Cattaneo模型的緊致有限差分法

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，250358，濟(jì)南)

1 引 言

本文考慮如下的Cattaneo模型：

(1)

其中Ω:={(x,t)∈R2:0≤x≤L,0

在傳統(tǒng)的Fourier定律和Fick擴(kuò)散定律描述的擴(kuò)散現(xiàn)象中，一點(diǎn)在經(jīng)過的一瞬時(shí)，在極遠(yuǎn)處就會(huì)受到該點(diǎn)的擾動(dòng)影響，擾動(dòng)的傳播速度似乎是無限的，然而這個(gè)屬性是非物理的.Cattaneo模型[1]修正了傳統(tǒng)的Fourier定律和Fick擴(kuò)散定律，通過增加一個(gè)松弛時(shí)間項(xiàng)來克服這個(gè)矛盾，由Christov[2]提出了Cattaneo定律的框架,并由Ostoja-Starzewski[3]給出了Maxwell-Cattaneo方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo).Haddad[4]利用Cattaneo-Christov理論研究了Brinkman多孔介質(zhì)的問題，Straughan[5]研究了Cattaneo類型的不可壓縮牛頓流體水平層的熱對(duì)流問題.Ghazizadeh等[6]給出了分?jǐn)?shù)階Cattaneo方程的顯式和隱式兩種格式的有限差分算法，并且Qi等[7]給出了分?jǐn)?shù)階Cattaneo方程的精確解.

緊致有限差分法是一類高精度的有限差分方法，具有高精度、高分辨率以及對(duì)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)要求低等優(yōu)點(diǎn)，受到很多學(xué)者的關(guān)注，1992年,Lele[8]提出了緊致差分格式的一般形式，Dennis和Hundson[9]研究的對(duì)流擴(kuò)散方程的四階緊致差分格式對(duì)后續(xù)研究影響較大.本文提出問題(1)的緊致差分格式，通過對(duì)具體算例進(jìn)行數(shù)值模擬，并與二階差分格式相比較，驗(yàn)證了其精確性和有效性.

2 格式建立

應(yīng)用公式

可得到

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

接下來，在此二階差分格式的基礎(chǔ)上建立4階緊致差分格式，定義算子A,滿足

由文獻(xiàn)[10]中引理1.2(g)，有

其中ξik∈(xi-1,xi+1) .將算子A作用于(2)式兩端，并應(yīng)用(3)、(4)和(5),整理可得

(7)

應(yīng)用文獻(xiàn)[10]中引理1.2(c)、(f)和(e),有

結(jié)合(1)式可得初始條件

對(duì)(7)式整理可得到

其中余項(xiàng)

(8)

其中緊致差分格式的截?cái)嗾`差為O(τ2+h4) .

3 數(shù)值模擬

在方程(1)中令ε=0.1,D=1,u0(x)=sin(πx),u1(x)=0, 由文獻(xiàn)[11,12]可得其精確解為

對(duì)空間步長h和時(shí)間步長τ分別取對(duì)應(yīng)的值，則緊致差分解與二階差分解有以下相應(yīng)的L2誤差以及空間和時(shí)間收斂階.

表1 緊致差分格式L2誤差

表2 二階差分格式L2誤差

由表1、表2可以看出，緊致差分格式(8)可分別得到關(guān)于空間4階收斂，關(guān)于時(shí)間2階收斂，二階差分格式(6)可得到空間、時(shí)間均為2階收斂.

在h相同的情況下，可以明顯地看出緊致差分格式(8)解的誤差小于二階差分格式(6)解的誤差.由此可見,在使用同樣節(jié)點(diǎn)數(shù)的情況下,緊致差分方法的計(jì)算精度優(yōu)于二階差分方法.