動態(tài)規(guī)劃求解中國象棋狀態(tài)總數(shù)

魏印福，李舟軍

（北京航空航天大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院智能信息處理研究所，北京 100191）

中國象棋是一種廣為流傳的完全知識二人零和博弈游戲，形式上與國際象棋極為相似[1-2]，在博弈技術(shù)上二者也有許多共通之處。2016年以來，谷歌相繼推出AlphaGo[3]、AlphaGo Zero[4]、AlphaZero[5]等博弈模型，不僅在圍棋領(lǐng)域完勝人類棋手，在國際象棋、日本將棋上也超越了之前最先進(jìn)的博弈引擎，計(jì)算機(jī)博弈受到人們廣泛關(guān)注。

中國象棋博弈常提及的一個(gè)問題就是中國象棋空間復(fù)雜度，即中國象棋狀態(tài)總數(shù)。現(xiàn)有文獻(xiàn)僅給出中國象棋空間復(fù)雜度數(shù)值卻沒有提供計(jì)算方式，同時(shí)不同文獻(xiàn)給出的數(shù)值存在較大差異。長期以來，中國象棋狀態(tài)總數(shù)這一計(jì)數(shù)問題無人問津，卻又莫衷一是。本文利用中國象棋棋子著法特點(diǎn)把求解中國象棋狀態(tài)總數(shù)問題分解為若干個(gè)子問題，通過動態(tài)規(guī)劃方法分別求解各個(gè)子問題，最終準(zhǔn)確求出中國象棋狀態(tài)總數(shù)，為以后描述中國象棋狀態(tài)總數(shù)提供可靠依據(jù)。同時(shí)，這種計(jì)算中國象棋狀態(tài)總數(shù)的方法除了可用于計(jì)算其他棋類的空間復(fù)雜度，也可以用于構(gòu)造中國象棋棋盤局面哈希函數(shù)[6]、構(gòu)造中國象棋殘局庫[7-8]等方面。

1 問題描述

1.1 中國象棋棋盤棋子

中國象棋棋盤9條豎線，10條橫線，總計(jì)90個(gè)位置[9-10]。棋子分為紅黑兩色，每方16枚棋子，棋子分為7類：車、馬、炮、相、士、將、卒。開始局面如圖1所示。

圖 1 中國象棋開始局面Fig. 1 The start state of Chinese Chess

中國象棋中，“將”和“帥”、“相”和“象”、“卒”和“兵”描述的是同一類棋子。為敘述方便，本文對這3類棋子分別采用“將”、“相”、“卒”的叫法。

為便于用公式表示，本文使用英文縮寫表示相關(guān)棋子，表1描述了棋子的縮寫及其含義，本文使用縮寫表示棋子，例如使用KR表示紅將，KB表示黑將。

表 1 棋子英文表示及其縮寫Table 1 The chess representation and their abbreviation

1.2 走子規(guī)則

車、馬、炮3類棋子可以出現(xiàn)在棋盤的任意位置；相不能過河，只能出現(xiàn)在己方空間中的7個(gè)位置，為便于下文敘述，從左到右、從上到下對“相”的可去位置依次編號為0～6，如圖2所示。

圖 2 相的可去位置及其編號Fig. 2 Xiang’s positions and number

士和將只能在九宮格中，士有5個(gè)可去位置，將有9個(gè)可去位置。如圖3，將九宮格中的9個(gè)位置按照從左到右、從上到下的順序依次編號為0～8。

圖 3 九宮格內(nèi)位置編號Fig. 3 Jiugong position and number

卒的著法分為過河和未過河兩種情況，過河卒可以出現(xiàn)在敵方半棋盤空間中的任意一個(gè)位置，未過河的卒只可能出現(xiàn)在己方最上方2行5列共10個(gè)位置格點(diǎn)上，并且每列至多有一個(gè)卒。

1.3 問題定義

定義中國象棋狀態(tài)總數(shù)問題首先需要定義子問題：給定若干棋子，在滿足中國象棋規(guī)則的情況下，把這些棋子擺放在棋盤上，有多少種可能的放置方式。這里給定的每類棋子個(gè)數(shù)必然都不大于開局時(shí)每類棋子的個(gè)數(shù)。中國象棋狀態(tài)總數(shù)可以用式(1)表示，式中S即為中國象棋狀態(tài)總數(shù)，put表示從棋型到放置方法個(gè)數(shù)的映射，棋型指14種棋子組成的14維向量，每維數(shù)字表示每類棋子的個(gè)數(shù)。

關(guān)于計(jì)算的中國象棋狀態(tài)總數(shù)，需要說明3點(diǎn)：

1) 本文討論的是中國象棋可能出現(xiàn)的全部狀態(tài)，在每步著法都完美的情況下，從初始狀態(tài)出發(fā)可能無法到達(dá)全部狀態(tài)。

2) 本文統(tǒng)計(jì)的狀態(tài)集合中每個(gè)狀態(tài)雙方“將”都是存在的，即本文計(jì)算的全部局面都是游戲尚未結(jié)束的局面。

3) 本文討論的狀態(tài)包括“將帥見面”的情況。在中國象棋規(guī)則中，促成“將帥見面”局面的一方為輸。

本節(jié)對中國象棋棋子、著法進(jìn)行了簡要介紹，對棋子、棋盤進(jìn)行了一些符號約定，對問題給出了形式化描述并明確了中國象棋狀態(tài)總數(shù)所包括的局面。

2 問題求解

2.1 擺放次序

計(jì)數(shù)問題的兩個(gè)基本方法是分類加法和分步乘法[11-12]。當(dāng)使用分步乘法時(shí)，合理的步驟可以減少分類個(gè)數(shù)[13-14]，從而簡便地解決計(jì)數(shù)問題。

給定若干棋子之后計(jì)算擺放方式的個(gè)數(shù)時(shí)，擺放次序至關(guān)重要。下面舉例描述擺放次序的重要性。給定2個(gè)紅車、2個(gè)紅相共4枚棋子，計(jì)算擺放方式個(gè)數(shù)。車的位置比較隨意，可以擺放在棋盤上90個(gè)格點(diǎn)的任意位置，相的位置限制較多，只能擺放在如圖2所示的7個(gè)位置上。如果先考慮相再考慮車，可知有 C72×C828種擺放方式；而如果先考慮車再考慮相就需要分3類情況進(jìn)行討論：

1) 當(dāng)車占用0個(gè)相位時(shí)，車有83個(gè)位置可選，相有7個(gè)位置可選，這種情況有 C823×C72種局面。

2) 當(dāng)車占用1個(gè)相位時(shí)，第1個(gè)車有7種相位可選，第2個(gè)車有83個(gè)位置可選，2個(gè)相有6個(gè)位置可選，這種情況有 C71×C813×C62種局面。3) 當(dāng)車占用2個(gè)相位時(shí)，擺放方式有 C72×C52種。

以上3類情況擺法個(gè)數(shù)之和與“先擺放相，再擺放車”所得結(jié)果相同，但顯然第一種方法需要較少的分類討論。由此例可以看出，計(jì)算狀態(tài)個(gè)數(shù)時(shí)合理規(guī)劃擺放棋子的順序能夠極大簡化問題。

計(jì)算中國象棋狀態(tài)總數(shù)時(shí)，需按照一定次序放置棋子，核心思想是“先難后易”，即先放置限制較多、活動范圍窄的棋子，然后再放置行動靈活、位置自由的棋子。

2.2 問題分解

車、馬、炮可以到達(dá)棋盤上的任何一個(gè)位置，放置最為自由，只需要知道棋盤上有多少個(gè)空白格點(diǎn)，即可通過排列組合計(jì)算出擺法總數(shù)，因此最后考慮這3種棋子的擺放。卒過河后可以到達(dá)敵方陣地的每一個(gè)位置，自由度占半個(gè)棋盤，放在倒數(shù)第2位考慮。將的位置會影響士相的擺放，相的位置會影響未過河卒子的擺放?？紤]將、士、相、卒這4類棋子之間的互相影響關(guān)系及著法特點(diǎn)，擬定擺放順序?yàn)椋簩ⅰ⑹?、相、卒?/p>

綜上，根據(jù)先考慮受限制多的棋子再考慮受限制少的棋子的思路，最終擺放順序?yàn)椋簩?、士、相、卒、車馬炮。

利用分步乘法原理依次處理棋子的擺放，這個(gè)過程可以對問題進(jìn)行層層分解，把問題劃分為若干個(gè)有依賴關(guān)系的子問題。先擺放“將”，“將”擺放完成之后，后面要擺放的“士”和“相”會受到“將”的影響，所以把“將”的位置作為輸入?yún)?shù)向后續(xù)求解模塊傳遞。擺放“士”的時(shí)候可以根據(jù)已擺放“將”的位置，來決定“士”可以擺放的位置有哪些。

整體求解思路為：把已擺放的棋子對未擺放的棋子的影響作為參數(shù)傳遞給后續(xù)子問題，擺放棋子時(shí)參考已擺放棋子的位置來決定當(dāng)前可行的擺放方法。

本節(jié)詳細(xì)描述把中國象棋擺法總數(shù)這個(gè)問題劃分成將、士、相、卒、“車馬炮”5個(gè)子問題，每個(gè)子問題都有明確的輸入，每個(gè)子問題的輸出都是擺法個(gè)數(shù)。子問題之間逐層調(diào)用，最終能夠求得中國象棋狀態(tài)總數(shù)。子問題的定義及其輸入的形式化是整個(gè)求解過程中較為關(guān)鍵的部分。

2.2.1 將

先擺放好雙方的“將”，再考慮子問題：在“將”位置確定的情況下，“士相卒車馬炮”總共有多少種擺法。記此子問題為getShi(KR, KB)，該子問題輸入KR, KB為紅黑雙方“將”的位置。

對“將”的每一種擺放方式，將其余棋子的擺法個(gè)數(shù)累加起來即為中國象棋狀態(tài)總數(shù)。偽代碼如下：

函數(shù)名稱 getJiang

輸入 無；

輸出 擺法種數(shù)s。

1) s = 0；

2) 對于紅將的每個(gè)位置KR∈[0, 9)；

3) 對于黑將的每個(gè)位置KB∈[0, 9)；

4) s+=getShi(KR, KB)

在以上代碼中，KR表示紅方將的位置，KB表示黑方將的位置，累加雙將位置確定之后“士相卒車馬炮”的擺法個(gè)數(shù)即得到中國象棋狀態(tài)總數(shù)，如式(2)：

2.2.2 士

在2.2.1中，在給定“將”位置的情況下，需要計(jì)算“士相卒車馬炮”有多少種擺法。當(dāng)“將”的位置確定后，“士”的可選位置隨之確定。如果“將”在圖3中的0、2、4、6、8號位置，則“將”占用一個(gè)士位，“士”有4個(gè)位置可選；如果“將”在1、3、5、7、9號位置，“將”沒有占領(lǐng)士位，士有5個(gè)位置可選。

對于“士”的每一種擺法，累加“相卒車馬炮”的擺法個(gè)數(shù)，即可得到在“將”位置確定情況下“士相卒車馬炮”的擺法個(gè)數(shù)。記子問題“相卒車馬炮”的擺法個(gè)數(shù)為getXiang(KR, KB, SpaceR, SpaceB)，其中KR、KB輸入表示紅黑雙方將的位置，SpaceR、SpaceB表示雙方空白格點(diǎn)數(shù)。getShi函數(shù)輸入?yún)?shù)為紅將位置和黑將位置，輸出“士相卒車馬炮”擺法總數(shù)。偽代碼如下：

函數(shù)名稱 getShi

輸入 紅將位置KR；黑將位置KB；

輸出 “士相卒車馬炮”的擺法總數(shù)s。

1) s=0；

2) 定義紅士可去位置個(gè)數(shù)：若KR不在士位上NR=5，否則NR=4；

3) 定義黑士可去位置個(gè)數(shù)：若KB不在士位上NB=5，否則NB=4；

4) 對于紅士個(gè)數(shù)的可取值A(chǔ)R∈{0, 1, 2}；

5) 對于黑士個(gè)數(shù)的可取值A(chǔ)B∈{0, 1, 2}；

6) 紅方空白格點(diǎn)數(shù)SpaceR=45-1-AR；

7) 黑方空白格點(diǎn)數(shù)SpaceB=45-1-AB；

8) s+=CNARRCNABBgetXiang(KR, KB, SpaceR, SpaceB)

在上述偽代碼中，擺放好“士”之后，需要乘以“相卒車馬炮”的擺法個(gè)數(shù)，“相卒車馬炮”擺法個(gè)數(shù)通過getXiang函數(shù)實(shí)現(xiàn)?？紤]已擺放的“將”、“士”對“相卒車馬炮”的影響，可以發(fā)現(xiàn)后續(xù)棋子的擺放只依賴于紅將位置、黑將位置、紅方空白格點(diǎn)數(shù)、黑方空白格點(diǎn)數(shù)4個(gè)變量。

2.2.3 相

經(jīng)過以上兩步，“將”和“士”的位置確定了，這兩種棋子對后續(xù)棋子的“影響因素”包括：

1) “將”可能會占用相位，影響“相”的可擺放位置的個(gè)數(shù)；

2) 紅方和黑方各自的空白格點(diǎn)數(shù)，影響“卒車馬炮”的擺放。

問題轉(zhuǎn)化為給定“將”的位置和紅黑雙方空白格點(diǎn)個(gè)數(shù)之后，“相卒車馬炮”有多少種擺法。

“相卒車馬炮”的擺法只跟4個(gè)變量有關(guān)：紅將位置、黑將位置、紅方空白格點(diǎn)數(shù)、黑方空白格點(diǎn)數(shù)。這4個(gè)變量一旦確定，“相卒車馬炮”的擺法個(gè)數(shù)便隨之確定。求解子問題“相卒車馬炮”需要先考慮相的擺法。根據(jù)“將”是否已經(jīng)放在如圖3的1號位置，可以確定相的可選位置的個(gè)數(shù)。

對于“相”的每一種擺法，累加“卒車馬炮”的擺法個(gè)數(shù)，即得“相卒車馬炮”的擺法總數(shù)。記子問題“卒車馬炮”的擺法個(gè)數(shù)為getZu(BPR, BPB,SpaceR, SpaceB)，BPR、BPB分別表示紅相、黑相占用卒位的個(gè)數(shù)，SpaceR、SpaceB分別表示紅黑雙方空白格點(diǎn)數(shù)。偽代碼如下：

函數(shù)名稱 getXiang

輸入 紅將位置KR；黑將位置KB；紅方空白格點(diǎn)數(shù)SpaceR；黑方空白格點(diǎn)數(shù)SpaceB；

輸出 “相卒車馬炮”的擺法總數(shù)s。

1) 定義紅相可去位置個(gè)數(shù)：若KR不在相位上NR=7否則NR=6；

2) 定義黑相可去位置個(gè)數(shù)：若KB不在相位上NB=7否則NB=6；

3) s=0；

4) 對于紅相個(gè)數(shù)的可取值BR∈{0, 1, 2}；

5) 對于黑相個(gè)數(shù)的可取值BB∈{0, 1, 2}；

6) 對于紅相占用紅卒位置的個(gè)數(shù)BPR∈{0, 1, 2}；

7) 對于黑相占用黑卒位置的個(gè)數(shù)BPB∈{0, 1, 2}；

8) 相的放法種數(shù) placeXiang=CBPRCBPBCBR-BPR

22NR-2 CBB-BPB；NB-2

9) s+=placeXiang×getZu(BPR, BPB, SpaceR-BR,SpaceB-BB)。

2.2.4 卒

經(jīng)過以上步驟，“將士相”擺放完成，“卒車馬炮”子問題的輸入包括4個(gè)變量：紅相占用卒位個(gè)數(shù)(可取值0、1、2)、黑相占用卒位個(gè)數(shù)(可取值0、1、2)、紅方空白格點(diǎn)數(shù)、黑方空白格點(diǎn)數(shù)。

“卒”需要分為2類進(jìn)行討論：過河卒和未過河卒。各方過河卒個(gè)數(shù)加上未過河卒的個(gè)數(shù)不超過5，需考慮紅方、黑方各自的過河卒、未過河卒共4類棋子的擺放。

為便于敘述，下面進(jìn)行一些符號約定：

1) SpaceB表示黑方棋盤空白格點(diǎn)數(shù)，SpaceR表示紅方棋盤空白格點(diǎn)數(shù)；

2) PR表示紅方未過河卒的個(gè)數(shù)，PB表示黑方未過河卒的個(gè)數(shù)；

3) P′R表示紅方過河卒的個(gè)數(shù)， P′B表示黑方過河卒的個(gè)數(shù)。

下面以紅方為例，討論過河卒和未過河卒的擺放。

對于過河卒，有 CP′

R

種擺法，其中

SpaceB-PB

SpaceB-PB表示黑方空白格點(diǎn)數(shù)，從這些空白格點(diǎn)選擇 P′

R個(gè)格點(diǎn)分配給 P′R個(gè)紅方過河卒。

對于紅方未過河卒，需要根據(jù)相占用的卒位個(gè)數(shù)和未過河卒的個(gè)數(shù)兩個(gè)變量求出有多少種放置方法，這個(gè)問題可以明確定義為：在2行5列共10個(gè)位置上，放置P個(gè)卒子，其中BP個(gè)相占用了卒位，每列至多放置1個(gè)卒子，在這些約束下求P個(gè)卒子的擺法總數(shù)。這個(gè)子問題解法如下：假設(shè)有i個(gè)卒子放在了被占用的列上，這i個(gè)卒子只有唯一位置。而剩下的P-i個(gè)卒子都有2個(gè)空白格點(diǎn)可選，共計(jì)2P-i種情況。未過河卒放法種數(shù)如式(3)所示：

對于卒子的每一種擺放方式，累加“車馬炮”的擺放方式即得“將士相”確定后，“卒車馬炮”的擺放方式。

2.2.5 車馬炮

“車馬炮”的擺放僅與一個(gè)變量有關(guān)，即整個(gè)棋盤上空白格點(diǎn)數(shù)。枚舉紅黑雙方車、馬、炮的個(gè)數(shù)，使用分步乘法計(jì)算有多少種擺法，如式(4)：

jvmapao(RB, RR, HB, HR, CB, CR)函數(shù)可以使用分步乘法實(shí)現(xiàn)。例如，擺完“將相士卒”之后剩余80個(gè)空白格點(diǎn)，在這些空白位置上擺放2個(gè)紅車、2個(gè)紅馬、2個(gè)黑炮。根據(jù)分步乘法很容易得出擺法總數(shù)為 C820×C728×C726。jvmapao函數(shù)實(shí)現(xiàn)如以下偽代碼所示：

函數(shù)名稱 jvmapao

輸入 空白格點(diǎn)數(shù)Space；紅黑雙方的車馬炮的個(gè)數(shù)RB、RR、HB、HR、CR、CB；

輸出 s，表示“車馬炮”的擺法總數(shù)。

1) s=CRB×CRR；SpaceSpace-RB

2) Space=Space-RB-RR；

3) s=s×CSHpBace×CSHpRa ce-HB；

4) Space=Space-HB-HR；

5) s=s×CCB×CCR。SpaceSpace-CB

2.3 動態(tài)規(guī)劃方法加速求解

利用2.2節(jié)中各個(gè)子問題的性質(zhì)，可以對上述計(jì)數(shù)方法進(jìn)行優(yōu)化。各個(gè)部分輸入?yún)?shù)如圖4。

圖4描述了中國象棋狀態(tài)總數(shù)求解的5個(gè)子問題：

1) 將的擺放；

2) 士的擺放，輸入為紅將、黑將的位置；

3) 相的擺放，輸入為紅將、黑將的位置、紅黑雙方空白格點(diǎn)數(shù)4個(gè)變量；

4) 卒的擺放，輸入為紅黑雙方空白格點(diǎn)數(shù)、紅黑雙方相占用卒位的個(gè)數(shù)；

5) 車馬炮的擺放，輸入為整個(gè)棋盤上空白格點(diǎn) 數(shù)。

每個(gè)子問題都有一條重要性質(zhì)：輸入到輸出為單射。根據(jù)這條性質(zhì)可以為每個(gè)子問題建立一個(gè)映射表，保存函數(shù)輸入和輸出的映射關(guān)系。當(dāng)求解某個(gè)子問題時(shí)，先查詢映射表，如果存在答案則不必再調(diào)用后續(xù)子問題進(jìn)行求解，直接查表得出；如果不存在，則求解該問題并把最終結(jié)果存儲到映射表中，以備下次查詢。這種方法相當(dāng)于為每個(gè)子問題加一層緩存，若未命中緩存則進(jìn)行求解并使用求解結(jié)果更新緩存，若命中緩存則直接返回緩存的答案。這種動態(tài)規(guī)劃技巧又叫備忘錄方法[15-18]，是動態(tài)規(guī)劃的一種變形。

各個(gè)子問題之間具有單向依賴性，動態(tài)規(guī)劃方法避免了子問題之間?層層調(diào)用和重復(fù)調(diào)用。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)得出中國象棋狀態(tài)總數(shù)具體數(shù)值為7 547 040 878 332 418 571 694 532 043 654 081 760 159，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為7.54×1039.88?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中提到的中國象棋狀態(tài)總數(shù)如表2所示，這些結(jié)果都遠(yuǎn)遠(yuǎn)高估了中國象棋空間復(fù)雜度。

表 2 參考文獻(xiàn)中中國象棋空間復(fù)雜度Table 2 The Space Complexity of the Reference Document

如果用定長編碼來描述中國象棋的一個(gè)狀態(tài)，只需對中國象棋狀態(tài)總數(shù)取以2為底的對數(shù)，得到結(jié)果132.47 bit，這就是描述一個(gè)棋盤狀態(tài)最少需要的bit數(shù)。若將中國象棋全部狀態(tài)使用定長編碼存儲下來，需要將狀態(tài)占用bit數(shù)乘以狀態(tài)個(gè)數(shù)，結(jié)果為1.14×1029TB。

為佐證本文結(jié)論，使用另一種粗略方法估計(jì)中國象棋狀態(tài)總數(shù)。下面給出一種簡略的計(jì)算中國象棋狀態(tài)總數(shù)的方法，這種方法給出的是中國象棋狀態(tài)總數(shù)的上界。

首先，只考慮紅方的棋子擺放，記為s。中國象棋包括紅方和白方兩方，所以全部狀態(tài)總數(shù)為s2。下面介紹s的計(jì)算方法。

將和士擺放方法為 j iangShi=C93×3+C92×2+C91。將士在九宮中， C93表示選定3個(gè)位置，乘以3表示為“將”分配3個(gè)位置中的1個(gè)位置。

相的擺放方法數(shù)為： xiang=C72+C71+C70。卒的擺放需要考慮過河卒和未過河卒，過河卒有4放5方個(gè)式格。點(diǎn)故空卒間的，擺未放過方河式卒有有zu5=∑列5i=，0∑每5j=-列0iC有4i5×2C種5j×擺2j種。車的擺放方式： jv=C920+C190+C900。馬和炮的擺法與車完全相同。

在這種簡略計(jì)算方法中，忽略了棋子之間的互相影響，所以應(yīng)該采用分步乘法的方式計(jì)算s，只考慮紅方共有s=jiangShi×xiang×zu×jv3種擺法。

中國象棋狀態(tài)總數(shù)即為s2，約為1042.78?？梢姶致怨烙?jì)結(jié)果與本文計(jì)算結(jié)果更為接近，即便是粗略估計(jì)，現(xiàn)有文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)都是極不準(zhǔn)確的。

4 結(jié)論和展望

基于動態(tài)規(guī)劃的方法求解中國象棋狀態(tài)總數(shù)充分挖掘了中國象棋棋子著法規(guī)律，快速而準(zhǔn)確地求出了中國象棋狀態(tài)總數(shù)，為描述中國象棋空間復(fù)雜度提供了充分依據(jù)，實(shí)驗(yàn)證明現(xiàn)有文獻(xiàn)提供的數(shù)據(jù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠準(zhǔn)確。

該計(jì)數(shù)方法創(chuàng)新點(diǎn)包括兩方面：1)先難后易，把問題分解為若干個(gè)子問題，先擺放約束較多的棋子，后擺放約束較少的棋子，把影響后續(xù)擺放的因素作為參數(shù)向后傳遞；2)在求解每個(gè)子問題時(shí)，動態(tài)規(guī)劃可以減少重復(fù)計(jì)算。

本文提出的計(jì)數(shù)方法可能的應(yīng)用方向包括：1)計(jì)算其他博弈游戲狀態(tài)總數(shù)；2)用于構(gòu)造中國象棋棋盤局面哈希函數(shù)，建立棋盤局面和數(shù)字之間的一一映射；3)尋找可暴力枚舉全部狀態(tài)的棋型，為構(gòu)建中國象棋殘局庫提供依據(jù)。