基于多元線性回歸函數(shù)在后張法橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力檢測(cè)中的應(yīng)用研究

羅偉斌

（1.廣西交通設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，廣西 南寧 530029；2.廣西交通工程檢測(cè)有限公司，廣西 南寧 530011）

0 引 言

預(yù)應(yīng)力鋼絞線是采用各種高強(qiáng)度的鋼絲經(jīng)過加工咬合且需經(jīng)過后期穩(wěn)定化處理的鋼絞線。預(yù)應(yīng)力鋼絞線廣泛地應(yīng)用于橋梁工程，而橋梁后張法預(yù)應(yīng)力張拉施工及橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力的檢測(cè)是橋梁工程施工過程與質(zhì)量檢驗(yàn)過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，橋梁后張法預(yù)應(yīng)力鋼絞線施工的好壞以及橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果對(duì)橋梁梁體的承載力、使用性能以及后續(xù)運(yùn)營(yíng)使用的耐久性有著極其重要的影響［1］。

當(dāng)橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力過大，將可能導(dǎo)致預(yù)應(yīng)力鋼絞線斷絲；當(dāng)橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力過小，將可能導(dǎo)致梁體預(yù)應(yīng)力度不足而產(chǎn)生梁體橫向開裂。在實(shí)際施工中，如何對(duì)橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力進(jìn)行有效的控制，準(zhǔn)確檢測(cè)橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力是目前研究的重點(diǎn)。

1 反拉法工作機(jī)制力學(xué)分析

反拉法主要是對(duì)露在體外的鋼絞線進(jìn)行單根張拉，同時(shí)測(cè)試張拉力和鋼絞線伸長(zhǎng)量。當(dāng)千斤頂對(duì)預(yù)應(yīng)力鋼絞線產(chǎn)生拉拔力且小于預(yù)先施加的橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力時(shí)，鋼絞線處的夾片將對(duì)鋼絞線起緊固作用，而未被約束的自由段可自由伸長(zhǎng)；當(dāng)千斤頂對(duì)預(yù)應(yīng)力鋼絞線產(chǎn)生拉拔力且大于預(yù)先施加的橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力時(shí)，預(yù)應(yīng)力梁處的錨頭與夾片將會(huì)在一瞬間脫開，鋼絞線將能夠自由伸長(zhǎng)。此外，自由伸長(zhǎng)的鋼絞線長(zhǎng)度的增加將會(huì)出現(xiàn)明顯的伸長(zhǎng)，而夾片也同時(shí)產(chǎn)生向外的位移量。在實(shí)際檢測(cè)過程中，鋼絞線可視為彈性體，在受力拉伸過程中，可通過分析施加的反拉荷載與鋼絞線拉伸量的關(guān)系進(jìn)而判定錨下有效預(yù)應(yīng)力值。鋼絞線張拉后，夾片夾持鋼絞線，取夾片與鋼絞線的一段隔離體進(jìn)行受力分析，如圖1 所示。

圖1 反拉法檢測(cè)受力分析圖

夾片夾持鋼絞線，錨固固定夾片，夾片與鋼絞線的受力平衡關(guān)系式如式（1）所示。

式中：F0為鋼絞線的錨下有效預(yù)應(yīng)力，kN；F1為千斤頂施加的反向張拉力，kN；F2為夾片承受錨具傳遞的水平方向的力，kN。

2 多元線性回歸函數(shù)模型

2.1 回歸模型的建立

假定 m 個(gè)自變量X1，X2，……，Xm，則稱模型（見式 2）為 m 元線性回歸模型。

式中：U0，U1，……Um為表示回歸參數(shù)；Xi，1，Xi，2，Xi，m為表示已知常數(shù)項(xiàng)；Xi為表示隨機(jī)誤差，獨(dú)立且服從N（0，e2），i＝1，……，n。

如設(shè)已知常數(shù)項(xiàng)Xi，0＝1，則 m 元線性回歸模型可寫成：Yi=U0Xi，0+U1Xi，1+U2Xi，2……+UmXi，m+Xi；由于 E（Xi）=0，所以 m 元線性回歸模型的回歸函數(shù)為 E（Y）=U0+U1X1+U2X2+……+UmXm；m 元線性回歸模型用矩陣和向量形式表示時(shí)，如式（3）所示。

橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力 P 的大小與預(yù)應(yīng)力鋼筋與管道壁之間的摩擦 σl1、錨夾具受壓變形引起的損失 σl2、預(yù)應(yīng)力鋼筋的應(yīng)力松弛 σl5等 3 個(gè)因素有關(guān)（本文暫不考混凝土彈性壓縮、混凝土的收縮和徐變等其他因素影響）。因此，可建立如下的多元線性回歸模型，如式（4）所示。

式中：σl1、σl2、σl5為自變量；Zpi為因變量；X1i為隨機(jī)誤差，獨(dú)立且服從 N（0，e2）。

其中 σl1、σl2、σl5據(jù)參考文獻(xiàn)［2］結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到。

假定 X1i為隨機(jī)誤差，其獨(dú)立且服從N（0，e2），所以 E（X1i）=0，則多元線性回歸模型式（4）的回歸函數(shù)Zpi=Up0+Up1σl1+Up2σl2+Up5σl5，Upj（j=0，1，2，5）為回歸參數(shù)，又稱偏回歸系數(shù)，其中 Up0是線性回歸時(shí)設(shè)定的常數(shù)項(xiàng)。

2.2 最小二乘估計(jì)及相關(guān)性檢驗(yàn)

采用最小二乘法確定 Upj的估計(jì)，假定 X 的秩為 m，回歸平面度的殘差平方和，如式（5）所示。

令 eTe=min，此時(shí)的 UΛ即為 U 最小二乘估計(jì)，將式式（5）求導(dǎo)并令其為 0，即得：

m 元線性回歸模型中的 X，Y，U 分別為：

將 X，Y，U 帶入至UΛ=（XTX）-1XTY 中，可得到回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)為。因此，綜合以上即可得到橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力的多元線性回歸函數(shù)表達(dá)式，如式（7）所示。

式（7）中后張法橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力回歸模型線性相關(guān)顯著性的檢驗(yàn)可以通過樣本復(fù)相關(guān)系數(shù) R 和服從自由度為（k，n-k-1）的 F 分布等兩個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)來檢驗(yàn)。其中，k 表示參變量個(gè)數(shù)，n 表示樣本總數(shù)。

式（8）中樣本復(fù)相關(guān)系數(shù) R 越接近1，則表示其相關(guān)性越顯著。此外，服從自由度為（k，n-k-1）的 F 分布的 F 值，如式（9）所示。

對(duì)于給定的相關(guān)水平 α0.05，可以查得與自由度（k，n-k-1）相關(guān)的臨界值λ［3］。然后與計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 F 值比較。若 F ＞λ，則在 α0.05的水平下該回歸函數(shù)線性相關(guān)性顯著，反之不顯著。

3 工程實(shí)例分析

3.1 工程概況簡(jiǎn)介

某高速公路項(xiàng)目里程為 K167+146～K238+731.987共71.58 km。本次橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力檢測(cè)主要為該高速公路中某標(biāo)段的 4 個(gè)預(yù)制梁場(chǎng)，預(yù)應(yīng)力管道采用預(yù)埋圓形及扁形金屬波紋管成孔，梁體采用 C50 混凝土。預(yù)制梁其余主要參數(shù)如下：預(yù)應(yīng)力鋼絞線彈性模量 Ep=1.95×105MPa、松弛系數(shù) ζ=0.3，錨具變形鋼筋回縮取 6 mm（一端），管道偏差系數(shù) κ=0.001 5，預(yù)應(yīng)力鋼絞線采用抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fpk=1 860 MPa、公稱直徑 d=15.2 mm 的低松弛高強(qiáng)度鋼絞線，預(yù)制梁內(nèi)正彎矩及墩頂連續(xù)段處的負(fù)彎矩鋼束錨下控制應(yīng)力為 0.75 fpk=1 395 MPa。

采用反拉法對(duì) 4 個(gè)預(yù)制梁場(chǎng)的橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力進(jìn)行檢測(cè)，累計(jì)完成 30 片預(yù)制梁，選取部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸分析，反拉式有效預(yù)應(yīng)力現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)曲線如圖2 所示。

圖2 反拉式有效預(yù)應(yīng)力實(shí)時(shí)測(cè)試曲線

3.2 回歸參數(shù)最小二乘估計(jì)及相關(guān)性檢驗(yàn)

進(jìn)行多元線性回歸的樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的個(gè)數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)），根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)認(rèn)為，當(dāng)樣本總數(shù)≥30 時(shí)，才能滿足模型估計(jì)的基本要求［4］。故本文取現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際檢測(cè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的部分檢測(cè)試驗(yàn)數(shù)據(jù) 30 組，其中設(shè)定為自變量的數(shù)目為 3 個(gè)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)自由度為（3，26），通過查 F 分布表，可以得到線性相關(guān)程度達(dá) 95 % 的自由度為（3，26）F 值：F0.05（3，26）=2.98，方差分析結(jié)果如表1 所示，回歸參數(shù)與線性相關(guān)檢驗(yàn)參數(shù)計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

圖3 變量殘差結(jié)果分析圖

表1 方差分析結(jié)果一覽表

表2 回歸參數(shù)與現(xiàn)行相關(guān)檢驗(yàn)參數(shù)計(jì)算結(jié)果一覽表

根據(jù)表1，由于因變量與自變量 X2與 X3的相關(guān)性分別為 0.023 及 0.017，兩者顯著性水平均小于 0.05，自變量殘差分析結(jié)果如圖3 所示，故該兩項(xiàng)的自變量與因變量相關(guān)。

根據(jù)表2，F(xiàn) 顯著性統(tǒng)計(jì)量值為 0.044，小于顯著性水平 0.05，故該回歸方程回歸效果顯著。

綜上，通過相關(guān)性檢測(cè)指標(biāo)，復(fù)相關(guān)系數(shù) R 以及 F顯著性檢驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果可以看出回歸函數(shù)線性顯著相關(guān)，相關(guān)性檢驗(yàn)表明：可用回歸函數(shù)計(jì)算得到的橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的有效預(yù)應(yīng)力基本保持一致，在工程實(shí)際范圍內(nèi)多元線性回歸函數(shù)可用在對(duì)后張法預(yù)應(yīng)力橋梁檢測(cè)結(jié)果的預(yù)測(cè)和設(shè)計(jì)優(yōu)化控制。

4 結(jié) 語

基于多元線性回歸函數(shù)，本文對(duì)包括橋梁預(yù)應(yīng)力鋼筋與管道壁之間的摩擦、錨具及錨口變形、預(yù)應(yīng)力鋼筋的應(yīng)力松弛等預(yù)應(yīng)力損失因素對(duì)橋梁錨下預(yù)應(yīng)力檢測(cè)值的影響。將上述各種預(yù)應(yīng)力損失因素作為自變量，現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)橋梁錨下預(yù)應(yīng)力檢測(cè)值作為響應(yīng)變量，建立多元線性回歸模型。試驗(yàn)結(jié)果表明：可用回歸函數(shù)計(jì)算得到的橋梁錨下有效預(yù)應(yīng)力與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的有效預(yù)應(yīng)力基本保持一致，在工程實(shí)際范圍內(nèi)多元線性回歸函數(shù)可用在對(duì)后張法預(yù)應(yīng)力橋梁檢測(cè)結(jié)果的預(yù)測(cè)和設(shè)計(jì)優(yōu)化控制，試驗(yàn)研究結(jié)果為開展橋梁錨下預(yù)應(yīng)力檢測(cè)的工程應(yīng)用推廣提供了理論及試驗(yàn)基礎(chǔ)。