一種可重構(gòu)、部分運(yùn)動(dòng)解耦的空間n維平移1維轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浼捌溥\(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)

沈惠平 趙迎春 許 可 張 震 楊廷力

常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心，常州,213016

0 引言

三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低、控制方便等優(yōu)點(diǎn)，因而成為研究和應(yīng)用的熱點(diǎn)，其中，三維純平移和三維純轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究較多[1-7]；而具有轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)混合輸出的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，同樣具有較好的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)于一平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)(1T2R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，研究較多的有HUNT[8]提出的3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu),JOSHI等[9]對3-RPS機(jī)構(gòu)進(jìn)行了奇異分析。Tricept和TriVariant機(jī)器人[10-12]中的3-UPS-UP和2-UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)、Exechon機(jī)器人[13]中的2-UPR-USP并聯(lián)機(jī)構(gòu)以及3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)[14]都屬于1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。王飛博等[15]對3-PRRU、2-PRU-PRRU和2-PRS-PRRU這3種1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了構(gòu)型優(yōu)選，對2-UPR-USP并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了尺度綜合[16]；汪滿新等[17]運(yùn)用虛擬鏈法對1T2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行型綜合，得到多種含冗余驅(qū)動(dòng)/過約束的新構(gòu)型；胡微微等[18]提出一種((2-RPR&RP)+R)&UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

關(guān)于兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(2T1R)機(jī)構(gòu)的研究相對較少，這類機(jī)構(gòu)可用于空間抓放定位設(shè)備、娛樂設(shè)備、調(diào)姿裝備等。KONG等[19]、楊寧等[20]分別基于螺旋理論對2T1R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)綜合進(jìn)行了研究；REFAAT等[21]根據(jù)位移李群理論對三自由度混合運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了型綜合研究；張彥斌等[22]根據(jù)線性變換理論，對無奇異完全各向同性2T1R型空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)綜合；楊廷力等[23]根據(jù)基于方位特征(position and orientation characteristic, POC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)理論與方法，得到了多種含有平面閉回路的2T1R型新型機(jī)構(gòu)。

本文設(shè)計(jì)了一種動(dòng)平臺可重構(gòu)、零耦合度且運(yùn)動(dòng)部分解耦的nT1R(n=2,3)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，建立了相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型并進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

1 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)及其拓?fù)浞治?/h2>

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)基于POC方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論和方法，本文提出的三自由度可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，靜平臺0與動(dòng)平臺1用一條混合支鏈(hybrid single-open-chain, HSOC)和一條無約束支鏈Ⅲ連接。

圖1 nT1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)Fig.1 Design of nT1R parallel mechanism

混合支鏈包含一個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)、一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4。子并聯(lián)機(jī)構(gòu)由支鏈Ⅰ、Ⅱ組成，支鏈Ⅰ包含一個(gè)由4個(gè)R副(Ra，Rb，Rc，Rd)組成的平行四邊形，和具有平行軸線的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R11‖R12‖R13)；支鏈Ⅱ由3個(gè)平行軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)副(R21‖R22‖R23)組成。進(jìn)一步，子平臺1′通過轉(zhuǎn)動(dòng)副(R4)串聯(lián)連接于動(dòng)平臺1。因此，混合支鏈的拓?fù)浔硎緸镽Pa-R‖R‖R-R，簡記為RPa‖3R-R；而無約束支鏈Ⅲ為R31-S31-S32，其拓?fù)錇镽SS型。因此，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡記為RPa‖3R-R+RSS。

動(dòng)平臺1上轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的軸線與x、y、z軸的夾角分別為α、β、γ。實(shí)際使用時(shí)，可通過桿9重構(gòu)調(diào)節(jié)為平行于x、y、z軸，從而使動(dòng)平臺1產(chǎn)生繞3個(gè)特定軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)輸出，適用于空間3種應(yīng)用場合(詳見1.2.3節(jié))。

1.2 機(jī)構(gòu)的輸出特性分析

1.2.1并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC方程

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC方程[23]為

(1)

(2)

其中，MPa為機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺的POC集；Mbi為第i條支鏈末端的POC集；Msj為當(dāng)支鏈含有子序單開鏈(single-open-chain, SOC)串聯(lián)時(shí)，第j個(gè)子SOC的POC集。

1.2.2動(dòng)平臺的POC集分析

(1)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。組成子并聯(lián)機(jī)構(gòu)(sub-PM)的Ⅰ、Ⅱ支鏈的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分別為SOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-}和SOC2{-R21‖R22‖R23-}。

靜平臺0上R11與R21為垂直布置，即R21⊥R11；R31可任意布置，取R31‖R11。選定動(dòng)平臺1的幾何中心p為基點(diǎn)O′。

(2)確定混合支鏈HSOC末端構(gòu)件的POC集。設(shè)H為子并聯(lián)機(jī)構(gòu)子平臺1′上的任一點(diǎn)，則H點(diǎn)處的POC集為

(3)

即子平臺1′始終產(chǎn)生oyz平面內(nèi)的二維平移。

因此，該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)串聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4后，構(gòu)成的混合支鏈的POC集為

(4)

(3)確定動(dòng)平臺POC集。RSS型Ⅲ支鏈的POC集為3T3R，因此，動(dòng)平臺1的POC集為

其中，{t1(⊥R4)}為伴隨移動(dòng)。

1.2.3動(dòng)平臺輸出運(yùn)動(dòng)的分析及實(shí)現(xiàn)

由式(3)可知，該機(jī)構(gòu)在oyz平面內(nèi)的兩維平移運(yùn)動(dòng)量y、z僅由驅(qū)動(dòng)副R11、R21確定，因此，該機(jī)構(gòu)具有部分輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦性(詳見2.1.2節(jié))。

由式(4)可知：

(1)當(dāng)且僅當(dāng)R4的軸線平行于R23的軸線(即平行于x軸線)時(shí)，動(dòng)平臺1能產(chǎn)生在oyz平面(即垂直于R23軸線的平面)內(nèi)的兩維平移及繞R4軸線的一維轉(zhuǎn)動(dòng)(2T1R)，為3個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)；

(2)當(dāng)R4的軸線在其他位置時(shí)，動(dòng)平臺1中心都會產(chǎn)生三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(3T1R)的輸出運(yùn)動(dòng)，但其中沿x軸向的平移為寄生運(yùn)動(dòng)；如選動(dòng)平臺1上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R4為基點(diǎn)，即安裝末端操作器，則末端操作器仍產(chǎn)生在oyz平面內(nèi)的兩維平移及繞R4軸線的一維轉(zhuǎn)動(dòng)(2T1R)。

在實(shí)際使用中，動(dòng)平臺1轉(zhuǎn)動(dòng)軸姿態(tài)的可重構(gòu)性可以這樣實(shí)現(xiàn)：

如圖2所示，桿9與子平臺1′通過球副H連接，可實(shí)現(xiàn)下列3種不同的固定姿態(tài)后予以鎖緊：①當(dāng)α=180°、β=90°、γ=90°即桿9平行于x軸時(shí)，動(dòng)平臺1產(chǎn)生2T1R的3個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。②當(dāng)α=90°、β=90°、γ=0°即桿9平行于動(dòng)平臺1的z軸(即其法線)時(shí)，動(dòng)平臺1會產(chǎn)生沿x軸的寄生平移運(yùn)動(dòng)，因此，動(dòng)平臺產(chǎn)生3T1R的輸出運(yùn)動(dòng)，但其中僅有3個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。③當(dāng)α=90°、β=90°、γ=180°即桿9平行于y軸時(shí)，動(dòng)平臺1會產(chǎn)生沿x軸的寄生平移運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)平臺會產(chǎn)生3T1R的輸出運(yùn)動(dòng)，但其中僅有3個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。

也就是說，動(dòng)平臺具有的寄生的平移運(yùn)動(dòng)量可通過重構(gòu)動(dòng)平臺1的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的特殊布置(如平行于x軸，即情形①)予以消除，這是本機(jī)構(gòu)的一個(gè)重要特性。

圖2 動(dòng)平臺轉(zhuǎn)動(dòng)軸的3種特定位置Fig.2 Three specific positions of rotation axis of moving platform

這種動(dòng)平臺轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向的可重構(gòu)性增強(qiáng)了該機(jī)構(gòu)的適應(yīng)能力和實(shí)用價(jià)值。

1.3 機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算

1.3.1并聯(lián)機(jī)構(gòu)全周性的自由度公式

并聯(lián)機(jī)構(gòu)全周性的自由度公式[23]為

(5)

(6)

v=m-n+1

1.3.2機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算

(1)確定獨(dú)立回路的位移方程數(shù)。該機(jī)構(gòu)可分解為兩個(gè)獨(dú)立回路：①由支鏈Ⅰ、Ⅱ組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)為第1個(gè)獨(dú)立回路，即HSOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-R23‖R22‖R21-}

由式(6)可得

ξL1=dim{MⅠ∪MⅡ} =

而該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集已由式(3)計(jì)算出，因此，由式(5)可知，該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

②上述子并聯(lián)機(jī)構(gòu)與R4、支鏈Ⅲ(即SOC3{-R4-S32-S31-R31-})組成第2個(gè)回路，由式(6)可得

(2)確定該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度。由式(5)得

因此，該機(jī)構(gòu)的自由度為3，可取靜平臺上的R11、R21、R31為驅(qū)動(dòng)副。計(jì)算自由度時(shí)，若將該機(jī)構(gòu)視為包含一條等效混合支鏈和支鏈Ⅲ組成的一個(gè)獨(dú)立回路，即SOC{-P*-P*-R4-S32-S31-R31-}，則由式(6)其獨(dú)立位移方程數(shù)ξL為

ξL=dim{MHSOC∪Mb2}=

由式(5)得

顯然，計(jì)算自由度時(shí)，如將含回路的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)用兩平移等效支鏈(P*-P*)替代，則會比較方便。

1.4 機(jī)構(gòu)的耦合度計(jì)算

1.4.1耦合度的定義

由基于序單開鏈(SOC)單元的機(jī)構(gòu)組成原理[23]知，任意機(jī)構(gòu)可分解為若干個(gè)基本運(yùn)動(dòng)鏈(basic kinematics chain， BKC)，進(jìn)一步，獨(dú)立回路數(shù)為v的BKC可分解為v個(gè)單開鏈SOC(Δj)(j=1,2,3,…,v)，而第j個(gè)單開鏈(SOCj)的約束度定義為

(7)

式中，mj為第j個(gè)SOC的運(yùn)動(dòng)副數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度(不含局部自由度)；Ij為第j個(gè)SOC的驅(qū)動(dòng)副數(shù)。

Δj有正、零、負(fù)3種形式，但須滿足

∑Δj=0

因此，BKC的耦合度к定義為

(8)

1.4.2機(jī)構(gòu)的耦合度к計(jì)算

1.3.2節(jié)已計(jì)算出兩個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)，分別為ξ1=5，ξ2=6，因此，它們的約束度Δ1、Δ2由式(7)計(jì)算，得

因此，該機(jī)構(gòu)包含兩個(gè)BKC，即BKC1、BKC2。由式(8)得，其耦合度分別為к1=0、к2=0,則運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可直接求出解析式。

2 機(jī)構(gòu)的位置分析

2.1 位置正解

2.1.1坐標(biāo)系的建立與參數(shù)標(biāo)注

2T1R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模如圖3所示，靜坐標(biāo)系oxyz建立在靜平臺0的幾何中心，且x軸與A1A3連線重合，y軸與A1A3連線垂直，動(dòng)坐標(biāo)系puvw的原點(diǎn)p位于直線C3D3中點(diǎn)，v軸重

圖3 2T1R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模Fig.3 Kinematic modeling of 2T1R mechanism

合于直線C3D3，u軸、w軸如圖3所示。

圖3中，oA1=oA2=oA3=l；C3D3=l8；桿2、3、4的長度均為l1，即A1B1=A2B2=A3B3=l1；B1C1=l2；B2C2=l3；B3C3=l5；C1D1=l4；D1E=EC2=l6；HD3=l7。

設(shè)A1B1、A3B3與x軸正向的夾角為θ1、θ3，A2B2與y軸正向的夾角為θ2，HD3與x、y、z軸的夾角分別為α、β、γ，動(dòng)平臺1上p的坐標(biāo)為(x,y,z)，其姿態(tài)角為θ。

2.1.2 BKC1(子并聯(lián)機(jī)構(gòu))的位置分析

BKC1(子并聯(lián)機(jī)構(gòu))的位置分析即求子平臺1′上點(diǎn)C1、C2的坐標(biāo)。易知，在靜坐標(biāo)系oxyz中，A1、A2、A3點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(l,0,0)、(0,l,0)、(-l,0,0)；B1、B2的坐標(biāo)分別為(l+l1cosθ1,0,l1sinθ1)、(0,l+l1cosθ2,l1sinθ2)。

由1.2.2節(jié)可知，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，子平臺1′僅產(chǎn)生沿z、y軸的平移，即xC2=0，則C2、C1的坐標(biāo)分別為(0,yC2,zC2)、(l-l6,yC2-l6,zC2-l4)。

于是，由桿長約束B1C1=l2和B2C2=l3，有位置約束方程：

(9)

將式(9)化簡得

ayC2+bzC2=c

(10)

a=2(yB2-2l6)

b=2(zB2-l4-xB1)

(1)當(dāng)a=0時(shí)

(11)

(2)當(dāng)a≠0時(shí)

(12)

d=a2+b2

e=2(bc+zB2a2-abyB2)

由式(11)、式(12)可以看出，子平臺1′的兩維平移運(yùn)動(dòng)量y、z僅由驅(qū)動(dòng)副R11、R21的輸入角θ1、θ2確定，即該機(jī)構(gòu)具有部分輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦性。

2.1.3BKC2的位置求解

BKC2的位置求解即求動(dòng)平臺上p點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)和姿態(tài)角θ。

(13)

而C3點(diǎn)的坐標(biāo)為

(14)

f11=fxfx(1-cosθ)+cosθ

f12=fyfx(1-cosθ)-fzsinθ

f13=fzfx(1-cosθ)+fysinθ

f21=fxfy(1-cosθ)+fzsinθ

f22=fyfy(1-cosθ)+cosθ

f23=fzfy(1-cosθ)-fxsinθ

f31=fxfz(1-cosθ)-fzsinθ

f32=fyfz(1-cosθ)+fxsinθ

f33=fzfz(1-cosθ)+cosθ

式中，fx、fy、fz分別為x、y、z軸上的方向余弦，即cosα、cosβ、cosγ。

于是，由D3、C3點(diǎn)坐標(biāo)，易求解p點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)。

進(jìn)一步，由桿長約束B3C3=l5，得位置約束方程：

(15)

將式(15)整理化簡得

a1sinθ+b1cosθ+c1=0

(16)

a1=2a2l8fz-2c2l8fx

a2=(xB3-x)2b2=(yB3-y)2c2=(zB3-z)2

解得

(17)

從而求得該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺的姿態(tài)角。

2.2 位置逆解求解

已知：動(dòng)平臺1上p的坐標(biāo)(x,y,z)和姿態(tài)角θ，求輸入角θ1、θ2、θ3。

由式(14)可知，C3點(diǎn)的坐標(biāo)為(l8f12/2+x，l8f22/2+y，l8f32/2+z)，則D3點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x-xC3,2y-yC3,2z-zC3)；而H點(diǎn)的坐標(biāo)為(-l6,yD3-l7cosβ,zD3-l7cosγ)。于是，C1、C2點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(l6,yH,zH-l4)，(0,yH+l6,zH)。

由桿6、7、8的桿長約束，可建立方程：

(18)

(19)

(20)

由式(18)～式(20)可得

(21)

i=1,2,3z1=zC1z2=zC2z3=zC3

綜上可知，當(dāng)動(dòng)平臺p點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)已知時(shí)，輸入角θ1、θ2、θ3各有兩組解，C1、C2、C3點(diǎn)的坐標(biāo)各有兩組解，故逆解數(shù)8×8=64，因此，動(dòng)平臺有64種構(gòu)型。

2.3 正逆解驗(yàn)算

針對動(dòng)平臺1的第二種姿態(tài)，即α=90°，β=90°，γ=0°，進(jìn)行位置數(shù)值驗(yàn)證計(jì)算。

參考ABB機(jī)器人I4R的尺寸參數(shù)，輸入桿和平行四邊形的尺寸參數(shù)與之相同[24]，即l1=350、l2=750；其他結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為l=300、l3=l5=800、l4=100、l6=150、l7=200、l8=400，單位mm。

取輸入角θ1、θ2、θ3分別為25.98°、35.8°、134.52°。由MATLAB計(jì)算得機(jī)構(gòu)此時(shí)的位置正解，見表1。此時(shí)，對應(yīng)機(jī)構(gòu)的三維構(gòu)型如圖4所示。

表1 第二種姿態(tài)時(shí)的機(jī)構(gòu)位置正解

圖4 對應(yīng)正解1的三維構(gòu)型 Fig.4 Configuration corresponding to solution 1

取表1中的第1組數(shù)據(jù)，進(jìn)行逆解運(yùn)算，求得輸入角θ1、θ2、θ3的8組逆解數(shù)值，見表2。由表2可知，第1組逆解數(shù)值與正解求解時(shí)的3個(gè)設(shè)定的輸入角一致，因此，正逆解公式推導(dǎo)正確。

表2 第二種姿態(tài)時(shí)機(jī)構(gòu)的位置逆解

3 機(jī)構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動(dòng)能力分析

3.1 工作空間分析

工作空間是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的一個(gè)重要指標(biāo)。本文采用極坐標(biāo)空間三維搜索法，基于上述第二種姿態(tài)時(shí)求得的機(jī)構(gòu)位置逆解，查找該機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)所有滿足桿長約束、轉(zhuǎn)角約束、干涉約束的點(diǎn)，即預(yù)先設(shè)定該機(jī)構(gòu)工作空間的z向高度范圍，通過改變搜索半徑以及搜索角度，找到工作空間的邊界。

設(shè)定搜索范圍為：300 mm≤z≤1 200 mm， -π≤θ≤π，0≤ρ≤300 mm；運(yùn)用MATLAB軟件編程，得到該機(jī)構(gòu)工作空間的三維立體圖(圖5)；其中，不同高度z處的xy截面圖見圖6。

圖5 機(jī)構(gòu)的三維工作空間Fig.5 3D workspace of the PM

圖6 機(jī)構(gòu)工作空間的xy截面圖Fig.6 Cross-section view of xy of workspace of the PM

由圖5和圖6可知：

(1)機(jī)構(gòu)的工作空間相對于直線T-T具有良好的對稱性，這與實(shí)際結(jié)構(gòu)關(guān)于直線T-T對稱是一致的。

(2)當(dāng)z≤500 mm時(shí)，該機(jī)構(gòu)的工作空間不連續(xù)，存在空洞。

(3)當(dāng)z∈[700, 1 100] mm時(shí)，截面連續(xù)且形狀比較規(guī)則，該區(qū)域?yàn)槟┒瞬僮髌鞯挠行Чぷ骺臻g；隨著z的增大，截面面積逐漸減小。

(4)截面在x方向上較短，這是因?yàn)閤方向平移量是由繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R4轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的寄生量，取決于動(dòng)平臺長度的一半(l8/2)。

3.2 機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力分析

機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺轉(zhuǎn)角分析是評估并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)角度能夠到達(dá)的范圍的大小。同樣，基于上述第二種姿態(tài)時(shí)機(jī)構(gòu)的位置逆解方程，采用極限邊界搜索法，可以求出機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺1上D3點(diǎn)在工作空間內(nèi)任意位置時(shí)轉(zhuǎn)角的范圍。

由MATLAB計(jì)算D3點(diǎn)在oyz平面上各點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θ的范圍(圖7)。

圖7 機(jī)構(gòu)工作空間各點(diǎn)的轉(zhuǎn)角范圍 Fig.7 Rotation capability of each point in workspace

由圖7可知，機(jī)構(gòu)工作空間各點(diǎn)轉(zhuǎn)角θ的范圍很大，由圖7a和圖7b可看出：①動(dòng)平臺處于點(diǎn)A(0,900)mm、B(-600,700)mm時(shí)，其轉(zhuǎn)角范圍分別為[-180°,180°]、[-90°,120°]；②A點(diǎn)處于的深色區(qū)域內(nèi)，機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)角能達(dá)到[-180°，180°]，約占總區(qū)域面積的65%，表明機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺具有較大的轉(zhuǎn)動(dòng)能力。

4 機(jī)構(gòu)的奇異性分析

4.1 機(jī)構(gòu)奇異性原理

f(y，z，θ)=0

全微分后可表示為

Jpv=Jqω

(22)

u11=2(zC1-zB1)l1cosθ1+2(xC1-xB1)l1sinθ1

u22=2(zB2-zC2)l1cosθ2+2(yC2-yB2)l1sinθ2

u33=2(zB3-zC3)l1cosθ3+2(xC3-xB3)l1sinθ3

v11=2yC1v21=2(yC2-yB2)v31=2yC3

v12=2(zC1-zB1)v22=2(zC2-zB2)

v32=2(zC3-zB3)v13=l8yC1sinθ

v23=l8(yC2-yB2)sinθ

v33=2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ

依據(jù)Jp、Jq矩陣是否奇異，將機(jī)構(gòu)的奇異位形分為如下三類:①當(dāng)det(Jq)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異；②當(dāng)det(Jp)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異；③當(dāng)det(Jq)=det(Jp)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生綜合奇異。

4.2 奇異位形分析

4.2.1輸入奇異

機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異，意味著每條支鏈靠近驅(qū)動(dòng)桿的兩根桿處于折疊在一起或完全展開狀態(tài)。這時(shí)，動(dòng)平臺的自由度數(shù)減少。此時(shí)，det(Jq)=0，該行列式方程解的集合K為

K={K1∪K2∪K3}

(23)

且三種情況分別為

(1)K1={(xC1-xB1)sinθ1+(zB1-zC1)·cosθ1=0}，即A1、B1、C1三點(diǎn)在oxz平面上的投影共線；

(2)K2={(yC2-yB2)sinθ2+(zB2-zC2)·cosθ2=0}，即A2、B2、C2三點(diǎn)共線；

(3)K3={(zB3-zC3)cosθ3+(xC3-xB3)·sinθ3=0}，即A3、B3、C3三點(diǎn)在oxz平面上的投影共線。

圖8所示為滿足K1的三維構(gòu)型。

圖8 輸入奇異位形Fig.8 Input singularity

4.2.2輸出奇異

機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異，意味著每條支鏈靠近動(dòng)平臺的桿，處于折疊在一起或完全展開的狀態(tài)，此時(shí)的動(dòng)平臺自由度增多，即使鎖住輸入，動(dòng)平臺也可能存在自由度輸出。設(shè)

(wi1,wi2,wi3)=eii=1,2,3

(24)

(wk1,wk2,wk3,wk4)=Ekk=1,2,3

(25)

若det(Jp)=0，則向量e1、e2、e3有如下兩種情況：

(1)存在2個(gè)向量線性相關(guān)。

①若e1=ke2，取w12=kw22，則

kw23=kl8(yC2-yB2)sinθ≡w13

即E1≡kE2，其三維構(gòu)型為向量B1C1、B2C2在oyz平面上的投影相互平行，見圖9。

圖9 輸出奇異位形1Fig.9 Output singularity 1

②若e2=ke3，取w21=kw31，則

kw33=k(2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ)

圖10 輸出奇異位形2Fig.10 Output singularity 2

同理可得：e1=ke3，E1≡kE3。

(2)存在3個(gè)向量線性相關(guān)。

若e1=k1e2+k2e3(k1k2≠0)，即有

w1i=k1w2i+k2w3ii=1,2,3

k1w23+k2w33=k1(l8(yC2-yB2)sinθ+

k2(2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ)≠w13

同理可得，若任意3個(gè)向量(k1k2≠0)均線性無關(guān)則第(2)種情況都不成立。

4.2.3綜合奇異

此時(shí)，det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時(shí)發(fā)生。在此位形下，動(dòng)平臺將失去原有的運(yùn)動(dòng)特性。因此，取滿足K1、K2、K3的條件，代入輸出奇異分析中，此時(shí)，輸出奇異不成立，故該機(jī)構(gòu)不存在綜合奇異。

5 機(jī)構(gòu)速度、加速度分析

5.1 速度公式推導(dǎo)

當(dāng)機(jī)構(gòu)不存在奇異位置時(shí)，Jp可逆，由式(22)得

(26)

式(26)即為動(dòng)平臺原點(diǎn)的輸出速度。

5.2 加速度公式推導(dǎo)

進(jìn)一步，由式(26)求導(dǎo)得到

(27)

當(dāng)機(jī)構(gòu)不存在奇異位置時(shí)，Jp可逆，則

(28)

式(28)即為動(dòng)平臺原點(diǎn)的加速度正解公式。

5.3 速度、加速度算例驗(yàn)證

表3 動(dòng)平臺的速度分析

表4 動(dòng)平臺的加速度分析

進(jìn)一步通過SolidWorks將該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型導(dǎo)入ADAMS軟件中進(jìn)行仿真，得到動(dòng)平臺的速度與加速度曲線，見圖11、圖12。

圖11 動(dòng)平臺的速度曲線Fig.11 Curves of velocity of moving platform

圖12 動(dòng)平臺的加速度曲線Fig.12 Curves of acceleration of moving platform

經(jīng)MATLAB計(jì)算得到的速度值(如表3中t=2 s時(shí)，vy=-1.324 mm/s，vz=-7.512 mm/s，ω=3.735(°)/s)與運(yùn)用ADAMS仿真得到的速度(見圖11)完全一致，從而驗(yàn)證了推導(dǎo)的速度與加速度公式的正確性。機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺的速度、加速度曲線，變化平穩(wěn)、連續(xù)，表明機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能較好。

6 結(jié)論

(1)本文提出了一種新的零耦合度且具有部分運(yùn)動(dòng)解耦性的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其動(dòng)平臺能產(chǎn)生空間nT1R輸出運(yùn)動(dòng)(n=2,3)；建立了該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺繞任意轉(zhuǎn)動(dòng)軸輸出構(gòu)型下通用的解析運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

(2)對動(dòng)平臺繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)輸出構(gòu)型下的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了詳細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的有效工作空間具有較好的對稱性；截面在x方向上較短，這是因?yàn)閤方向平移量是由繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R4轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的寄生量，取決于動(dòng)平臺長度的一半(l8/2)。機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺轉(zhuǎn)動(dòng)能力分析表明：動(dòng)平臺轉(zhuǎn)角θ的范圍較大，能達(dá)到[-180°，180°]的區(qū)域，約占總區(qū)域的65%，表明機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺具有較大的轉(zhuǎn)動(dòng)能力。該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺速度、加速度變化平穩(wěn)，具有較好的動(dòng)力學(xué)性能。