振動的表達式，結(jié)果表明大角度擺角的振動為基波與三次諧波的疊加。再用數(shù)據(jù)可視化極高的Matlab軟件，模擬非線性方程的微擾解，同時與理想單擺模型的精確解進行比較，得出誤差，從而用更加簡化、直觀的方式滿足學生對大角度單擺理論的理解。

1 大角度單擺微擾解的確定

設擺球的質(zhì)量為m，擺線的質(zhì)量忽略，其長度為l，由牛頓第二定律可以計算出單擺的微分方程為：

(1)

一般認為在擺動角很小的情況下，θ≤5°，存在θ≈sinθ，此時公式(1)簡化為：

(2)

但是超過這個擺動角的范圍，即θ>5，θ≈sinθ近似不成立，兩者之間存在較大誤差，非線性方程(1)的解很難求出。采用微擾法可以給出該方程的形式解，首先將做級數(shù)展開，如下：

同時，再畫出公式(12)、(13)在擺動角振幅不同情況下的三次諧波和五次諧波系數(shù)ξ，ξ'如圖2

圖2 單擺三次諧波和五次諧波微擾

由圖可以看出，三次諧波的系數(shù)為負值，這與正弦泰勒級數(shù)展開項前為負號一致，其取值范圍在10-2～10-3之間，而五次諧波的系數(shù)為正值，這與正弦泰勒級數(shù)展開項前為正號一致，其取值范圍在10-4數(shù)量級，可見，高次諧波貢獻較小，在大角度擺角范圍，三次諧波是基波強度的1/100倍，五次諧波是三次諧波的1/100倍，并且在范圍內(nèi)ξ'幾乎為零，這意味著擺動角在區(qū)間，形式解展開到三次諧波范圍精確度已經(jīng)很高，并且在內(nèi)，ξ幾乎為零，這表明在小角度范圍內(nèi)，，單擺可以看成是簡諧振動，單擺運動方程的解只包括基波余弦項，不存在高次諧波項。

3 結(jié)論

本文引入微擾方法，推導了單擺的微擾形式解，目的在于將單擺非線性方程簡化，得到簡單易于理解的結(jié)果，避免了對橢圓積分復雜解的解析，利于對單擺問題的理解。本文同時利用計算功能Matlab軟件，對單擺振動周期的精確解和各級微擾解用曲線形式進行比較，并用最小二乘法對各級微擾進行誤差分析，起到更為直觀、簡便理解單擺周期變化的效果，同時，也用Matlab軟件畫出任意擺角情況下的微擾系數(shù)曲線，并根據(jù)作圖結(jié)果逐一分析五次諧波、三次諧波基于擺角大小的選取情況，加深對各級微擾系數(shù)的理解。本文在精度極高的前提下給出的微擾單擺公式簡潔、物理意義明確，進一步充實了對大角度單擺的理解。