基于時間序列模型的降雨量預(yù)測分析

程 敏，張耀文，姜紀(jì)沂*，任 杰，趙振宏

（1.防災(zāi)科技學(xué)院，北京101601；2.中國地質(zhì)調(diào)查局西安地質(zhì)調(diào)查中心，西安710054）

降雨量的短期變化，往往會造成嚴(yán)重的干旱澇、洪災(zāi)害，并對當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展等造成不同程度的影響。高精度的降雨量預(yù)測方法能及早地發(fā)現(xiàn)降雨量變化情況，提高應(yīng)對此類災(zāi)害的能力［1］。降雨量是衡量干旱程度的一個重要指標(biāo)，直接反映了自然界的變化，降雨量的大小直接影響農(nóng)業(yè)生產(chǎn)［2］。如能對降雨量做出科學(xué)準(zhǔn)確預(yù)測，農(nóng)業(yè)、水利等有關(guān)部門就可以及時采取防澇抗旱措施［3］，降低不必要的損失，因此降雨量預(yù)測已成為當(dāng)前預(yù)測中的重要研究課題［4］。對于水資源短缺的北方來說，地下水是北方的主要用水來源，高精度的預(yù)測降雨量，能最大限度的利用水資源，將多余的水儲存起來，以緩解水資源短缺問題，降低因水資源短缺或極度缺少而帶來的經(jīng)濟(jì)損失。

基于這種情況，本文試圖運用時間序列中的ARIMA模型對該地區(qū)的降雨量進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)而了解未來5年內(nèi)濟(jì)南市的降雨量變化情況。

1 研究區(qū)概況與預(yù)測方法

濟(jì)南市坐落于魯西北沖積平原和魯中低山丘陵的接觸地帶，北部為黃河下游平原，南部為泰山山系，地勢北部低、南部高，平原稍微傾向東北，黃河沿西南—東北方向穿過濟(jì)南市所在的區(qū)域，黃河河床高出地面形成地上河，在黃兩岸發(fā)育有諸多的呈條帶狀的洼地。最高峰為南部西營鎮(zhèn)梯子山，地面標(biāo)高975.8m，如圖1。

圖1 濟(jì)南市水系分布

某種統(tǒng)計指標(biāo)的數(shù)值按時間先后順序排列所形成的數(shù)列叫做時間序列［5］。時間序列模型主要分為兩類，一是ARMA（Auto Regression Moving Average）模型，即自回歸移動平均模型［6］；二是ARIMA（Auto Regressive Integrated Moving Average Model）模型，即自回歸積分滑動平均模型［7］。其實兩類模型可以看做是兩類模型的組合再加上差分運算，一類模型是AR； 一類模型是MA，ARMA模型可以看做是AR+MA；而ARIMA可以看做是AR+差分處理+MA。

在ARIMA（p，d，q）模型進(jìn)行預(yù)測時，所用序列必須是平穩(wěn)的序列，如果是非平穩(wěn)化的序列，就需將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)化的序列［8］。

2 研究區(qū)數(shù)據(jù)及處理

以濟(jì)南市1959～2010年降雨量數(shù)據(jù)作為本次分析樣本，在SPSS的預(yù)測選項中創(chuàng)建ARIMA模型，并進(jìn)行向前預(yù)測，使用2011～2015年降雨量數(shù)據(jù)檢驗ARIMA模型的預(yù)測準(zhǔn)確度，如圖2。

圖2 1959～2010年降雨量序列

在SPSS軟件平臺進(jìn)行降雨量的輸入與定義日期，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)序列圖的繪制［9］，如圖3。

從圖3可看出，該時間序列在1967，1985，2003年具有較大波動，但總體具有一定的向下趨勢，并不平穩(wěn)。需要對1959～2010年的降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理。

圖3 降雨量平穩(wěn)化序列

在SPSS軟件中繪制的降雨量一階差分的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖如圖4。可以看出，一階差分后數(shù)據(jù)序列的自相關(guān)系數(shù)在顯著不為0后趨于0，而一階差分后的偏自相關(guān)系數(shù)較接近0。判定數(shù)據(jù)序列基本平穩(wěn)。故ARIMA模型參數(shù)d取值為1。

圖4 自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

根據(jù)自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖均表現(xiàn)為拖尾現(xiàn)象適用于ARMA模型，從偏自相關(guān)圖中可見在5%的顯著水平下，偏自相關(guān)系數(shù)顯著不為0的個數(shù)為3，之后趨于0，并呈現(xiàn)拖尾現(xiàn)象，故判斷p值取3或2（取2主要是因為最后一個顯著超過0的階數(shù)是由于偶然出現(xiàn)的，確定p值時需要剔出）； 從自相關(guān)圖中可看出在5%的顯著水平下，自相關(guān)系數(shù)顯著為零的個數(shù)為6，故判斷q值取6或5（取5主要是最后一個顯著超過0的系數(shù)是由于偶然出現(xiàn)的，確定p值時需要剔出）。利用SPSS建立ARIMA模型，經(jīng)過前期的預(yù)測對比分析，根據(jù)SPSS中輸出的模型統(tǒng)計量表格中的BlC值確定最佳模型。一般來講，選取BIC達(dá)到最小的模型為最佳模型。

經(jīng)過前期數(shù)據(jù)處理與分析，模型可初定為ARIMA （3,1，6）、ARIMA （3,1，5）、ARIMA （2，1，6）ARIMA（2，1，5）。用SPSS軟件作擬合圖比較4種模型擬合（如圖5），檢驗選擇模型的準(zhǔn)確性。根據(jù)BIC定階準(zhǔn)則選出最優(yōu)模型，如表1?？芍Ｐ虯RIMA（2，1，5）BIC值最小，其值為11.654。

圖5 4種模型擬合

表1 4種模型BIC比較

由于預(yù)測準(zhǔn)確度分析的年份為2011～2015年，ARIMA（2，1，5）的預(yù)測趨勢跟觀察值的走勢基本一致，而其他3個模型的預(yù)測趨勢都偏離了觀察值的走勢，所以ARIMA （2，1，5）的擬合效果最好。同時，ARIMA（2，1，5）模型的BIC值最小，可選取此模型作為最后的預(yù)測模型。

對殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗，根據(jù)SPSS中輸出的模型統(tǒng)計量表來看，ARIMA（2，l，5）模型的Ljung-Box統(tǒng)計量Q=7.734。p值為0.737顯著大于0.05的檢驗水平，即接受Ljung-Box的原假設(shè)：所有數(shù)據(jù)之間相互獨立，可認(rèn)為殘差序列為白噪聲序列［9］。

模型殘差序列的自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)的分布在以0為中心的范圍內(nèi)，并且自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)的絕對值均小于0.3（如圖6），認(rèn)為此殘差序列之間是相互獨立的，意味著殘差序列是白噪聲的。模型涵蓋了所有的信息，說明此模型效果較好。

圖6 殘差序列自相關(guān)和偏自相關(guān)

綜上，ARIMA（2，1，5）符合BIC準(zhǔn)則，通過了擬合度檢驗與白噪聲檢驗，因此可以用ARIMA（2，1，5）對降雨量進(jìn)行預(yù)測。表明濟(jì)南市2010～2015年降雨量預(yù)測同樣適用ARIMA（2，1，5）預(yù)測。

3 預(yù)測結(jié)果與分析

本次選擇了ARIMA（2，1，5），利用濟(jì)南市1959～2010年的降雨量數(shù)據(jù)，對該地區(qū)2011～2015年的降雨量進(jìn)行預(yù)測，如表2、表3、表4。

表2 ARIMA預(yù)測值與實際值統(tǒng)計 單位：mm

表3 ARIMA預(yù)測值與實際值統(tǒng)計 單位：mm

表4 ARIMA的預(yù)測值與實際值統(tǒng)計 單位：mm

從表2、表3和表4看出，ARIMA模型預(yù)測年限為4年。表2中2011～2015年的平均相對誤差為5.74%，預(yù)測精度控制在10%以內(nèi)；2014年以后，預(yù)測精度大于10%。表3中2010～2015年平均相對誤差4.9%，預(yù)測精度控制在10%以內(nèi)；2015年預(yù)測精度大于10%。表4中2010～2013年平均相對誤差為2.2%，預(yù)測精度控制在10%以內(nèi)，其中2010年和2013年的預(yù)測精度為1.0%，逼近實際觀測值，預(yù)報準(zhǔn)確。由此推測，ARIMA模型對降雨量的預(yù)測在連續(xù)的4～5年內(nèi)對降雨量的預(yù)測非常準(zhǔn)確。

同樣方法，在SPSS軟件分析預(yù)測選項中對2016～2020年降雨量進(jìn)行預(yù)測，如表5。

表5 2016～2020年降雨量預(yù)測值 單位：mm

2016～2020年濟(jì)南市的降雨量較平穩(wěn)，波動較小，大多分布在濟(jì)南市的平均降雨量672.8mm周圍。預(yù)測結(jié)果看出，濟(jì)南市2016～2020年不會發(fā)生較大洪水，但ARIMA模型預(yù)測降雨量不一定準(zhǔn)確，因降雨量受較多因素影響，僅憑時間序列是不能完全準(zhǔn)確的預(yù)測降雨量。

通過模型確定，綜合1959～2015年的降雨量數(shù)據(jù)，時間序列，如圖7。從圖7可看出，1959～1991年30多年內(nèi)，這段時期內(nèi)降雨量波動較大，而1992～2015年，這段時期內(nèi)降雨量波動較??；從大趨勢來看，濟(jì)南市降雨量逐漸減少。

2016～2020年降雨量進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果表明，這5年濟(jì)南市降雨量波動較小，大多在650mm上下波動，預(yù)計接未來5年沒有大的旱災(zāi)和洪災(zāi)。

圖7 1959～2015年降雨量序列

從原理來看，ARIMA模型具有一定的數(shù)理統(tǒng)計意義，即ARIMA模型具有偶然性，且這種偶然性會隨著預(yù)測時間長短變化而變化，可能會隨著時限增加而這種偶然性出現(xiàn)的頻率增加，同時也有可能隨著預(yù)測時限的縮短而增長（預(yù)測時限越短，其預(yù)測準(zhǔn)確度會有一定提高）。

4 結(jié)語

（1）用ARIMA模型對濟(jì)南市未來5年的年降雨量進(jìn)行預(yù)測，其結(jié)果顯示未來5年的年平均降雨量為659.2mm，這 與1959～2015年的多年平均降雨量672.8mm較為接近，說明濟(jì)南市未來5年出現(xiàn)干旱及洪澇災(zāi)害的可能性較小。

（2）濟(jì)南市降雨量的變化呈現(xiàn)出一個逐漸減小的趨勢，說明濟(jì)南市地下水的大氣降雨補(bǔ)給量將會出現(xiàn)下降趨勢，需要更加合理地利用和分配水資源。

（3）由于影響一個地區(qū)降雨量的因素很多，諸如地區(qū)緯度的差異，氣溫變化、所處地理位置、生態(tài)環(huán)境的因素（植被的覆蓋率，流域的分布狀況）［10］，以及人為影響因素等，所以只用時間序列分析方法來預(yù)測降雨量的效果較差，需考慮多方面的因素，綜合現(xiàn)有的預(yù)測模型，建立適合當(dāng)?shù)氐慕涤炅款A(yù)測模型，從而使得降雨量預(yù)測更為可靠。