滑動(dòng)及側(cè)滑影響下的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制

衛(wèi)榮慕， 金世俊

(東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 南京 210000)

0 引 言

近幾十年，由于移動(dòng)機(jī)器人具有非完整約束的性質(zhì)[1，2]，其運(yùn)動(dòng)控制研究具有一定挑戰(zhàn)性。如實(shí)際環(huán)境工作中，道路濕滑、結(jié)冰、快速轉(zhuǎn)彎等原因，移動(dòng)機(jī)器人不可避免地產(chǎn)生側(cè)滑和滑動(dòng)，破壞非完整約束[3，4]。為了解決這個(gè)問題，文獻(xiàn)[5]研究了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型下的縱向滑動(dòng)參數(shù)未知的軌跡跟蹤，設(shè)計(jì)了補(bǔ)償縱向滑動(dòng)的自適應(yīng)非線性反饋控制律，并利用極點(diǎn)配置在線調(diào)整控制增益。文獻(xiàn)[6]提出基于函數(shù)逼近技術(shù)的自適應(yīng)控制方法，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償干擾觀測器估計(jì)的誤差。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了基于廣義擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的魯棒追蹤控制器，實(shí)現(xiàn)干擾的衰減和軌跡的準(zhǔn)確跟蹤。文獻(xiàn)[8]提出非線性擾動(dòng)觀測器的滑膜控制器，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)模型導(dǎo)出的偏移模型設(shè)計(jì)出控制器。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了自適應(yīng)抗干擾控制器，將滑動(dòng)和側(cè)滑以及其他擾動(dòng)視作系統(tǒng)的整體擾動(dòng)，設(shè)計(jì)出自適應(yīng)律，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人軌跡跟蹤。但上述文獻(xiàn)中的控制設(shè)計(jì)需要精確的機(jī)器人控制模型，且文獻(xiàn)[5，8]只考慮到運(yùn)動(dòng)學(xué)部分，這在移動(dòng)機(jī)器人的工程實(shí)際中往往不易實(shí)現(xiàn)。

針對(duì)上述問題，本文提出了基于動(dòng)力學(xué)的自適應(yīng)模糊控制方法來解決動(dòng)力學(xué)部分所受到的滑動(dòng)和側(cè)滑影響。結(jié)合H∞控制理論，引用魯棒補(bǔ)償項(xiàng)[10]將建模誤差，外部干擾包括滑動(dòng)和側(cè)滑衰減到預(yù)先規(guī)定的指標(biāo)，通過Lyapunov方法給出了自適應(yīng)律。運(yùn)動(dòng)學(xué)部分是通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法[11]設(shè)計(jì)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器，處理受滑動(dòng)和側(cè)滑影響的實(shí)際位置與期望位置的誤差，最后以仿真驗(yàn)證了在滑動(dòng)及側(cè)滑影響下，移動(dòng)機(jī)器人能夠準(zhǔn)確快速跟蹤期望軌跡。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

本文研究的對(duì)象為差分驅(qū)動(dòng)輪式移動(dòng)機(jī)器人，結(jié)構(gòu)如圖1所示。輪式移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型為[6]

(1)

圖1 輪式移動(dòng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)

由于地面的濕滑和快速轉(zhuǎn)彎，移動(dòng)機(jī)器人容易發(fā)生滑動(dòng)和側(cè)滑，故很難滿足理想的非完整性約束條件[11]。因此在發(fā)生滑動(dòng)或側(cè)滑影響下的非完整約束條件為

(2)

式中μ為側(cè)滑速度，ζ=[ζrζl]T為左右驅(qū)動(dòng)輪的滑動(dòng)引起的干擾角速度。

整理式(2)可知移動(dòng)機(jī)器人在滑動(dòng)和側(cè)滑影響下的運(yùn)行速度為

(3)

式中v=[uω]T，u為移動(dòng)機(jī)器人前進(jìn)的線速度，ω為移動(dòng)機(jī)器人角速度,ξ=[ξuξω]，ξu為縱向滑移速度，ξω為偏航角速度。f(q,μ)為擾動(dòng)非完整約束引起的不匹配干擾向量。

由式(1)和式(2)可知受滑動(dòng)和側(cè)滑影響的動(dòng)力學(xué)模型

F2(q)f(q,μ)=τ+τd

(4)

式中Mv=(STB)-1STMS，Cv=(STB)-1ST(M+CS)，F(xiàn)1=(STB)-1STM，F(xiàn)2=(STB)-1STC。

定理1將輸入擾動(dòng)和移動(dòng)機(jī)器人的滑動(dòng)、側(cè)滑均視為擾動(dòng)

(5)

移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型可以整理為

(6)

2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器和自適應(yīng)模糊動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)

2.1 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器[11]處理移動(dòng)機(jī)器人實(shí)際位置與期望位置之間的誤差，輸出控制移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的期望速度。

令輪式移動(dòng)機(jī)器人的位置坐標(biāo)為h=[x,y]T,則=Qv,其中

(7)

(8)

式中 [uc,ωc]T為運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的期望速度，Ix，Iy為飽和常數(shù)，坐標(biāo)誤差增益kx>0,ky>0。

2.2 自適應(yīng)模糊動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)

本文提出基于動(dòng)力學(xué)的自適應(yīng)模糊方法[2]控制器，不需要辨識(shí)或估計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)。

受滑動(dòng)和側(cè)滑影響的移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型可以寫為

(9)

式中z為狀態(tài)向量，k為輸入向量，ε為擾動(dòng)量，P(z)和Γ(z)為模糊近似函數(shù)。

如圖2，設(shè)計(jì)自適應(yīng)模糊控制器的目的是發(fā)現(xiàn)輸入力矩τ(t)控制實(shí)際速度v(t)漸近收斂到期望速度vc(t)。

圖2 控制算法結(jié)構(gòu)

動(dòng)力學(xué)誤差為

(10)

模糊系統(tǒng)

(11)

為設(shè)計(jì)未知參數(shù)ksi,Pi,Γi的自適應(yīng)更新率。設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)為

(12)

式中φi,γP,γΓ為正數(shù)。

(13)

假設(shè)φi滿足

(14)

式中ρ,γ,η為正數(shù),則

(15)

此外必須滿足式(16)保證式(14)的一個(gè)解φi為正數(shù)

(16)

不等式(15)是H∞指數(shù)[10]，因此利用控制律和自適應(yīng)律可以保證(vc-v)→0。

2.3 完整控制系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

將運(yùn)動(dòng)學(xué)部分和動(dòng)力學(xué)部分級(jí)聯(lián)后，運(yùn)動(dòng)學(xué)部分變?yōu)?/p>

(17)

式中δ為速度控制偏差造成的系統(tǒng)位置控制的偏差

(18)

3 仿真分析

設(shè)輪式移動(dòng)機(jī)器人初始姿態(tài)(x,y,4)為(0.5,0.5,0)。選取運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器的參數(shù)為kx=ky為1，lx=ly為0.1。選取動(dòng)力學(xué)控制器的參數(shù)為γ為0.1，γΓ為0.09，γP為0.9，φ1為10，φ2為5，α1為0.1，α2為1。擾動(dòng)量[ζrζlμ]T和τd分別為[sin(t) cos(t)F(t)]T和[2sin(t) 2cos(t)]T。其中,F(t)=20[U(t-21)-U(t-23)]+24[U(t-37)-U(t-39)]為側(cè)滑量，U(t)為單位階躍函數(shù)。

利用MATLAB/SIMULINK進(jìn)行仿真分析，將本文提出的自適應(yīng)模糊動(dòng)力學(xué)控制器與文獻(xiàn)[9]自適應(yīng)控制方法動(dòng)力學(xué)控制器進(jìn)行對(duì)比。

1)由圖3(a)可知移動(dòng)機(jī)器在沒發(fā)生側(cè)滑，只受滑動(dòng)影響時(shí)，能夠準(zhǔn)確跟蹤軌跡。在前兩個(gè)轉(zhuǎn)彎處同時(shí)受滑動(dòng)和側(cè)滑影響時(shí)能夠迅速恢復(fù)行駛到期望軌跡上。由圖3(b)可知在前兩個(gè)轉(zhuǎn)彎處受滑動(dòng)和側(cè)滑影響下，軌跡跟蹤誤差較大，且不能迅速恢復(fù)軌跡跟蹤。在第三個(gè)轉(zhuǎn)彎處只有滑動(dòng)存在，也不能準(zhǔn)確進(jìn)行軌跡跟蹤。

圖3 軌跡跟蹤對(duì)比

2)從圖4可知，在21～23 s和37～39 s時(shí)受側(cè)滑影響，2種方法控制的軌跡跟蹤誤差都變大，但是自適應(yīng)模糊控制的軌跡跟蹤誤差較小，且能夠迅速跟蹤到期望軌跡上。

圖4 不同方向軌跡跟蹤誤差

3)從圖5可知，自適應(yīng)模糊控制在發(fā)生側(cè)滑時(shí)，機(jī)器人線速度和角速度跟蹤誤差較大，但側(cè)滑因素消失后，兩速度跟蹤誤差漸近于零。而自適應(yīng)控制在沒有側(cè)滑影響時(shí)也出現(xiàn)周期性誤差。

圖5 速度跟蹤誤差比較

4 結(jié) 論

1)根據(jù)移動(dòng)機(jī)器人受滑動(dòng)及側(cè)滑影響下的非完整性約束條件，構(gòu)造出移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型。并推導(dǎo)出新的控制系統(tǒng)狀態(tài)方程。在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分，設(shè)計(jì)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器，得到移動(dòng)機(jī)器人的期望速度。

2)提出了在滑動(dòng)和側(cè)滑影響下，基于動(dòng)力學(xué)的自適應(yīng)模糊控制。通過模糊系統(tǒng)逼近動(dòng)力學(xué)控制系統(tǒng)的未知非線性，H∞對(duì)滑動(dòng)和側(cè)滑干擾的補(bǔ)償，設(shè)計(jì)出模糊系數(shù)的自適應(yīng)律，解決移動(dòng)機(jī)器人偏離期望軌跡的問題。

3)仿真表明：本文所提方法有效補(bǔ)償了滑動(dòng)和側(cè)滑引起的擾動(dòng)，使移動(dòng)機(jī)器人在滑動(dòng)和側(cè)滑的影響下，能夠有效進(jìn)行軌跡跟蹤。