破解題設(shè)陷阱，構(gòu)造函數(shù)巧解導(dǎo)數(shù)小題

文/梅縣東山中學(xué) 石 勇

構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，本文詳細(xì)介紹了導(dǎo)數(shù)小題中構(gòu)造函數(shù)的常見方法．

一、與不等式有關(guān)的函數(shù)構(gòu)造

當(dāng)x∈(1，+∞)時，F(xiàn)′(x)<0，所以F(x)在[1,]+∞)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x>1時，F(xiàn)(x)1時，f(x)

解題技巧：構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵．

二、與等式有關(guān)的函數(shù)構(gòu)造

A.有極大值無極小值

B.有極小值無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值也無極小值

∴x2f′(x)+2xf(x)=lnx,∴[x2f(x)]′=lnx

∴x2f(x)=xlnx-x+c，將x=e代入可得：e2f(e)=elne-e+c

令g(x)=-xlnx+2x-e則g′(x)=1-lnx，

當(dāng)x∈(0,e)時，g′(x)>0，當(dāng)x∈(e,+∞)時，g′(x)<0，

故當(dāng)x=e時，g(x)取最大值0，故g(x)≤0恒成立，故f′(x)≤0恒成立，故既無極大值也無極小值，故選D.

解題技巧：這類問題在構(gòu)造函數(shù)時，注意逆向思維，構(gòu)造出的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與已知條件相同，或者能夠利用已知條件求解．

三、與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)構(gòu)造

解題技巧：sinx，cosx因為導(dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性，所以也是重點考察的范疇，?？嫉膸追N形式．

F(x)=f(x)sinx，F(xiàn)′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx；

F(x)=f(x)cosx，F(xiàn)′(x)=f′(x)cosx-f(x)sinx；

構(gòu)造函數(shù)時注意正弦、余弦的導(dǎo)數(shù)公式，尤其注意余弦的導(dǎo)數(shù)公式的符號．

四、具體函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)構(gòu)造

A.α>βB.α2>β2

C.α<βD.α+β>0

解題技巧：這類題型需要根據(jù)題意構(gòu)造具體的函數(shù)關(guān)系式，通過具體的關(guān)系式去解決不等式和求值問題.