跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型的校正

高 雄, 張素梅

(西安郵電大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710121)

期權(quán)是指在將來某一時間內(nèi)或者在某一指定時刻以約定價格買入或賣出某一產(chǎn)品的合約[1]，是基本的金融衍生品之一，是一種有效的規(guī)避風(fēng)險工具。標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)通?？煞譃榭礉q期權(quán)(購買權(quán))和看跌期權(quán)(出售權(quán))。根據(jù)交易時間的不同，期權(quán)可分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)[2]。歐式期權(quán)只允許買方在到期日進(jìn)行交易，而美式期權(quán)則允許在到期日或到期日之前的任何一個營業(yè)日進(jìn)行交易。歐式期權(quán)在到期日提出行權(quán)交易，賣出期權(quán)的個人、機(jī)構(gòu)和做市商才會被按比例分派行權(quán)交割任務(wù)，這樣可以避免額外的交易成本。本文研究歐式期權(quán)定價。

Black-Scholes(B-S)模型是金融市場上經(jīng)典的期權(quán)定價模型[3-4]，由于該模型假設(shè)太理想化，無法解釋資產(chǎn)收益的尖峰厚尾和波動率“微笑”現(xiàn)象。如文獻(xiàn)[5]運用B-S模型，得到資產(chǎn)價格與實際市場價格不符，且存在較大差異。文獻(xiàn)[6]在B-S模型基礎(chǔ)上，考慮紅利的影響，分別從連續(xù)支付和離散支付紅利的不同形式的模型出發(fā)，引入紅利因子修正B-S模型，但其使用的蒙特卡羅模擬計算效率較低，需要大量的隨機(jī)抽樣才能得到結(jié)果。文獻(xiàn)[7]利用B-S模型對上證50ETF期權(quán)定價中的5個參數(shù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)模型中有一些理想的假設(shè)，在某種程度上限制模型的應(yīng)用，無法解釋資產(chǎn)收益的尖峰厚尾和波動率“微笑”現(xiàn)象。

為了預(yù)測期權(quán)的實際價格，學(xué)者們對B-S模型的改進(jìn)主要分為以下幾個方面：第一，在標(biāo)的資產(chǎn)價格運行的隨機(jī)B-S模型中加入跳躍部分，得到跳-擴(kuò)散模型[8]，能夠更好地解釋實際資產(chǎn)收益呈現(xiàn)出的微笑和傾斜特征，但它不連續(xù)過程的假設(shè)給預(yù)測期權(quán)定價帶來了困難；第二，修正標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率是常數(shù)的假設(shè)，加入隨機(jī)因子，引入隨機(jī)波動率模型[9]。由于經(jīng)濟(jì)危機(jī)、自然災(zāi)害等重大突發(fā)事件的出現(xiàn)，使得實際資產(chǎn)價格分布呈現(xiàn)出間斷的“跳空”現(xiàn)象，相對于隨機(jī)波動率模型，跳-擴(kuò)散模型能較好地反映這種資產(chǎn)價格的變化規(guī)律。跳-擴(kuò)散模型除了能刻畫股價實際波動的尖峰、厚尾以及波動率微笑特征外，還可以得到許多路徑依賴型期權(quán)的閉式解，如文獻(xiàn)[10]引出雙指數(shù)跳-擴(kuò)散模型并給出了障礙、回望及永久美式期權(quán)的解析解，受到許多學(xué)者以及金融業(yè)界人士的普遍關(guān)注。

目前關(guān)于金融衍生品的研究大多集中在定價領(lǐng)域，對于模型校正的研究還存在不足。由于參數(shù)估計[11]通常會導(dǎo)致大規(guī)模的優(yōu)化問題，近年來，智能優(yōu)化算法[12-13]的發(fā)展給非線性參數(shù)模型估計帶來了新方法，但該算法的參數(shù)設(shè)置對優(yōu)化結(jié)果的影響較為顯著，需要大量的迭代次數(shù)才能得到好的優(yōu)化結(jié)果。文獻(xiàn)[14]利用極大似然估計校正雙指數(shù)跳-擴(kuò)散模型，但極大似然估計在應(yīng)用中存在不足。一方面，它難以實施，為了得到模型參數(shù)的初始估計通常需要4～7 h；另一方面，需要考慮參數(shù)的容許區(qū)間，避免似然函數(shù)變得無窮大。

考慮到通過B-S模型得到的價格與實際市場價格不符的現(xiàn)象，本文擬在跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型下，基于收集到的實證數(shù)據(jù)，運用非線性最小二乘法，以實驗值和市場值的誤差平方加權(quán)和作為目標(biāo)函數(shù)，利用MATLAB中l(wèi)sqnonlin函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計，為跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型校正提供一種新方法。

1 構(gòu)建跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型

期權(quán)定價模型取決于原生資產(chǎn)價格的演化模型。在時間連續(xù)情形下，原生資產(chǎn)價格演化可以通過一個隨機(jī)微分方程來描述，在此基礎(chǔ)上，期權(quán)作為金融的衍生物，期權(quán)的價格確定是一個偏微分方程的定解問題。

定義一個完備概率空間(Ω,F,P)，其中Ω表示樣本空間，F(xiàn)表示信息流，P為風(fēng)險中性概率測度。設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)在t時刻(t∈[0,T]，T為期權(quán)的到期時間)的價格為St，其滿足的隨機(jī)微分方程為

(1)

其中：r為無風(fēng)險利率；σ為波動率；{W(t),t∈[0,T]是{Ω,F,P}上F適應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；常數(shù)h為風(fēng)險資產(chǎn)價格的相對跳躍幅度；{N(t),t∈[0,T]}是{Ω,F,P}上F適應(yīng)的強(qiáng)度為λ的泊松過程；N(t)描述了在t時刻偶然的價格波動引起的回報，如果在t時刻跳發(fā)生，dN(t)=1，否則為0。

設(shè)V=V(St,t)表示歐式期權(quán)價格，構(gòu)建t時刻投資組合為

Πt=V-ΔtSt。

(2)

其中Δt表示t時刻賣出的股票份額。

設(shè)跳躍部分來自于具體公司信息的披露，表示為與市場無關(guān)的“非系統(tǒng)”風(fēng)險，可以認(rèn)為t時刻投資組合Πt的期望收益率是無風(fēng)險利率r，因此，t時刻投資組合Πt的期望收益為

E(dΠt)=rΠtdt。

(3)

在[t,t+dt]時間間隔內(nèi)，股價有以下兩種情況。

第一種情況，令事件P1表示St不發(fā)生跳躍，由伊藤公式[15]得到P1事件下投資組合的增量為

(4)

第二種情況，令事件P2為St發(fā)生跳躍，P2事件下投資組合的增量為

dΠt=V(St+hSt,t)-V(St,t)-ΔthSt。

(5)

由式(3)可知，投資組合的期望收益滿足等式

rΠtdt=λdt[dΠt]+(1-λdt)[dΠt]。

(6)

(7)

設(shè)K是執(zhí)行價格，則方程(7)滿足的邊界條件V(St,T)為

V(St,T)=max (St-K,0)。

(8)

同時，方程(7)滿足的初值條件V(0,t)為

V(0,t)=0。

(9)

根據(jù)式(1)所滿足的偏微分方程(7)，結(jié)合式(8)和式(9)，即得期權(quán)價格。

2 模型校正

2.1 歐式期權(quán)定價

有限差分方法作為數(shù)值方法的一種，相對于其他求解方法，更加穩(wěn)健、有效及精度高，被廣泛應(yīng)用于期權(quán)定價。偏微分方程求解的有限差分法[16]是利用網(wǎng)格線將定解區(qū)域化為離散點集，通過適當(dāng)?shù)耐緩綄⑽⒎址匠屉x散化為差分方程，即構(gòu)造差分格式，把偏微分方程定解問題化為代數(shù)方程組，進(jìn)一步求解方程組，得到定解問題的解在離散點集上的近似值組成的離散解，可把連續(xù)變量的問題轉(zhuǎn)化為離散變量的問題。

(10)

其中：Vi,j表示期權(quán)價格在資產(chǎn)價格和時間上的均勻網(wǎng)格劃分；ΔSt表示資產(chǎn)價格在網(wǎng)格上的步長；Δt表示時間在網(wǎng)格上的步長。

(11)

(12)

式中

zi表示第i個網(wǎng)格的加權(quán)因子。

Vn-1=κVn，(1≤n≤N+1)，

利用邊界條件采用向前歐拉格法[17]即可求得期權(quán)價格。

2.2 非線性最小二乘法

期權(quán)定價是在給定模型參數(shù)基礎(chǔ)上計算期權(quán)的價格，模型校正是通過市場價格反推出理論模型的參數(shù)值，因此模型校正和期權(quán)定價互為反問題。若模型是跳-擴(kuò)散模型，通常無法保證存在唯一解。非線性最小二乘法[18]是以誤差的平方和最小來估計非線性模型參數(shù)的一種參數(shù)估計方法。按一定的規(guī)則選擇若干組參數(shù)值，分別計算它們的目標(biāo)函數(shù)值并比較大小，選出使目標(biāo)函數(shù)值最小的參數(shù)值，采用非線性最小二乘法得到的最優(yōu)模型參數(shù)為

(13)

設(shè)參數(shù)集初始值估計為θ0，將期權(quán)的中間價格作為市場價格，則模型價格與市場價格之間滿足的關(guān)系式為

(14)

其中：ηε是市場第ε個期權(quán)的出價；δε是市場第ε個期權(quán)的開價。式(14)表示不要求模型價格準(zhǔn)確的復(fù)制市場價格，一般在出價和開價區(qū)間內(nèi)。這在校正過程中是合理的，因為建模過程總是在誤差容許范圍內(nèi)產(chǎn)生要求的估計。

本文使用Matlab軟件中的lsqnonlin函數(shù)實施校正算法，計算出的最優(yōu)解和參數(shù)的初始值有關(guān)，雖然得到的解可能不是全局最優(yōu)，但只要滿足式(14)，意味著求出的最優(yōu)解在誤差范圍內(nèi)是可以接受的。

2.3 模型校正算法步驟

模型校正分為歐式期權(quán)定價和最優(yōu)參數(shù)的求解，收集并篩選標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期權(quán)在2018年12月4日的抽樣數(shù)據(jù)，具體步驟如下。

步驟1利用式(10)計算得到歐式期權(quán)價格。

步驟2得到跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型的參數(shù)集θ的初始估計θ0。選擇加權(quán)因子ωε，根據(jù)式(14)計算輸入誤差。將得到的輸入誤差值再代回式(14)得到參數(shù)集θ的初始估計θ0。

步驟3計算由模型得到的期權(quán)價格和市場價格之間偏差。

步驟4將步驟3得出的結(jié)果代入式(13)可得到跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型的最優(yōu)參數(shù)值。

3 實證分析

實證分析使用標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期權(quán)[19]在2018年12月4日的抽樣數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)是由168個看漲期權(quán)價格組成，執(zhí)行價格在2 700元到2 800元變動。每個期權(quán)的出價和開價均已知。期權(quán)的到期時間從45天到300天不等。由于期權(quán)價格對利率不靈敏，且利率在每天的基礎(chǔ)上變化很小，因此，可以設(shè)定無風(fēng)險利率為年利率0.13%，且假設(shè)市場無分紅。

利用lsqnonlin函數(shù)實施校正算法。根據(jù)式(14)，通過不斷地調(diào)整初始參數(shù)值 進(jìn)行重新校正。選擇兩組初始值對跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型進(jìn)行參數(shù)估計，校正結(jié)果如表1所示。

表1 兩組初始值的校正結(jié)果

由表1可以看出，校正結(jié)果整體出現(xiàn)細(xì)小的波動。隨著每個初始參數(shù)值的增加，初始值2與估計值2之間誤差減小。表明通過校正得到的估計值2為模型參數(shù)的局部最優(yōu)值，更加符合實際市場的模型參數(shù)。

為檢驗校正的效果，使用4個校正測度[20]，平均相對百分比誤差(average relative percentage error,ARPE)，平均絕對百分比誤差(absolute percentage error,APE)，均方根誤差(root mean square error,RMSE)和平均絕對誤差(average absolute error,AAE)。設(shè)ARPE為ω1，則

(15)

其中：Cmod為模型的價格；Cmar為市場價格。

設(shè)APE為ω2，則

(16)

其中mean(·)表示求均值。

設(shè)RMSE為ω3，則

(17)

設(shè)AAE為ω4，則

(18)

將由式(1)得到的期權(quán)價格和抽樣數(shù)據(jù)中的市場價格，代入上述4個校正測度，得到跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型校正誤差結(jié)果如表2所示。

表2 校正誤差結(jié)果

從表2可以看出，ω1與ω2兩個校正測度之間的誤差非常小，不超過0.082，ω3與ω4測度之間的最大誤差為0.412 8，表明模型得到了較好的校正。

利用表1中的估計值2作為模型參數(shù)，得到跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型下的歐式看漲期權(quán)價格，再將其作為市場價格帶入B-S模型的定價公式反推出隱含波動率，繪制出該模型在不同到期日下的隱含波動率變化曲線，如圖1所示。

圖1 不同到期日的隱含波動率曲線

由圖1可以看出，在期權(quán)到期時間相同的情況下，跳幅度常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型的隱含波動率與執(zhí)行價格成反向關(guān)系，即隨著執(zhí)行價格的增加而逐漸下降。在期權(quán)的執(zhí)行價格相同時，隨著到期日的增加，波動率逐漸增大，出現(xiàn)波動率傾斜的現(xiàn)象，彌補了B-S模型波動率是常數(shù)的缺陷，表明提出的跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型，更加符合實際市場。

根據(jù)表2中的估計值2繪制跳-擴(kuò)散模型三維隱含波動率圖。對于估計值2中的3個參數(shù)分別繪制隱含波動率三維圖像。當(dāng)波動率 的取值分別為0.202 8、0.264 8時，其結(jié)果如圖2所示。

(a) 波動率σ=0.202 8

(b) 波動率σ=0.264 8

當(dāng)h的取值分別為-0.286 7、-0.410 3時，其結(jié)果如圖3所示。

(a) 跳躍幅度h=-0.286 7

(b) 跳躍幅度h=-0.410 3

當(dāng)λ的取值分別為0.942 8、1.272 4時，其結(jié)果如圖4所示。

(a) 跳躍強(qiáng)度λ=0.942 8

(b) 跳躍強(qiáng)度λ=1.272 4

由圖2、圖3和圖4可以看出，跳-擴(kuò)散模型隱含波動率三維圖像不是對稱的，體現(xiàn)出明顯的“波動率微笑”特征。從圖2可以看出隨著波動率σ的增大，期權(quán)的隱含波動率圖像變化明顯；從圖3可知隨著跳躍幅度h的減小，隱含波動率的變化相對變化緩慢；從圖4可知，隨著跳躍強(qiáng)度λ的增大，隱含波動率圖像變化明顯。由此可知，波動率σ和跳躍強(qiáng)度λ的變化對隱含波動率的影響相對較大。

上述結(jié)果表明，隨著檢驗到期時間和跳參數(shù)變化對隱含波動率的影響，所提出的跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散?？梢孕拚鼴-S模型的波動率曲線是一條直線的假設(shè)，能夠解釋實際市場資產(chǎn)收益變化的波動率呈現(xiàn)的“微笑”特征，表明該模型的校正算法具有穩(wěn)定性和實用性。

4 結(jié)語

運用實際數(shù)據(jù)和校正算法對跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型進(jìn)行了校正。提出了跳影響下的市場模型，利用非線性最小二乘方法，將模型和校正方法應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期權(quán)進(jìn)行實證分析，得到模型的最優(yōu)參數(shù)。繪出了跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型在不同到期日下的隱含波動率變化曲線圖。檢驗跳參數(shù)對隱含波動率圖像的影響，其中波動率 和跳躍強(qiáng)度 的變化對隱含波動率的影響較大。結(jié)果顯示，跳幅度為常數(shù)的跳-擴(kuò)散模型修正了B-S模型的波動率曲線是一條直線的假設(shè)，解釋了實際市場資產(chǎn)收益變化的波動率呈現(xiàn)的“微笑”特征，但資產(chǎn)收益的“尖峰厚尾”、“波動聚類”現(xiàn)象沒有得到很好的體現(xiàn)。