強不確定系統(tǒng)“全系數(shù)之和等于1”的實現(xiàn)方法*

孟 斌

1.北京控制工程研究所，北京 100094；2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京 100094.

0 引 言

圖1 “全系數(shù)之和等于1”輸入變換示意圖Fig.1 Diagram of input transformation for“sum of all coefficients being one”.

圖2 全系數(shù)自適應(yīng)再入制導總體結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Diagram of all coefficients adaptivereentry lifting control[4]

本文考慮強不確定系統(tǒng)“全系數(shù)之和等于1”的實現(xiàn)問題，強不確定系統(tǒng)指的是系統(tǒng)的靜態(tài)增益及其界不完全確知且范圍較大.針對采用靜態(tài)增益標稱值的倒數(shù)進行輸入變換的方法，給出“全系數(shù)之和等于1”的條件，以及進一步實現(xiàn)“全系數(shù)之和等于1”的方法，為特征模型理論在實際中的應(yīng)用提供一定的基礎(chǔ).

1 預備知識和問題描述

1.1 預備知識

本節(jié)給出“全系數(shù)之和等于1”的相關(guān)引理，為后續(xù)研究提供準備.考慮開環(huán)穩(wěn)定最小相位連續(xù)時間傳遞函數(shù)

(1)

其中αi,βj,i=0,1,…,n-1,j=0,1,…,m-1,表示實系數(shù)，T表示采樣周期，k表示系統(tǒng)增益，d為正數(shù)，0≤f<1,表示系統(tǒng)的時滯.其零階保持采樣離散化傳遞函數(shù)[6]為

(2)

其中ai,bj,i=1,…,n,j=0,1,2,…,n是實數(shù).“全系數(shù)之和等于1”指的是，離散化系統(tǒng)(2)的系數(shù)滿足如下關(guān)系：

(3)

上述關(guān)系是在一定條件下成立的，具體的引理如下：

引理1.在連續(xù)時間模型(1)與它的零階保持采樣離散時間模型(2)的參數(shù)之間存在下列關(guān)系：

(1) 離散時間模型與系統(tǒng)靜態(tài)增益G(0)之間滿足

?T(4)

(2) 離散時間模型在

(5)

的條件下滿足

其中，λi<0,i=1,2,…,n,表示(1)的n個特征值.

從引理1可見，當式(4)中靜態(tài)增益G(0)=1，或者式(5)成立時，可以近似得到(3).在引理1的條件中，靜態(tài)增益G(0)=1是顯然的，但條件(5)較復雜.在主要結(jié)果部分，將給出條件(5)的一個簡化的充分條件.

1.2 問題描述

本文對實現(xiàn)“全系數(shù)之和等于1”的一類輸入變換方法開展理論研究.考慮連續(xù)系統(tǒng)(1)，其傳遞函數(shù)為：

(6)

2 主要結(jié)果

本節(jié)給出主要結(jié)果.首先定義時間常數(shù)為

最小時間常數(shù)為

其中，λmax為特征值的絕對值的最大值.下面給出引理1條件(5)的一個簡化的充分條件.

證明.首先證明當λi<0,i=1,2,…,n,時，

(7)

通過簡單分析函數(shù)

(8)

的性質(zhì)可知：f(x)單調(diào)增加，當x<0時，f(x)<1.通過函數(shù)泰勒展開易見，

由于λiT<0,i=1,2,…,n,結(jié)合函數(shù)f(x)的性質(zhì)，可知式(7)成立.下面分析α0Tn的性質(zhì).由最小時間常數(shù)的定義可得

所以

因此，如果

(9)

|α0Tn|?1(10)

結(jié)合式(7)和式(10)，當|G(0)-1|<1時，通過簡單分析可知式(5)成立.引理得證.

注2.由引理2可知，如果靜態(tài)增益與1的距離較小，也即滿足|G(0)-1|<1.可以通過選取采樣周期的方法，近似實現(xiàn)“全系數(shù)之和等于1”.當已知系統(tǒng)的最小時間常數(shù)，可以通過適當選擇采樣周期T滿足引理2的條件，從而近似實現(xiàn)“全系數(shù)之和等于1”的關(guān)系.

下面進一步研究標稱值變換的性質(zhì).從圖1可以看出，通過標稱值變換以后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(11)

則有

(12)

易見，

(13)

3 數(shù)值仿真

選取連續(xù)傳遞函數(shù)(1)，具體取值為

(14)

為簡化書寫，這里僅假設(shè)存在不確定性Δβ，Δβ在下面的仿真中取不同的值.通過簡單計算可知，

s4+26s3+251s2+1 066s+1 680=

(s+5)(s+6)(s+7)(s+8)(15)

易知，最小時間常數(shù)Tmin=1/8.靜態(tài)增益

將G(0)分成標稱部分和不確定性部分，從而可以利用標稱部分進行輸入變換：

其中，

易見

(16)

(17)

第一組仿真結(jié)果為：

第二組仿真結(jié)果為：

第三組仿真結(jié)果為：

上述仿真結(jié)果驗證了定理1的結(jié)論.通過比較第一組和第三組的仿真結(jié)果可見，通過減小采樣周期，誤差可以得到大幅改善.

注3.從上面的仿真可以看出，采樣周期在全系數(shù)之和等于1中具有重要作用.在采用“全系數(shù)之和等于1”結(jié)論的場合中，要特別注意特征參數(shù)T/Tmin的選取.

4 結(jié) 論

本文研究強不確定系統(tǒng)“全系數(shù)之和等于1”的實現(xiàn)方法.當系統(tǒng)靜態(tài)增益的不確定性和標稱值的比值小于10%時，可以直接采用標稱值輸入變換方法，變換后的系統(tǒng)可以近似認為實現(xiàn)了“全系數(shù)之和等于1”；當上述比值較大時，進一步給出了通過選取合適的采樣周期，選取采樣周期和最小時間常數(shù)的比值較小，近似實現(xiàn)“全系數(shù)之和等于1”的方法.通過仿真可見采樣周期的選取是實現(xiàn)“全系數(shù)之和等于1”的關(guān)鍵要素.