擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量與辨識(shí)

郭世杰 姜歌東 梅雪松

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 呼和浩特 010051; 2.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 西安 710049)

0 引言

與三軸機(jī)床相比，五軸機(jī)床有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，因此它可以同時(shí)調(diào)節(jié)刀具相對(duì)工件的位姿[1]，由此可提高加工效率并提升加工表面質(zhì)量[2]。然而，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸也為機(jī)床引入了更多的誤差源，其中幾何誤差占機(jī)床總誤差的40%～50%[3-4]。幾何誤差是決定機(jī)床準(zhǔn)靜態(tài)精度的重要因素，幾何誤差是幾何精度的直接體現(xiàn)，通過(guò)實(shí)施誤差補(bǔ)償技術(shù)可有效保證和提升機(jī)床幾何精度[5]。誤差補(bǔ)償技術(shù)由幾何誤差建模、誤差測(cè)量及辨識(shí)、誤差補(bǔ)償3部分組成[6]。幾何誤差測(cè)量及辨識(shí)是利用幾何誤差模型實(shí)施誤差預(yù)測(cè)的關(guān)鍵，也是進(jìn)行誤差補(bǔ)償?shù)那疤?，因此針?duì)五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差測(cè)量及辨識(shí)，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者展開(kāi)了較多的研究[7-10]。幾何誤差分為運(yùn)動(dòng)誤差(位置相關(guān)幾何誤差)和位姿誤差(位置無(wú)關(guān)幾何誤差)兩類(lèi)[11-12]，前者主要源于制造過(guò)程，后者主要形成于裝配過(guò)程?；诙噍S同步運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)球桿儀(DBB)可實(shí)現(xiàn)圓軌跡測(cè)量，利用幾何誤差與圓測(cè)量軌跡之間的映射關(guān)系，可辨識(shí)搖籃式五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的位姿誤差[13-14]。將DBB安裝于旋轉(zhuǎn)軸誤差敏感方向上，通過(guò)旋轉(zhuǎn)軸單軸運(yùn)動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)[15-18]。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一次安裝狀態(tài)下的空間軌跡測(cè)量，可有效避免安裝誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響[19]。與需進(jìn)行多組測(cè)量軌跡的測(cè)量方法相比[20-21]，基于激光跟蹤儀[22]及R-test[23]的誤差測(cè)量方法測(cè)量路徑較為簡(jiǎn)單，但需要建立較為復(fù)雜的辨識(shí)模型。

上述研究對(duì)降低旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差的影響起到了重要推動(dòng)作用，然而機(jī)床結(jié)構(gòu)的差異性致使現(xiàn)存測(cè)量方法通用性弱。DBB與激光干涉儀、跟蹤儀及R-test儀相比成本低，易于實(shí)現(xiàn)工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的機(jī)床幾何精度檢測(cè)[17]，而現(xiàn)有的利用DBB進(jìn)行旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差的研究主要應(yīng)用于搖籃式五軸機(jī)床，針對(duì)擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量及辨識(shí)的方法較少[20,24]，已有的利用DBB對(duì)擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差的測(cè)量、辨識(shí)方法中，裝夾次數(shù)較多、易受安裝誤差累積效應(yīng)的影響。

鑒于此，本文以擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床為研究對(duì)象，在已有研究基礎(chǔ)上提出一種基于DBB的五次安裝測(cè)量、辨識(shí)方法。首先，依據(jù)擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差在其局部坐標(biāo)系下進(jìn)行表征并建立運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模型。其次，利用DBB測(cè)量過(guò)程對(duì)誤差敏感方向的特征，建立DBB的安裝模式并將DBB相同的初始安裝位置的測(cè)量模式合并，構(gòu)造基于DBB測(cè)量的五次安裝法，基于DBB測(cè)量值辨識(shí)擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的12項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差，通過(guò)減少安裝次數(shù)提升測(cè)量及辨識(shí)的準(zhǔn)確性和精準(zhǔn)度。最后，根據(jù)所提出的五次安裝法旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差檢測(cè)方案，運(yùn)用DBB在擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行誤差補(bǔ)償前后的精度對(duì)比，以驗(yàn)證該方法的有效性與可行性。

1 五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差建模

1.1 旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)誤差

擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖1a所示。擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床結(jié)構(gòu)由X軸、Y軸和Z軸3個(gè)直線(xiàn)軸，以及C軸和B軸兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸組成。旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差中的運(yùn)動(dòng)誤差與運(yùn)動(dòng)軸的指令位置相關(guān)，即運(yùn)動(dòng)誤差隨著指令位置發(fā)生改變。因此C旋轉(zhuǎn)軸及B旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)誤差可表達(dá)為旋轉(zhuǎn)角c及b的函數(shù)。旋轉(zhuǎn)軸的6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差如圖1b所示。其中，δi(j)表示位置誤差，εi(j)表示角度誤差，相應(yīng)的j表示位置坐標(biāo)，i表示誤差所在方向。

圖1 機(jī)床結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)誤差示意圖Fig.1 Schematics of machine tool and motion errors

圖1a中的擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床的B旋轉(zhuǎn)軸具有6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差，分別是X、Y、Z方向的位置誤差δx(b)、δy(b)、δz(b)和繞X、Y、Z軸角度誤差εx(b)、εy(b)、εz(b)。對(duì)C軸而言，6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差分別是3項(xiàng)位置誤差：δx(c)、δy(c)、δz(c)和3項(xiàng)角度誤差：εx(c)、εy(c)、εz(c)。

1.2 擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床測(cè)量坐標(biāo)系的建立

由于運(yùn)動(dòng)誤差表征運(yùn)動(dòng)軸在理想軸線(xiàn)位置方向上的運(yùn)動(dòng)偏差，因此依據(jù)多體系統(tǒng)理論進(jìn)行誤差建模時(shí)，將旋轉(zhuǎn)軸所包含的運(yùn)動(dòng)誤差在所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軸的局部坐標(biāo)系下進(jìn)行定義和描述，這與運(yùn)動(dòng)誤差的本質(zhì)特征相符，也與運(yùn)動(dòng)誤差表達(dá)時(shí)矩陣相乘的運(yùn)算規(guī)則相對(duì)特征體局部坐標(biāo)系進(jìn)行定義的形式一致。

定義機(jī)床坐標(biāo)系位于工作臺(tái)中心，B軸坐標(biāo)系XbYbZb與主軸坐標(biāo)系XsYsZs重合。Y軸坐標(biāo)系XyYyZy、X軸坐標(biāo)系XxYxZx、Z軸坐標(biāo)系XzYzZz建立于各組成軸上，以上局部坐標(biāo)系方向與參考系XRYRZR一致。C軸和B軸的測(cè)量坐標(biāo)系XcYcZc、XbYbZb與各局部坐標(biāo)系之間位置關(guān)系如圖2所示。對(duì)擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床而言，通過(guò)將旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)誤差固結(jié)于所建立的局部坐標(biāo)系下進(jìn)行描述，可實(shí)現(xiàn)在各旋轉(zhuǎn)軸局部坐標(biāo)系下的軌跡測(cè)量，易于誤差建模和辨識(shí)的進(jìn)行。

圖2 旋轉(zhuǎn)軸局部坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Structure schematic of local coordinate systems

1.3 擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模型

DBB是檢測(cè)機(jī)床精度的有效工具，在具有圓弧插補(bǔ)功能的數(shù)控機(jī)床上，可通過(guò)多軸聯(lián)動(dòng)或主軸端旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)主軸端DBB支座運(yùn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)帶動(dòng)安裝其上的DBB支座運(yùn)動(dòng)，圓運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可伸縮桿檢測(cè)兩接觸球球心間距離相對(duì)圓運(yùn)動(dòng)半徑的誤差，并形成圓運(yùn)動(dòng)的誤差軌跡，結(jié)合幾何誤差模型可實(shí)現(xiàn)誤差解耦及誤差項(xiàng)的最終辨識(shí)[1,13]。由五軸機(jī)床空間幾何誤差的齊次表達(dá)形式可知，五軸機(jī)床的特征體i和相鄰低序體單元j之間的位置關(guān)系可由齊次變換矩陣表示為

(1)

球桿儀的接觸球O2和O1在測(cè)量坐標(biāo)系中的位置為Po2=(x2，y2，z2)T，Po1=(x1，y1，z1)T。不考慮運(yùn)動(dòng)誤差對(duì)旋轉(zhuǎn)軸精度的影響時(shí)，小球Oj的理想變換矩陣為

(2)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸C運(yùn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)軸B保持靜止時(shí)，與角b相關(guān)的矩陣是單位陣；類(lèi)似的，當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸B運(yùn)動(dòng)而旋轉(zhuǎn)軸C保持靜止時(shí)，與角c相關(guān)的矩陣是單位陣?？紤]旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)幾何誤差影響機(jī)床精度，小球Oj在實(shí)際狀態(tài)下的變換關(guān)系表達(dá)為

(3)

利用旋轉(zhuǎn)軸驅(qū)動(dòng)球桿儀實(shí)現(xiàn)圓軌跡測(cè)量時(shí)，DBB的接觸Oj的理想位置和實(shí)際位置為

(4)

(5)

將式(3)代入式(4)，式(2)代入式(5)，可確定理想狀態(tài)下DBB接觸球之間的距離iL和實(shí)際狀態(tài)下接觸球間距離aL，其表達(dá)形式為

iL=iPo2-iPo1

(6)

aL=aPo2-aPo1

(7)

DBB接觸球之間的長(zhǎng)度變化值在3個(gè)方向是空間誤差向量，可以表示為

[ΔxΔyΔz1]=aL-iL

(8)

將式(6)、(7)和齊次變換矩陣代入式(8)可確定誤差向量的具體表達(dá)式。對(duì)C軸運(yùn)動(dòng)幾何誤差進(jìn)行測(cè)量時(shí)，需保證主軸端接觸球不受B旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)的影響，以此實(shí)施圓軌跡測(cè)量可以得到C軸的空間誤差向量，結(jié)果為

(9)

式中，下標(biāo)i表示測(cè)量模式，下標(biāo)j表示安裝位置。

類(lèi)似的，對(duì)旋轉(zhuǎn)軸B的運(yùn)動(dòng)幾何誤差進(jìn)行辨識(shí)時(shí)，將相關(guān)的誤差矩陣代入式(8)后，可得B軸誤差向量表達(dá)式為

(10)

圖3 辨識(shí)C軸運(yùn)動(dòng)幾何誤差的安裝測(cè)量模式Fig.3 Installation and measurement modes for identifying motion errors of C axis

2 基于五次安裝法的運(yùn)動(dòng)幾何誤差測(cè)量及辨識(shí)

基于五次安裝法的PDGEs測(cè)量及辨識(shí)的基本思路是：通過(guò)設(shè)置DBB的接觸球在測(cè)量坐標(biāo)下的初始位置，保證旋轉(zhuǎn)軸相同初始安裝位置下的圓軌跡測(cè)量相繼進(jìn)行，然后改變DBB的安裝位置實(shí)施下一安裝位置下的軌跡測(cè)量。利用旋轉(zhuǎn)軸單獨(dú)運(yùn)動(dòng)以及直線(xiàn)軸聯(lián)動(dòng)可直接實(shí)現(xiàn)一次安裝不同測(cè)量模式之間的切換，在此過(guò)程中DBB的磁致伸縮桿不與兩個(gè)球面支承座分離，其本質(zhì)屬于同一次安裝[19,21]。

2.1 C軸的測(cè)量模式及辨識(shí)

當(dāng)測(cè)量坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)軸的軸心位置重合，且DBB的球桿與測(cè)量坐標(biāo)系的軸線(xiàn)平行時(shí)，DBB磁致伸縮桿對(duì)相應(yīng)方向的誤差最為敏感[11-12,16]。因此可通過(guò)設(shè)置球桿儀安裝位置和方向，實(shí)現(xiàn)DBB的可伸縮桿沿旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向相對(duì)靜止，通過(guò)上述處理可有效提升測(cè)量及辨識(shí)效率。此外，為簡(jiǎn)化辨識(shí)過(guò)程、提升辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性，需要限制旋轉(zhuǎn)軸B軸與旋轉(zhuǎn)軸C軸同步運(yùn)動(dòng)形式的出現(xiàn)，由此可實(shí)現(xiàn)B軸的運(yùn)動(dòng)幾何誤差不影響C軸的辨識(shí)結(jié)果，即通過(guò)設(shè)置旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)形式保證辨識(shí)過(guò)程中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)幾何誤差測(cè)量過(guò)程中的線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

通過(guò)上述方式可確保主軸端接觸球沿刀具鏈在機(jī)床C軸定義的測(cè)量坐標(biāo)系下位置不發(fā)生變化，因此只需考慮安裝于轉(zhuǎn)臺(tái)端C軸坐標(biāo)下的接觸球受C軸運(yùn)動(dòng)幾何誤差的影響。由式(9)和式(10)可知，幾何誤差在3個(gè)方向上的誤差分量、球桿儀工作臺(tái)端接觸球位置以及幾何誤差項(xiàng)之間可表達(dá)為矩陣形式，利用最小二乘法可準(zhǔn)確辨識(shí)6項(xiàng)誤差，也可通過(guò)設(shè)計(jì)不同測(cè)量位置，利用測(cè)量坐標(biāo)系內(nèi)不同位置的圓軌跡測(cè)量數(shù)據(jù)確定6項(xiàng)幾何誤差解析解。

由運(yùn)動(dòng)誤差的矩陣表達(dá)形式可知，運(yùn)動(dòng)誤差與機(jī)床的綜合幾何誤差模型無(wú)關(guān)，僅與測(cè)量模型相關(guān)。因此需考慮測(cè)量坐標(biāo)系下誤差項(xiàng)與DBB安裝位置之間的關(guān)系，選擇合適的坐標(biāo)位置使上述包含位置坐標(biāo)的矩陣形式為非奇異矩陣，由此構(gòu)造出6個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的正定方程。式(9)、(10)中(xi，yi，zi)(i=1,2,…,6)是工作臺(tái)一側(cè)接觸球在C軸坐標(biāo)(測(cè)量坐標(biāo))系下的初始安裝位置。測(cè)量過(guò)程中，DBB對(duì)使其伸縮桿產(chǎn)生位移變形方向的誤差最為明顯，因此，可據(jù)此設(shè)計(jì)球桿儀的放置方向。對(duì)C旋轉(zhuǎn)軸所設(shè)計(jì)的DBB安裝位置如圖3所示。

設(shè)置上述3次安裝并建立a～f測(cè)量模式，此時(shí)對(duì)C軸的測(cè)量需要3次安裝。具體步驟如下：

如圖3所示，在對(duì)DBB實(shí)施第1次安裝并進(jìn)行模式a下的圓軌跡測(cè)量時(shí)，工作臺(tái)端小球O2安裝于轉(zhuǎn)臺(tái)中心，球桿儀的伸縮桿平行于X軸，主軸端接觸球O1與接觸球O2距離為DBB的公稱(chēng)長(zhǎng)度L。測(cè)量過(guò)程中，僅有旋轉(zhuǎn)軸C軸運(yùn)動(dòng)其他運(yùn)動(dòng)軸均保持靜止。此時(shí)在C軸的驅(qū)動(dòng)下僅有工作臺(tái)端小球運(yùn)動(dòng)，主軸端接觸球O1靜止。這樣球桿儀僅對(duì)旋轉(zhuǎn)軸C軸X方向的誤差敏感，即僅有C軸沿X方向的誤差對(duì)測(cè)量有影響。在此時(shí)測(cè)量模式下，球桿儀測(cè)量值ΔR與幾何誤差的關(guān)系為

ΔRCa=Δxca=δx(c)

(11)

類(lèi)似的，在b、c測(cè)量模式下進(jìn)行沿Y軸和Z軸方向的安裝時(shí)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)C軸沿Y方向和沿C軸Z方向的誤差測(cè)量。此時(shí)，在b、c測(cè)量模式下，球桿儀測(cè)量值ΔR與幾何誤差的關(guān)系為

ΔRCb=Δycb=δy(c)

(12)

ΔRCc=Δzc=δz(c)

(13)

圖4 辨識(shí)B軸運(yùn)動(dòng)誤差的安裝測(cè)量模式Fig.4 Installation and measurement modes for identifying motion errors of B axis

在對(duì)DBB實(shí)施第2次安裝并進(jìn)行模式d下的圓軌跡測(cè)量時(shí)，首先在Z方向上提升工作臺(tái)端接觸球O2與轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離后，改變B軸與接觸球O1的距離后對(duì)球桿儀進(jìn)行安裝。與第1次安裝下的測(cè)量模式a類(lèi)似，球桿儀的伸縮桿平行于X軸，主軸端小球O1與O2距離為DBB的公稱(chēng)長(zhǎng)度L。測(cè)量過(guò)程中，僅有旋轉(zhuǎn)軸C軸運(yùn)動(dòng)，其他運(yùn)動(dòng)軸均保持靜止。由于工作臺(tái)端小球安裝位置的改變，在Z方向測(cè)量坐標(biāo)系與小球O2的球心位置不重合，除了C軸沿X方向的誤差對(duì)測(cè)量有影響外，C軸沿Z方向的誤差也會(huì)對(duì)測(cè)量有影響。由于在測(cè)量模式a中已經(jīng)辨識(shí)了C軸沿X方向的誤差δx(c)，此時(shí)C軸沿Z方向的運(yùn)動(dòng)誤差可辨識(shí)，二者與球桿儀讀數(shù)之間的關(guān)系可表達(dá)為

ΔRCd=z4εy(c)+δx(c)

(14)

類(lèi)似的，在e測(cè)量模式下進(jìn)行沿Y的安裝時(shí)，可實(shí)現(xiàn)C軸沿Y方向的誤差測(cè)量。此時(shí)，球桿儀讀數(shù)的相對(duì)表達(dá)形式ΔR可表達(dá)為

ΔRCe=-z5εx(c)+δy(c)

(15)

在對(duì)DBB實(shí)施第3次安裝并進(jìn)行模式f下的圓軌跡測(cè)量時(shí)，球桿儀的安裝如圖3c所示。此時(shí)主軸端小球位于轉(zhuǎn)臺(tái)中心上方，DBB的可伸縮桿平行于XOY平面，且工作臺(tái)端接觸球O2的初始位置在X軸與Y軸的角平分線(xiàn)。測(cè)量過(guò)程中，僅有旋轉(zhuǎn)軸C軸運(yùn)動(dòng)，其他運(yùn)動(dòng)軸均保持靜止。由于工作臺(tái)端接觸球O2的改變，在XOY平面內(nèi)C軸沿X方向的誤差和C軸沿Z方向的誤差均對(duì)測(cè)量有影響，此時(shí)影響測(cè)量軌跡的誤差與球桿儀讀數(shù)之間的關(guān)系可表達(dá)為

(16)

由式(11)～(16)可知，確定工作臺(tái)端小球O2的初始安裝位置后，δx(c)、δy(c)、δz(c)、εx(c)、εy(c)可由式(12)～(15)確定辨識(shí)值，將測(cè)量模式a和測(cè)量模式b辨識(shí)出的幾何誤差δx(c)、δy(c)的解析解代入式(16)后可辨識(shí)出滾轉(zhuǎn)誤差εz(c)，由此可辨識(shí)C旋轉(zhuǎn)軸的6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)幾何誤差。

2.2 B軸測(cè)量模式及辨識(shí)

由于B軸的坐標(biāo)系與工作臺(tái)之間的空間距離較大，無(wú)法將球桿儀的磁性底座準(zhǔn)確安裝于B軸的軸線(xiàn)上，因此對(duì)B軸的測(cè)量辨識(shí)與C軸的測(cè)量及安裝模式不同。當(dāng)B軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)主軸端小球運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要通過(guò)直線(xiàn)軸與旋轉(zhuǎn)軸的聯(lián)動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)圓/圓弧運(yùn)動(dòng)軌跡的測(cè)量。

對(duì)B軸測(cè)量時(shí)以B軸的局部坐標(biāo)系為測(cè)量基準(zhǔn)坐標(biāo)系。圖4是設(shè)計(jì)的DBB安裝示意簡(jiǎn)圖。在對(duì)DBB第1次安裝后進(jìn)行B軸a模式下的測(cè)量，主軸端接觸球O1安裝于距離B軸沿X方向Lb處，工作臺(tái)端接觸球O2在B軸坐標(biāo)系下的位置是(R+Lb, 0,H1)。DBB第1次安裝后的B軸a測(cè)量模式下，進(jìn)行圓軌跡測(cè)量過(guò)程中B軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，Z軸與X軸通過(guò)直線(xiàn)插補(bǔ)形成圓弧軌跡，C軸和Y軸保持靜止。

DBB對(duì)B軸沿X方向的幾何誤差敏感，此時(shí)接觸球O2與O1之間的距離在X軸方向的投影表征了球桿儀長(zhǎng)度。幾何誤差影響下的球桿儀長(zhǎng)度變化與誤差項(xiàng)之間的關(guān)系為

ΔRBa=Lbεy(b)sinb+δx(b)+H1εy(b)cosb

(17)

在對(duì)DBB第1次安裝后測(cè)量模式b下，此時(shí)球桿儀對(duì)B軸沿Y軸方向的誤差敏感。通過(guò)B軸的順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，Z軸與X軸通過(guò)直線(xiàn)插補(bǔ)形成圓弧軌跡，C軸和Y軸保持靜止。幾何誤差影響下的球桿儀長(zhǎng)度變化值與誤差項(xiàng)之間的關(guān)系為

ΔRBb=δy(b)+H1(εz(b)sinb-εx(b)cosb)

(18)

在對(duì)DBB第2次安裝后c測(cè)量模式下，幾何誤差影響下的球桿儀長(zhǎng)度變化值與誤差項(xiàng)之間的關(guān)系為

ΔRBc=H1εy(b)cosb+δx(b)

(19)

在對(duì)DBB第2次安裝后的d測(cè)量模式下，主軸端接觸球O1在B軸坐標(biāo)系下的位置是(R,0,H1)，工作臺(tái)端接觸球O2安裝于X軸方向上，在B軸坐標(biāo)系下的位置是(R,0,H1-R)，此時(shí)DBB的可伸縮桿平行于Z軸。幾何誤差影響下的球桿儀長(zhǎng)度變化與誤差項(xiàng)之間的關(guān)系為

ΔRBd=-H1εy(b)sinb+δz(b)

(20)

(21)

在對(duì)DBB第4次安裝后的測(cè)量模式f中，主軸端接觸球O1安裝于B軸坐標(biāo)下的(0,0,H2)處，工作臺(tái)端接觸球O2安裝于坐標(biāo)系下(0,R,H2)處。DBB的可伸縮桿平行于Y軸方向。此時(shí)，幾何誤差影響下的球桿儀長(zhǎng)度變化與誤差項(xiàng)之間的關(guān)系為

ΔRBf=H2[εz(b)sinb-εx(b)cosb]+δy(b)

(22)

通過(guò)測(cè)量模式a的辨識(shí)表達(dá)式(17)和測(cè)量模式c的辨識(shí)表達(dá)式(19)可知角度誤差εy(b)的辨識(shí)表達(dá)式為

(23)

將式(23)代入式(20)，可得δz(b)的表達(dá)式為

(24)

將式(23)代入式(19)，可得δx(b)的表達(dá)式為

(25)

求解式(21)，可得到角度誤差εz(b)的辨識(shí)表達(dá)式為

(26)

基于已經(jīng)辨識(shí)的εz(b)，由式(18)和式(22)可辨識(shí)出εx(b)，其表達(dá)式為

(27)

利用εz(b)的辨識(shí)值，可以確定δy(b)的辨識(shí)表達(dá)式為

(28)

2.3 五次安裝法的建立

B軸坐標(biāo)系中心位置距離工作臺(tái)表面沿Z向距離較大，這導(dǎo)致構(gòu)造B軸的運(yùn)動(dòng)幾何誤差辨識(shí)方程時(shí)DBB的安裝位置較C軸多。但依據(jù)在相同的初始安裝位置可連續(xù)實(shí)施不同平面內(nèi)的測(cè)量，且球桿儀僅需安裝一次的特點(diǎn)，本文將相同的初始安裝位置的測(cè)量模式合并構(gòu)造基于DBB測(cè)量的五次安裝法。

由C軸和B軸所述的DBB安裝及測(cè)量特征可知：旋轉(zhuǎn)軸C軸的測(cè)量模式d、e與測(cè)量B軸的測(cè)量模式f相比，主軸端接觸球和工作臺(tái)端接觸球在機(jī)床坐標(biāo)系下的初始位置存在相似之處。此時(shí)可利用旋轉(zhuǎn)軸單獨(dú)運(yùn)動(dòng)以及直線(xiàn)軸聯(lián)動(dòng)直接實(shí)現(xiàn)一次安裝不同測(cè)量模式之間的切換。類(lèi)似的情況在C軸測(cè)量模式f與B軸測(cè)量模式c、d之間也存在。因此，本研究所提出的測(cè)量方法可依據(jù)上述特點(diǎn)進(jìn)行安裝次數(shù)的簡(jiǎn)化，基于DBB測(cè)量流程如圖5所示。

圖5 基于DBB測(cè)量的五次安裝法測(cè)量流程Fig.5 Measuring process of five installation method based on DBB

圖6 五次安裝法實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)Fig.6 Experimental setup of five installation method

五次安裝法與其他方法[19-20]相比可有效減少DBB的安裝次數(shù)，這樣可以節(jié)省安裝時(shí)間，同時(shí)可進(jìn)一步避免安裝誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果一致性的影響。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出的五次安裝測(cè)量方法的準(zhǔn)確性，在如圖6所示的五軸加工中心上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)幾何誤差測(cè)量前，先進(jìn)行直線(xiàn)軸的幾何誤差測(cè)量及補(bǔ)償[1,11]，環(huán)境溫度控制在(20±2)℃內(nèi)，由此最大程度降低熱誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

圖7 C軸運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of motion errors of C axis

依據(jù)五次安裝法建立的測(cè)量模式，利用桿儀進(jìn)行圓軌跡測(cè)量。整個(gè)測(cè)量過(guò)程包括DBB的五次安裝，其中安裝參數(shù)Lb=100 mm，R=100 mm，H1=384.67 mm，H2=484.67 mm。C軸安裝模式下，B軸靜止不動(dòng)，C軸的進(jìn)給率500 mm/min，C軸的越程角為180°，順時(shí)針和逆時(shí)針的運(yùn)動(dòng)行程是360°。B軸運(yùn)動(dòng)模式下，B軸的進(jìn)給率是500 mm/min，B軸的越程角為5°，順時(shí)針和逆時(shí)針的運(yùn)動(dòng)行程是90°。同一測(cè)量模式進(jìn)行多組數(shù)據(jù)測(cè)量，并保存數(shù)據(jù)。依據(jù)五次安裝法測(cè)量流程執(zhí)行完上述的圓軌跡測(cè)量后，利用所建立的辨識(shí)模型可解耦得到C軸和B軸的12項(xiàng)運(yùn)動(dòng)幾何誤差，辨識(shí)結(jié)果如圖7、8所示，利用辨識(shí)值通過(guò)逆運(yùn)算確定補(bǔ)償值的解析解[8,13]。

由圖7可知，誤差補(bǔ)償后C軸的位置誤差最大值由12.83 μm降低至9.53 μm，角度誤差最大值由1.45×10-4rad降低至7.0×10-5rad。C軸的最低補(bǔ)償率是15.85%，平均補(bǔ)償率是48.89%，最大補(bǔ)償率達(dá)到了92.42%。

圖8 B軸運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of motion errors of B axis

圖9 圓錐臺(tái)測(cè)量軌跡及測(cè)量結(jié)果Fig.9 Measurement track and measurement results of frustum of cone

由圖8c和圖8d可知，誤差補(bǔ)償后B軸的位置誤差最大值由9.65 μm降低至7.11 μm，角度誤差最大值由1.6×10-4rad降低至2.0×10-5rad。B軸的最低補(bǔ)償率是26.45%，平均補(bǔ)償率是51.49%，最大補(bǔ)償率達(dá)到了87.26%。為進(jìn)一步驗(yàn)證辨識(shí)值的準(zhǔn)確性，依據(jù)ISO 230-1標(biāo)準(zhǔn)利用五軸同步運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)DBB進(jìn)行虛擬圓錐臺(tái)軌跡測(cè)量[12,25]，并分別進(jìn)行誤差補(bǔ)償前空間圓錐臺(tái)軌跡測(cè)試(測(cè)量軌跡如圖9a)，以及依據(jù)文獻(xiàn)[17]的測(cè)量方法(六次安裝)和本文的五次安裝法確定辨識(shí)值，并進(jìn)行誤差補(bǔ)償后空間錐臺(tái)軌跡測(cè)量，結(jié)果如圖9b所示。

由圖9b可知，運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償前圓軌跡的半徑偏差平均值達(dá)9.5 μm，依據(jù)文獻(xiàn)[17]所提出的測(cè)量辨識(shí)方法確定幾何誤差數(shù)值實(shí)施誤差補(bǔ)償后，圓軌跡的半徑偏差平均值為6.8 μm，利用五次安裝法進(jìn)行誤差辨識(shí)及補(bǔ)償后，圓軌跡的半徑偏差平均值為4.7 μm，降低了50.52%。采用文獻(xiàn)[17]的測(cè)量辨識(shí)方法進(jìn)行補(bǔ)償后，半徑偏差明顯降低，依據(jù)五次測(cè)量法的辨識(shí)值進(jìn)行誤差補(bǔ)償后，半徑偏差分布范圍進(jìn)一步減小。誤差補(bǔ)償實(shí)施以后效果顯著，機(jī)床的精度得到了有效的提升。這說(shuō)明本研究所提出的誤差測(cè)量及辨識(shí)方法可準(zhǔn)確量化擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)誤差數(shù)值，較少的安裝次數(shù)提升了辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

(1)運(yùn)用多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換方法對(duì)幾何誤差進(jìn)行表征，建立了擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模型。將旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)誤差在其相應(yīng)的局部坐標(biāo)系下進(jìn)行表達(dá)，無(wú)需考慮機(jī)床的參考坐標(biāo)系，符合運(yùn)動(dòng)誤差僅與旋轉(zhuǎn)軸自身制造精度相關(guān)，與軸間裝配精度無(wú)關(guān)的本質(zhì)特征。

(2)根據(jù)目前機(jī)床檢測(cè)精度高、速度快的要求，提出了一種基于DBB的五次安裝的擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)幾何誤差測(cè)量、辨識(shí)方法。通過(guò)設(shè)置DBB的接觸球在測(cè)量坐標(biāo)下的初始位置，保證旋轉(zhuǎn)軸相同初始安裝位置下的圓軌跡測(cè)量相繼進(jìn)行，利用旋轉(zhuǎn)軸單獨(dú)運(yùn)動(dòng)以及直線(xiàn)軸聯(lián)動(dòng)可直接實(shí)現(xiàn)一次安裝不同測(cè)量模式之間的切換，通過(guò)基于DBB圓軌跡測(cè)量的五次安裝，可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的12項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差的全部辨識(shí)。減少了安裝次數(shù)，最大程度避免了安裝誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，提升了測(cè)量效率。

(3)依據(jù)五次安裝法在擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)，利用辨識(shí)值實(shí)施誤差補(bǔ)償后，C軸的最低補(bǔ)償率達(dá)到15.85%，平均補(bǔ)償率為48.89%；B軸的最低補(bǔ)償率是26.45%，平均補(bǔ)償率達(dá)到51.49%，五軸同步運(yùn)動(dòng)形成的虛擬圓錐臺(tái)測(cè)量軌跡的半徑偏差降低了50.52%，誤差補(bǔ)償后機(jī)床精度得到顯著提升，說(shuō)明本研究所提出的誤差測(cè)量及辨識(shí)方法對(duì)量化擺頭轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床的運(yùn)動(dòng)誤差準(zhǔn)確、有效。