數(shù)學(xué)精神與高等數(shù)學(xué)教學(xué)

劉強(qiáng) 王書臣 周文書

[摘 要] 數(shù)學(xué)教育在文化的視角下應(yīng)該是數(shù)學(xué)文化教育，數(shù)學(xué)精神是數(shù)學(xué)文化的靈魂，它包括理性思維、創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)家集體人格三部分。在高數(shù)教學(xué)中，要引導(dǎo)大學(xué)生建立積極、健康的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)他們的理性思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神，優(yōu)化他們的人格品質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)精神；高等教學(xué)；教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 1008-2549（2019） 02-0098-02

數(shù)學(xué)是一個(gè)文化體系，數(shù)學(xué)活動(dòng)是一種文化現(xiàn)象，這一點(diǎn)已得到中外專家的普遍認(rèn)同。文化的本意是“以文化人”，從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)文化就含有“以數(shù)學(xué)化人”的意思。數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的主要傳播方式，因此，數(shù)學(xué)教育在文化的視角下應(yīng)該是數(shù)學(xué)文化教育。

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)文理科大部分專業(yè)的最為基礎(chǔ)的一門學(xué)科，承擔(dān)著培養(yǎng)大學(xué)生科學(xué)素質(zhì)和人文素質(zhì)的雙重重任。是大學(xué)生在接受了十二年的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育之后的高級(jí)的數(shù)學(xué)教育，他們?cè)谥行W(xué)掌握了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，并且經(jīng)歷了中考與高考的應(yīng)試數(shù)學(xué)教育的鍛煉與折磨，初步形成了數(shù)學(xué)觀，這其中，很多人的數(shù)學(xué)觀是片面的，甚至是消極的。他們渴望獲得全新的數(shù)學(xué)教育，大學(xué)也有責(zé)任引導(dǎo)他們建立積極、健康的數(shù)學(xué)觀，接受高級(jí)的數(shù)學(xué)文化的熏陶，提高數(shù)學(xué)文化素質(zhì)。然而，傳統(tǒng)的以知識(shí)傳授為主，以掌握數(shù)學(xué)的基本概念、基本技能與方法為目標(biāo)的高等數(shù)學(xué)課程是難以完成這個(gè)任務(wù)的。這就要求我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，深入思考高等數(shù)學(xué)課程作為高等數(shù)學(xué)文化教育的意義，形成理論并付諸實(shí)踐。

文化是人類一切物質(zhì)財(cái)富與精神財(cái)富的總和，從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)文化可理解成數(shù)學(xué)的一切物質(zhì)財(cái)富與精神財(cái)富的總和，數(shù)學(xué)的物質(zhì)財(cái)富就是到目前為止人類所得到的所有的數(shù)學(xué)結(jié)論，它所形成的語言，以及數(shù)學(xué)應(yīng)用到所有領(lǐng)域所取得的成果，它是動(dòng)態(tài)的，時(shí)時(shí)刻刻在積累著，分分秒秒在增加著；數(shù)學(xué)的精神財(cái)富則是指數(shù)學(xué)的思想、方法、觀念、精神、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)的發(fā)展與歷史、數(shù)學(xué)與社會(huì)、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等等。

“文化內(nèi)涵整體至少有 5 個(gè)方面：知識(shí)、思維、方法、原則與精神”，“精神是文化的靈魂：它是前四者融成一體且上升到形而上的境界”[1]。如此看來，數(shù)學(xué)精神應(yīng)該是數(shù)學(xué)文化的靈魂。什么是數(shù)學(xué)精神呢？M. kline說過：“在最廣泛的意義 上 說，數(shù) 學(xué) 是 一 種 精 神，一 種 理 性 的 精神。正是 這 種 精 神，試 圖 決 定 性 地 影 響 人 類 的 物質(zhì)、道德和社 會(huì) 生 產(chǎn)；試 圖 回 答 有 關(guān) 人 類 自 身 存 在提出的問題；努 力 去 理 解 和 控 制 自 然；盡 力 去 探 求和確 立 已 經(jīng) 獲 得 知 識(shí) 的 最 深 刻 的 和 最 完 美 的 內(nèi)涵。”[2]建立數(shù)學(xué)文化教育觀，教師要把自己當(dāng)作數(shù)學(xué)文化的使者，數(shù)學(xué)文化的傳播者，而非知識(shí)的傳授者；學(xué)生也非單純的知識(shí)的接受者，而是數(shù)學(xué)文化的感染者，受益者，將來也應(yīng)是數(shù)學(xué)文化的傳播者。就是要求我們除了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育所關(guān)注的數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值（工具說）和形式訓(xùn)練價(jià)值（思維說）以外，更要關(guān)注它文化價(jià)值，關(guān)注它對(duì)大學(xué)生人文價(jià)值培養(yǎng)的作用。簡(jiǎn)而言之，要倡導(dǎo)一種精神，這種精神來自數(shù)學(xué)精神，它會(huì)為人引入一種價(jià)值觀，這種價(jià)值觀是積極的、健康的、具有理性思維的，也是具有創(chuàng)新意識(shí)的，它會(huì)對(duì)人的發(fā)展和社會(huì)的發(fā)展起著巨大的作用。

數(shù)學(xué)精神包括以下三個(gè)方面。

1 理性思維。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，理性思維首先表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的抽象性上，它從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式，已脫離了對(duì)象的具體內(nèi)容，成為純思維對(duì)象，形成數(shù)學(xué)知識(shí)理論，在此基礎(chǔ)之上進(jìn)一步抽象，形成更高層次的數(shù)學(xué)知識(shí)理論。在此過程中，不斷提煉總結(jié)不同層次的抽象方法，逐漸形成了今天我們普遍認(rèn)同并加以實(shí)用的思維方法，如抽象與概括、歸納與演繹、分析與推理、邏輯與直覺等等。

理性思維的另一個(gè)表現(xiàn)是，數(shù)學(xué)家總是力圖用最簡(jiǎn)練、最精確、最形式化的語言去刻畫現(xiàn)實(shí)自然界與現(xiàn)實(shí)社會(huì)的每一個(gè)現(xiàn)象，它始終追求完美，從兩千多年前人類產(chǎn)生極限的思想和原始概念，到牛頓與萊布尼茲創(chuàng)立微積分，用極限工具解決各種數(shù)學(xué)問題與物理問題，再到柯西等幾代人把微積分基礎(chǔ)化、理論化，形成精確形式化的極限概念，無不體現(xiàn)數(shù)學(xué)家追求完美的理性精神；理性思維還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)家不斷地簡(jiǎn)化人類改造自然與社會(huì)所使用的數(shù)學(xué)方法，使其一般化、擴(kuò)大化。從中國(guó)古代的雙假設(shè)法、孫子算法，到積分計(jì)算面積與體積，以及今天的數(shù)理統(tǒng)計(jì)、大數(shù)據(jù)分析，都是數(shù)學(xué)方法一般化的例證。

2 創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)文化的發(fā)展史就是一部創(chuàng)新與發(fā)展的歷史，數(shù)學(xué)家總是向過去挑戰(zhàn)，打破傳統(tǒng)的思維，形成數(shù)學(xué)的新面貌、新氣象。數(shù)系的每一次擴(kuò)張、數(shù)學(xué)的每一個(gè)猜想的提出、每一個(gè)反例的構(gòu)造、一個(gè)個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的建立等等，都展示著數(shù)學(xué)的創(chuàng)新精神，正是這種創(chuàng)新精神，才使得數(shù)學(xué)不斷地蓬勃發(fā)展、更新，形成枝繁葉茂的參天大樹。創(chuàng)新精神是數(shù)學(xué)發(fā)展的不竭動(dòng)力。

3 數(shù)學(xué)家的集體人格。數(shù)學(xué)文化發(fā)展史也是數(shù)學(xué)家集體人格的展示。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)以及傳播數(shù)學(xué)會(huì)培養(yǎng)人的高貴品質(zhì)，優(yōu)秀的氣質(zhì)。尊重事實(shí)、堅(jiān)持真理、實(shí)事求是、勇于懷疑、勇于批判、勇于探索、堅(jiān)持不懈、敢于創(chuàng)新這些優(yōu)秀品質(zhì)，是一代又一代的數(shù)學(xué)家傳承與沉淀下來的，古希臘的希帕索斯不畏權(quán)威、不畏生死，提出不可公度幾何量，從而引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，這是數(shù)學(xué)家捍衛(wèi)真理的典型代表；中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之祖孫幾代人嘔心瀝血，堅(jiān)持不懈，創(chuàng)造出領(lǐng)先世界的數(shù)學(xué)成果；挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾在貧窮、饑寒、著人冷落的環(huán)境里，堅(jiān)定信念，忍受孤獨(dú)與寂寞，創(chuàng)造出大量的惠及人類的數(shù)學(xué)成果；數(shù)學(xué)家為了解決一個(gè)猜想，可能幾百年，甚至上千年都不舍不棄，費(fèi)馬猜想的解決，從1637年到1995年，用了整整300多年的時(shí)間；非歐幾何的創(chuàng)立到群論的產(chǎn)生等等，舉不勝舉。

數(shù)學(xué)精神是人文精神的重要組成部分，在高等數(shù)學(xué)教育過程中，我們要努力弘揚(yáng)數(shù)學(xué)精神、傳承數(shù)學(xué)精神、貫徹?cái)?shù)學(xué)精神，引導(dǎo)大學(xué)生建立正確的價(jià)值觀，形成優(yōu)良的人文素質(zhì)。在高數(shù)教學(xué)中具體的做法是：

1 引導(dǎo)大學(xué)生建立積極、健康的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)他們的理性思維。受傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育及應(yīng)試教育的影響，很多學(xué)生在中小學(xué)形成的數(shù)學(xué)觀是片面的、消極的，甚至是不健康的。如他們認(rèn)為數(shù)學(xué)只是符號(hào)、定理、公式的堆砌；數(shù)學(xué)只是解題；學(xué)數(shù)學(xué)就是為了考試等等。這種數(shù)學(xué)觀對(duì)大學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展是不利的，我們應(yīng)通過高等數(shù)學(xué)教育幫助他們修正與重新建立數(shù)學(xué)觀。教師在教學(xué)中，要不遺余力的傳遞數(shù)學(xué)精神，特別是數(shù)學(xué)的理性思維的特征與作用，要讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維的力量。如在講解極限定義時(shí)，通過極限的自然語言的描述性定義，過渡到形式化的嚴(yán)格化定義，讓他們明白兩種語言的區(qū)別，知曉形式化語言的必要性。教師可把柯西、魏爾斯特拉斯、戴德金等人堅(jiān)持不懈的進(jìn)行微積分的嚴(yán)密化工作，歷經(jīng)200多年的時(shí)間，才得到我們今天見到的這個(gè)形式化的極限定義的故事講給他們聽，讓他們感悟到數(shù)學(xué)家工作意義，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦；讓他們嘗試用數(shù)學(xué)語言刻畫與描述各種現(xiàn)象。教師可以通過數(shù)學(xué)史的大量案例和現(xiàn)代科技與人文科學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)而得到飛速發(fā)展的典型案例，來闡明無處不在、無處不用的數(shù)學(xué)，從而，明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和目的，通過高數(shù)學(xué)習(xí)，發(fā)展理性思維，完善人文素質(zhì)。

傳統(tǒng)的高數(shù)教學(xué)以掌握基本知識(shí)，培養(yǎng)基本技能為主，強(qiáng)調(diào)計(jì)算，不重視算法的來龍去脈，不重視知識(shí)的發(fā)生過程，不重視概念形成的過程，不重視嚴(yán)格的證明。有些教師把大量的定理證明刪掉了，只留下結(jié)論，應(yīng)用也很少講。這種“掐兩頭，燒中段”的做法是不利于理性思維培養(yǎng)的。今天計(jì)算機(jī)高速發(fā)展，我們應(yīng)降低對(duì)運(yùn)算能力的要求，提高對(duì)推理與證明的要求，加大對(duì)其的評(píng)價(jià)與考核的力度。這樣才能使我們的高等數(shù)學(xué)教育偏向理性思維的培養(yǎng)，從而提高大學(xué)生的科學(xué)與人文素質(zhì)。

2 培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)精神的靈魂與核心是創(chuàng)新精神，創(chuàng)新精神是一個(gè)民族立足的根本，因此，培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新精神是高等教育的頭等目標(biāo)。高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)精神的熏陶與感染，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)創(chuàng)新的經(jīng)典案例，了解創(chuàng)新的意義與創(chuàng)新的思維方法，讓他們學(xué)會(huì)創(chuàng)新，并非馬上就有什么創(chuàng)造與發(fā)明，而是把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給他們，讓他們自主學(xué)習(xí)，自主探索，通過教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生積極主動(dòng)的獲取知識(shí)，讓他們發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，嘗試去解決問題，這樣，很多知識(shí)對(duì)他們來講就是探索發(fā)現(xiàn)的，就是一種初步的創(chuàng)新，長(zhǎng)而久之，創(chuàng)新的意識(shí)就會(huì)逐漸形成，創(chuàng)新精神就會(huì)成為他們?nèi)烁衿焚|(zhì)中的一部分。如講定積分定義時(shí)，首先提出問題：中小學(xué)我們求的平面圖形的面積的邊界曲線，除了圓以外都是直線，當(dāng)邊界曲線是普通的曲線時(shí)，如何計(jì)算呢？然后通過劃分歸類，歸結(jié)為只要解決只有一條邊為曲線的情景，即曲邊梯形的計(jì)算，進(jìn)一步提出問題，如何計(jì)算拋物線與直線圍成的面積，傳統(tǒng)的近似計(jì)算誤差很大，需要我們尋求新的方法，從而引出分割、近似替代、求和、取極限的方法，再進(jìn)一步抽象出定積分的概念，有血有肉，學(xué)生與教師共同探討，知識(shí)是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的，而不是填鴨式的灌輸。當(dāng)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人時(shí)，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)才能有效地落實(shí)。

3 優(yōu)化學(xué)生的人格品質(zhì)。數(shù)學(xué)精神所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)家的集體人格是高品質(zhì)的，它是優(yōu)秀人格的體現(xiàn)，當(dāng)代大學(xué)生身上缺乏的也正是這種尊重事實(shí)、堅(jiān)持真理、實(shí)事求是、勇于懷疑、勇于批判、勇于探索、堅(jiān)持不懈、敢于創(chuàng)新的優(yōu)秀品質(zhì)。在高數(shù)教學(xué)中，教師可將數(shù)學(xué)家軼事、經(jīng)典數(shù)學(xué)事件（如三次數(shù)學(xué)危機(jī)）、數(shù)學(xué)猜想的提出與解決、數(shù)學(xué)分支的誕生等數(shù)學(xué)文化題材植入到教學(xué)過程中，使其與教學(xué)融為一體，每一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)都有所體現(xiàn)，久而久之，學(xué)生得到的不僅僅是熏染，而是實(shí)實(shí)在在的訓(xùn)練與培養(yǎng)。當(dāng)然，人格品質(zhì)的優(yōu)化與完善并不是靠學(xué)生在課堂上光聽教師講就能完成的，更重要的是學(xué)生要參與到數(shù)學(xué)文化的共同建設(shè)中來。一方面我們要加強(qiáng)課堂的雙邊活動(dòng)，把學(xué)生的思維調(diào)動(dòng)起來，讓數(shù)學(xué)教學(xué)真正成為數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，學(xué)生成為知識(shí)的建構(gòu)者；另一方面關(guān)注學(xué)生課下的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，特別是高數(shù)作業(yè)這一重要環(huán)節(jié)，高數(shù)作業(yè)是高數(shù)教學(xué)的延伸，是教學(xué)整體的一部分，它是學(xué)生整理思維、修正思維、完善課堂學(xué)習(xí)的不可或缺的步驟，同時(shí)也是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)、意志品質(zhì)訓(xùn)練的好機(jī)會(huì)。我們?cè)O(shè)計(jì)了很多不同于傳統(tǒng)的高數(shù)作業(yè)形式，如預(yù)案作業(yè)、章節(jié)總結(jié)報(bào)告、小組合作作業(yè)等[3]，嚴(yán)格要求，注重質(zhì)量。學(xué)生做作業(yè)時(shí)，不是簡(jiǎn)單的機(jī)械模仿、重復(fù)操作，而是要求他們認(rèn)真思考，查閱資料，反思自問，自主探索，不斷總結(jié)。教師除了設(shè)計(jì)作業(yè)以外，課下還以線上指導(dǎo)、現(xiàn)場(chǎng)指導(dǎo)等多種形式幫助學(xué)生完成作業(yè)。實(shí)踐證明，這種做法不僅僅提高了他們的數(shù)學(xué)成績(jī)，更重要的是讓他們學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)了思考、學(xué)會(huì)了探索與專研，這表明數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀品質(zhì)正在他們身上發(fā)酵，生根發(fā)芽，一步一步地優(yōu)化著他們的人格品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊叔子. 數(shù)學(xué)很重要，文化很重要，數(shù)學(xué)文化也很重要[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（12）.

[2]王書臣. 民族院校小組合作學(xué)習(xí)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)[J].教書育人（高教論壇），2016（27）.

（責(zé)任編輯：張宏玉）