數(shù)學(xué)建模競賽成果診斷倒逼教學(xué)資源庫優(yōu)化的機制研究*

王積建，章紀(jì)順

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江溫州 325003）

一、引言

自從教育部頒布《關(guān)于開展高等職業(yè)教育專業(yè)教學(xué)資源庫2010 年度項目申報工作的通知》以來，高職院校開展了轟轟烈烈的教學(xué)資源庫建設(shè)工作，建設(shè)成果促進了優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源的共建共享和高職教育的協(xié)同發(fā)展，尤其在專業(yè)建設(shè)、課程改革、校企合作等方面成效顯著[1]。然而，由于教學(xué)資源庫的建設(shè)存在供需錯配、持續(xù)更新機制缺乏、內(nèi)容適切性不足、重建設(shè)輕應(yīng)用、重數(shù)量輕質(zhì)量、重實踐輕理論等問題[2-6]，使得教學(xué)資源庫的應(yīng)用與推廣效果大打折扣。

數(shù)學(xué)建模是溝通數(shù)學(xué)和應(yīng)用的橋梁。為了培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，高職院校普遍開設(shè)了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗課程，并且積極參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。該項賽事創(chuàng)辦于1992 年，每年一屆，是教育部首批列入“高校學(xué)科競賽排行榜”的19項競賽之一[12]。數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫建設(shè)對于促進數(shù)學(xué)建模課程改革、提高教學(xué)質(zhì)量、增強數(shù)學(xué)建模能力具有顯著的作用，同時也能夠顯著提高數(shù)學(xué)建模競賽的成績。本文從數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫建設(shè)與數(shù)學(xué)建模競賽成績的關(guān)系出發(fā)，探索建立數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫逐年持續(xù)優(yōu)化的機制，為解決教學(xué)資源庫建設(shè)存在的諸多問題提供一個有效的途徑。

二、相關(guān)理論簡介

（一）SD方法

系統(tǒng)動力學(xué)（System Dynamics，SD）是由美國麻省理工學(xué)院福雷斯特（Forrester,J.W.）教授于1956年創(chuàng)立的，適合于針對戰(zhàn)略性、長期性、周期性、動態(tài)性、精度要求不高的復(fù)雜問題的研究與分析。SD 方法最初應(yīng)用于企業(yè)管理領(lǐng)域，被稱為工業(yè)動力學(xué)，主要解決工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)、銷售、市場配置等問題，后來擴展到宏觀領(lǐng)域的區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展問題，再擴展到生態(tài)環(huán)境、社會管理等領(lǐng)域，SD 方法作為研究復(fù)雜系統(tǒng)問題的有效方法得到了認(rèn)證，并在20世紀(jì)90年代得到了廣泛傳播與應(yīng)用[8-10]。

（二）閉環(huán)系統(tǒng)

錢學(xué)森先生對系統(tǒng)是這樣定義的：系統(tǒng)是由相互作用和相互依賴的若干組成部分結(jié)合成的、具有特定功能的有機整體[11]。系統(tǒng)分為閉環(huán)系統(tǒng)和開環(huán)系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)又分為正反饋閉環(huán)系統(tǒng)和負反饋閉環(huán)系統(tǒng)，正反饋閉環(huán)系統(tǒng)具有循環(huán)自激功能[12]。

三、競賽成果診斷倒逼課程體系優(yōu)化的機制

截至2018年，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已經(jīng)成功舉辦27 年了。因為該競賽具有系統(tǒng)性、周期性、動態(tài)性、長期性的特點，所以SD 方法和閉環(huán)系統(tǒng)適合于研究數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫建設(shè)與數(shù)學(xué)建模競賽論文水平的復(fù)雜聯(lián)動關(guān)系。

為方便起見，將數(shù)學(xué)建模競賽成果診斷倒逼數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫建設(shè)與優(yōu)化的機制稱為“倒逼機制”。另外，數(shù)學(xué)建模競賽是以論文的形式提交研究成果的，競賽成果實際上就是競賽論文。

（一）倒逼機制閉環(huán)系統(tǒng)的建立

本研究的基本假設(shè)如下：

（1）優(yōu)化數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫，能夠完善學(xué)生的數(shù)學(xué)建模知識結(jié)構(gòu)，提高數(shù)學(xué)建模能力、培養(yǎng)創(chuàng)新思維和團隊合作精神，從而能夠有效提高數(shù)學(xué)建模競賽論文的水平。

（2）針對數(shù)學(xué)建模競賽論文的診斷，反過來能夠刺激數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫的優(yōu)化。

基于以上假設(shè)，建立數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化倒逼機制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化倒逼機制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

由圖1 可知，倒逼機制的系統(tǒng)由數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化子系統(tǒng)、數(shù)學(xué)建模競賽子系統(tǒng)、數(shù)學(xué)建模競賽論文診斷子系統(tǒng)組成。數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化子系統(tǒng)是指通過對數(shù)學(xué)建模資源庫的優(yōu)化，達到完善學(xué)生數(shù)學(xué)建模知識體系、提高數(shù)學(xué)建模能力、培養(yǎng)創(chuàng)新思維和團隊合作精神的目標(biāo)。數(shù)學(xué)建模競賽子系統(tǒng)是指系統(tǒng)地組織大學(xué)生參加當(dāng)年（第t 年）的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽；數(shù)學(xué)建模競賽論文診斷子系統(tǒng)是指通過對當(dāng)年（第t 年）競賽論文的診斷，總結(jié)經(jīng)驗與教訓(xùn)，尋找差距和不足，為下一年（第t+1 年）數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫的優(yōu)化打好基礎(chǔ)。

由圖1 可知，倒逼機制系統(tǒng)是一個閉環(huán)系統(tǒng)，即“數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化→數(shù)學(xué)建模競賽→數(shù)學(xué)建模競賽論文診斷→再優(yōu)化→…”。

（二）倒逼機制閉環(huán)系統(tǒng)中各子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

1.數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化子系統(tǒng)

數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化子系統(tǒng)如圖2所示。

數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫由4 個一級子庫組成，分別是數(shù)學(xué)模型資源庫、建模方法資源庫、算法資源庫、數(shù)學(xué)實驗資源庫。一級子庫還可以細分為二級子庫，二級子庫細分為三級子庫，等等。

數(shù)學(xué)模型資源庫包含各類數(shù)學(xué)模型，如線性規(guī)劃模型、多目標(biāo)規(guī)劃模型等；建模方法資源庫包含各類建模方法，如層次分析法、灰色預(yù)測法、逼近理想解法等；算法資源庫包含求解模型用到的各種算法，如遺傳算法、蒙特卡洛模擬法等；數(shù)學(xué)實驗資源庫包含MATLAB、LINGO、SPSS等數(shù)學(xué)軟件的計算命令等，如使用MATLAB軟件求解多元線性回歸模型的regress命令等。

通常我們無法對下一年數(shù)學(xué)建模競賽試題或者涉及的領(lǐng)域（如物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟、管理等）做出精準(zhǔn)預(yù)測，但是可以對下一年競賽的重點或熱點做出大致預(yù)測。例如，從數(shù)學(xué)應(yīng)用角度預(yù)測，競賽熱點是最優(yōu)化、大數(shù)據(jù)等；再如，從社會熱點角度預(yù)測，2009 年競賽熱點可能與地震有關(guān)（2008年5月12日發(fā)生了汶川地震）?；诖耍覀冊诘趖年數(shù)學(xué)建模競賽論文診斷報告的基礎(chǔ)上，開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化，優(yōu)化的目標(biāo)是讓第t年的競賽論文得分趨于100分，即“論文得分→100分”。

優(yōu)化目標(biāo)“論文得分→100 分”具有“反射鏡”的作用，通過這面鏡子，將處于資源庫之外的建模知識納入資源庫，并通過有效教學(xué)使學(xué)生熟練掌握這些內(nèi)容，由此可見，倒逼機制系統(tǒng)是一個正反饋閉環(huán)系統(tǒng)。

2.競賽子系統(tǒng)

競賽子系統(tǒng)如圖3所示。

圖2 數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化子系統(tǒng)

圖3 競賽子系統(tǒng)

3.競賽論文診斷子系統(tǒng)

競賽論文診斷子系統(tǒng)如圖4 所示（圖中實線方框表示實物或行為，虛線方框表示維度）。

圖4 競賽論文診斷子系統(tǒng)

指導(dǎo)教師賽后研究論文是指競賽指導(dǎo)教師對賽題深入研究后所撰寫的研究論文或?qū)Ｖ?shù)學(xué)建模賽題來自于經(jīng)濟、社會、管理等領(lǐng)域需要解決的真實問題，而且不能從任何文獻（包括書籍、論文、網(wǎng)絡(luò)等）中找到答案。競賽由3 名學(xué)生組成一個團隊，在連續(xù)72小時內(nèi)完成研究，以研究論文的形式上交研究成果。由于競賽只有3 天時間，即使是獲得國家級一等獎的研究成果，也存在很多不足和缺憾，有的甚至有明顯的錯誤，于是從2012 年開始，競賽組委會倡導(dǎo)和鼓勵廣大競賽指導(dǎo)教師進行“賽后繼續(xù)研究”，以得到準(zhǔn)確無誤的研究成果[13]。

所謂“論文診斷”是指以指導(dǎo)教師所完成的研究論文為比較對象，分析學(xué)生參賽論文是否達到“最好”的水平，評分的維度有4個，分別是假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、求解的正確性和表述的清晰性[6]。

四、倒逼機制的實證研究

（一）研究對象、條件保障和研究目標(biāo)

以浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院（下稱“工貿(mào)學(xué)院”）數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源庫優(yōu)化為研究對象，以數(shù)學(xué)建模競賽為觀察窗口，考察倒逼機制的效果。數(shù)學(xué)建模競賽論文，既是倒逼資源庫優(yōu)化的動力源，又是檢驗資源庫優(yōu)化成效的客觀指標(biāo)。

為了保障倒逼機制能夠長期持續(xù)開展下去，需要具備以下基本條件：

（1）在研究期限內(nèi)，數(shù)學(xué)建模競賽指導(dǎo)教師團隊基本穩(wěn)定，特別是骨干教師不會離開教學(xué)一線。

（2）在研究期限內(nèi)，能夠連續(xù)組織學(xué)生參加每年一屆的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，不會出現(xiàn)斷斷續(xù)續(xù)的情況。

（3）在研究期限內(nèi)，競賽獎勵政策保持基本穩(wěn)定或者逐步加大獎勵力度，不會出現(xiàn)降低獎勵力度的情況。

倒逼機制的研究目標(biāo)：以數(shù)學(xué)建模競賽為觀察窗口，以競賽論文診斷為手段，以倒逼為動力，通過歷時數(shù)年的實踐研究，建立逐年優(yōu)化并適應(yīng)競賽需求的教學(xué)資源庫，形成數(shù)學(xué)建模競賽論文診斷倒逼教學(xué)資源庫優(yōu)化的機制。

（二）研究過程和結(jié)果分析

1.階段劃分

工貿(mào)學(xué)院從2005年開始參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，在最初的4 年中，數(shù)學(xué)建模競賽處于摸索階段，不但沒有啟動教學(xué)資源庫建設(shè)，更沒有建立倒逼機制。以2009年筆者發(fā)表第一篇賽題研究論文《飲酒駕車模型的進一步研究》[14]為標(biāo)志，正式建立了競賽論文診斷倒逼資源庫優(yōu)化的機制，故以2009～2018年為研究期限，歷時10年。

研究過程按照時間節(jié)點劃分為4 個階段，如表1所示。

表1 研究階段劃分

2.競賽論文打分及分析方法

對于某個參賽隊競賽論文的打分方法，如表2所示。

表2 參賽隊競賽論文打分方法

某參賽隊競賽論文的得分為

其中，b表示某參賽隊的競賽論文得分，ai表示第i個指標(biāo)的得分，wi表示第i個指標(biāo)的權(quán)重。

如果全校有若干參賽隊，則取這些參賽隊的競賽論文得分的平均值作為全校整體論文得分，即

其中，c表示全校整體論文得分，bi表示第i個參賽隊的論文得分，n表示參賽隊數(shù)量。

3.結(jié)果分析

由于倒逼系統(tǒng)是閉環(huán)系統(tǒng)，必須在結(jié)果反饋機制下不斷優(yōu)化教學(xué)資源庫，所以必須一邊實踐一邊反饋，因此，首先需要交代觀察指標(biāo)情況。

統(tǒng)計工貿(mào)學(xué)院數(shù)學(xué)建模競賽論文得分及平均分，如表3所示。

根據(jù)表3，將論文平均分按照年份畫圖，如圖5所示。

圖5 論文平均分的演變趨勢（注：虛線是趨勢線）

表3 數(shù)學(xué)建模競賽論文得分及平均分

從圖5可知，競賽論文水平呈現(xiàn)逐年上升的態(tài)勢。

以t表示年份，取2009年為t=1，使用最小二乘法擬合論文平均分方程為

從方程（3）可知，競賽論文水平每年以增加2.28分的速度在上升，說明倒逼機制具有一定的效果。

4.實施方法

倒逼機制的做法如下：

（1）根據(jù)上一年的競賽論文診斷報告，對教學(xué)資源庫進行優(yōu)化，具體包括數(shù)學(xué)模型資源庫優(yōu)化、建模方法資源庫優(yōu)化、算法資源庫優(yōu)化和數(shù)學(xué)實驗資源庫優(yōu)化，然后在當(dāng)年的數(shù)學(xué)建模選修課和數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)中實施。

（2）組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模系列活動，并參加當(dāng)年的數(shù)學(xué)建模競賽。

（3）指導(dǎo)教師對當(dāng)年的競賽C 題、D 題作賽后研究，撰寫研究論文。

（4）對學(xué)生競賽論文打分，統(tǒng)計競賽論文平均得分，并撰寫競賽論文診斷報告，為倒逼下一年教學(xué)資源庫優(yōu)化做準(zhǔn)備。

5.優(yōu)化過程

以2016 年的競賽倒逼2017 年的教學(xué)資源庫優(yōu)化為例進行詳細說明。

首先，針對2016年競賽試題C題、D題進行簡要分析。

2016 年C 題是《電池剩余放電時間預(yù)測》，本題是數(shù)據(jù)擬合問題。在保證擬合精度的條件下，參數(shù)越少、適用范圍越廣的模型就是越好的結(jié)果。數(shù)據(jù)擬合需要進行交叉驗證，應(yīng)當(dāng)有明確的相對誤差結(jié)果。根據(jù)放電曲線的物理意義，放電曲線應(yīng)當(dāng)是單調(diào)的、凸的（電壓越接近最低保護電壓放電越慢）；不同電流的放電曲線不能有交叉，相鄰電流下的放電曲線較為接近。違反這些定性性質(zhì)的論文是不好的。

2016 年D 題是《風(fēng)電場運行狀況分析及優(yōu)化》，本題是集數(shù)據(jù)建模與機理建模于一體的綜合性問題，具有大數(shù)據(jù)特征。第一小題主要考察大數(shù)據(jù)處理與分析的能力，應(yīng)在熟悉風(fēng)力發(fā)電問題背景基礎(chǔ)上，依據(jù)《中國風(fēng)電場工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)》，對風(fēng)場的平均風(fēng)速數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，對風(fēng)速、風(fēng)功率密度、有效風(fēng)時等決定風(fēng)力資源優(yōu)劣的主要指標(biāo)作出定量評價；同時對輸出功率數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，計算不同時段的實際發(fā)電量以掌握風(fēng)力資源的利用情況。本小題的重點在于所用統(tǒng)計模型與方法的有效性和規(guī)范性。

第二小題主要研究風(fēng)速分布對風(fēng)機利用率的影響。以風(fēng)機的年均功率系數(shù)為測度，建立年均功率系數(shù)與當(dāng)?shù)仫L(fēng)速的關(guān)系模型，進而計算出不同型號風(fēng)機在不同地點（風(fēng)速）的年均功率系數(shù)，從而選出最適合該地點的風(fēng)機型號。解答此小題時應(yīng)注意不同空氣環(huán)境對風(fēng)機輸出功率的影響，以及理論發(fā)電量和實際發(fā)電量之間的區(qū)別。

第三小題主要研究風(fēng)機維護計劃和維修人員排班方案的制定。可建立多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，第一目標(biāo)是經(jīng)濟效益，第二目標(biāo)是維護任務(wù)均衡，第三目標(biāo)是值班任務(wù)均衡，還有可能第四目標(biāo)是加班任務(wù)均衡。優(yōu)秀論文應(yīng)包含對所得方案在均衡性和有效性等方面性能的分析，以及對模型和算法如何推廣到一般情形的考慮。

其次，優(yōu)化過程分步驟展開。

第一步，競賽試題的賽后研究。針對2016年C題、D 題作賽后研究。以賽后研究論文為比較對象，對學(xué)生競賽論文進行打分，再將所有競賽論文的得分取平均值，為77.4分。從分項得分看，建模創(chuàng)造性（76.0分）和求解正確性（76.0分）較低。

第二步，競賽論文診斷。2016年的競賽論文診斷報告，如表4 所示。其中的“有”是指教學(xué)資源庫里已經(jīng)存儲了該知識點；“無”是指教學(xué)資源庫里目前尚未存儲該知識點。

第三步，教學(xué)資源庫優(yōu)化。在2016年競賽論文診斷報告基礎(chǔ)上，對2017 年的教學(xué)資源庫進行優(yōu)化，如表5所示。

第四步，在2017年的數(shù)學(xué)建模教學(xué)中實施（略）。

第五步，開展2017年數(shù)學(xué)建模系列活動，并參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（略）。

第六步，2017年競賽論文診斷。2017年的競賽論文得分87.6分，創(chuàng)下歷史新高。有一個隊不但獲得了國家級一等獎，而且由于是全國總排名第二而獲得了優(yōu)秀論文獎，競賽論文發(fā)表在《工程數(shù)學(xué)學(xué)報》（增刊）上。

五、結(jié)束語

依據(jù)系統(tǒng)動力學(xué)和閉環(huán)系統(tǒng)理論，建立了以數(shù)學(xué)建模競賽論文診斷倒逼教學(xué)資源庫優(yōu)化的正反饋閉環(huán)系統(tǒng)，然后以年為周期，從2009 年開始至2018 年結(jié)束，開展了累計10 年的實踐研究，考察了教學(xué)資源庫建設(shè)和優(yōu)化的成效。結(jié)果表明，隨著教學(xué)資源庫逐年優(yōu)化和完善，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽論文水平呈現(xiàn)上升態(tài)勢，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新思維能力和團隊合作能力正在逐年提升。

表4 2016年的競賽論文診斷報告

表5 2017年教學(xué)資源庫優(yōu)化