改進的卡爾曼濾波的銣原子鐘鐘差預測

張繼榮, 湯利娜

(西安郵電大學 通信與信息工程學院， 陜西 西安 710121)

鐘差預測[1]是原子鐘運行狀態(tài)預測以及原子鐘系統(tǒng)駕馭精度提高的關(guān)鍵。根據(jù)原子鐘的歷史鐘差數(shù)據(jù)，可通過鐘差預測對原子鐘下一刻的鐘差進行估計。但是，原子鐘受自身特性和環(huán)境噪聲的影響，會產(chǎn)生瞬時變化，進而影響其同步性能。目前，銣原子鐘因其相對便宜的價格優(yōu)勢，已廣泛應(yīng)用在實際工程中。

常用的鐘差預測算法包括一次線性回歸算法[2]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[3]、二次項模型[4]和支持向量機(support vector machine，SVM)[5]。一次線性回歸法雖然簡潔易實現(xiàn)，但估計精度低。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法具有記憶不穩(wěn)定、學習速度慢等缺點，使用不當會導致預測結(jié)果與真實結(jié)果背離[6]。二次項模型簡單易實現(xiàn)，能得到變化趨勢，但精度不高[7]。SVM的精度高，但是主要依賴于SVM核函數(shù)和參量的選擇，鐘差序列為非平穩(wěn)的序列，固定的核函數(shù)和參數(shù)無法滿足不同的頻率分量[8-9]。

卡爾曼(Kalman)濾波[10]算法具有較高的魯棒性，基于Hadamard方差的卡爾曼濾波模型對銣原子鐘進行鐘差預報時，測精度較高[11]。但是環(huán)境的干擾導致卡爾曼濾波算法會出現(xiàn)濾波發(fā)散的問題[12]。因此，針對Kalman濾波的發(fā)散問題，本文提出一種改進的卡爾曼濾波算法。通過加入SVM的懲罰措施和幅值限制，調(diào)整銣原子鐘的調(diào)整參數(shù)，對銣原子鐘狀態(tài)進行估計，從而減小因鐘差跳變對銣原子鐘同步信號的影響。

1 鐘差特性

采用全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)接收機輸出的秒脈沖信號為標準參考源，得到銣原子鐘及其鐘差，根據(jù)鐘差值估計銣原子鐘的調(diào)整參數(shù)，最終實現(xiàn)對銣原子鐘的控制。

銣原子鐘的噪聲包括白色調(diào)相噪聲、閃變相位噪聲、白色頻率噪聲、閃變調(diào)頻噪聲和隨機游走頻率噪聲[13-14]。銣原子鐘與標準參考源之間的差規(guī)律[11]為

(1)

其中a，b，c分別為銣原子鐘的調(diào)整參數(shù)。a為起始銣原子鐘與標準參考時源的鐘差；b為起始銣原子鐘的頻率與標準參考頻率的差；c為老化率，由銣原子鐘本身性質(zhì)變化決定[11]，ξ(t)為噪聲部分，t為時間。

2 Kalman濾波算法鐘差預測

卡爾曼濾波算法采用遞歸方法，在每步進行遞歸運算時，只需考慮前一時刻輸入信號即可。因此，提高前一刻狀態(tài)估計精度，便能提高卡爾曼濾波算法的鐘差預測精度。

在進行銣原子鐘鐘差預測時，第i次采樣的狀態(tài)向量由調(diào)整參數(shù)a，b，c構(gòu)成，表達式為

xi=[a(i),b(i),c(i)]T。

第i-1次采樣到第i次采樣的狀態(tài)向量迭代表達式[11]為

xi=Axi-1+qi-1。

(2)

其中:A為系統(tǒng)傳輸矩陣，是常數(shù)陣，與采樣間隔有關(guān)；qi-1為三維噪聲，服從均值為零的正態(tài)分布，時間上互不相關(guān)。

第i次采樣的鐘差測量值[11]為

yi=Hxi+ri。

(3)

其中：H=[1,0,0]為量測矩陣；ri為一維白噪聲。

第i次采樣后，狀態(tài)向量xi的先驗誤差方差陣為

(4)

其中：Pi-1為前一刻后驗誤差方差陣；Q為狀態(tài)噪聲的方差陣。

狀態(tài)向量xi的先驗估計值為

(5)

(6)

更新誤差方差陣為

(7)

用于下一時刻先驗誤差方陣的計算，其中I為單位矩陣。

3 改進的Kalman 濾波算法鐘差預測

2) 加入幅值限制，改善鐘差預測可能出現(xiàn)較大跳變影響下級時鐘的同步跟蹤問題，提高估計精度。

4 實驗結(jié)果及分析

選取中國科學院國家授時中心提供的兩組鐘差數(shù)據(jù)作為實驗數(shù)據(jù)，分別利用Kalman濾波算法和改進的Kalman濾波算法進行鐘差預測。第1組數(shù)據(jù)為2018年7月29日0時到2018年7月30日0時的數(shù)據(jù)，共有288個數(shù)據(jù)點；第2組數(shù)據(jù)為2018年8月31日0時到2018年9月1日0時的數(shù)據(jù)，共288個數(shù)據(jù)點。以每組數(shù)據(jù)的前50個鐘差數(shù)據(jù)作為訓練集，后238個鐘差數(shù)據(jù)為比對數(shù)據(jù)進行預測。

4.1 兩種算法的鐘差預測結(jié)果

第1組鐘差數(shù)據(jù)的Kalman濾波算法和改進的Kalman濾波算法的鐘差預測結(jié)果如圖1所示。相對預測誤差為鐘差的測量值和預測值的差與測量值的比值的絕對值，兩種算法的預測相對誤差如圖2 所示。

(a) Kalman濾波算法的鐘差預測結(jié)果

(b) 改進的Kalman濾波算法的鐘差預測結(jié)果

圖2 兩種算法第1組鐘差數(shù)據(jù)的預測相對誤差

第2組鐘差數(shù)據(jù)的Kalman濾波算法和改進的Kalman 濾波算法的預測結(jié)果如圖3所示。相對預測誤差如圖4所示。

(a) Kalman濾波算法的鐘差預測結(jié)果

(b) 改進的Kalman濾波算法的鐘差預測結(jié)果

圖4 兩種算法第2組鐘差數(shù)據(jù)的預測相對誤差

由圖1、圖2、圖3和圖4分別可以看出，Kalman濾波算法和改進的Kalman濾波算法都可以實現(xiàn)對銣原子鐘鐘差數(shù)據(jù)的變化趨勢跟蹤。但是，在鐘差出現(xiàn)較大波動時，Kalman濾波算法的預測誤差較大，而改進的Kalman濾波算法的預測誤差相對減小。Kalman濾波算法的預測誤差方差為0.718，改進的Kalman濾波算法為0.565。與Kalman濾波算法相比，改進的Kalman濾波算法的預測精度有明顯提高。

4.2 系統(tǒng)參數(shù)對預測結(jié)果的影響

1) 懲罰系數(shù)影響

通過改變懲罰系數(shù)的值，同時保持其他參數(shù)值不變，獲得與每個懲罰系數(shù)相對應(yīng)的平均相對預測誤差，進而對懲罰系數(shù)對估計精度產(chǎn)生的影響進行分析，結(jié)果如圖5所示。

圖5 懲罰系數(shù)對預測誤差的影響結(jié)果

對懲罰系數(shù)處于0～0.9范圍內(nèi)的預測誤差進行分析，可以看出，當懲罰系數(shù)接近0時，平均相對預測誤差較大；當其處于0.4～0.65范圍內(nèi)時，平均相對預測誤差相對較小；當懲罰系數(shù)接近1時，平均相對預測誤差會隨著懲罰系數(shù)的增大而驟然增大。因此，適當?shù)膽土P系數(shù)對算法平均相對預測誤差的減小起促進作用，進而提升估計精度。

2) 幅值限制影響

對限制幅度值進行改變，同時保持其他參數(shù)值不變，得到與每個限制幅度值對應(yīng)的平均相對預測誤差，進而分析限制幅度值對預測精度的影響，結(jié)果如圖6所示。

圖6 幅值限制對預測誤差的影響結(jié)果

從圖6可知，當限制幅度小于5時，平均相對預測誤差較大。當幅度值處于2～30范圍內(nèi)，隨著限制幅度的擴大，平均相對預測誤差降低。當限制幅度值處于10～15范圍內(nèi)，平均相對預測誤差達到最?。划斚拗品刃∮?時，會限制算法的正常預測，從而使平均相對預測誤差較大；限制幅度過大時，導致算法異常值的預測失去限制作用。因此，選擇適當?shù)南拗品担拗茖ο到y(tǒng)異常跳變值的估計，從而降低了系統(tǒng)平均相對預測誤差，提升了銣原子鐘的估計精度。

從上述實驗結(jié)果可以看出，改進的Kalman濾波算法與Kalman濾波算法相比，能明顯提高預測精度，且合適的參數(shù)選取對算法預測精度的提高有促進作用。

5 結(jié)語

改進的Kalman濾波算法，通過加入預測懲罰和幅值限制等措施對銣原子鐘鐘差進行預測，提高了鐘差預測精度，且改善了Kalman濾波算法在鐘差數(shù)據(jù)存在較大跳變時產(chǎn)生較大預測誤差的問題。實驗結(jié)果表明，改進的Kalman濾波算法與Kalman濾波算法相比，能明顯提高預測精度，且合適的參數(shù)選取對算法預測精度的提高有促進作用。