具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的光滑曲面設(shè)計

鄭薈瑩，伯彭波

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具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的光滑曲面設(shè)計

鄭薈瑩，伯彭波

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 威海 264209)

為了設(shè)計具有規(guī)整曲率線網(wǎng)且無臍點(diǎn)的光滑曲面，提出一種曲面交互設(shè)計算法。采用Bézier曲面片光滑拼接構(gòu)成的復(fù)合曲面作為表達(dá)形式，通過交替曲率線網(wǎng)的優(yōu)化和曲面細(xì)分得到自由形狀的設(shè)計曲面，所得曲面具有規(guī)整曲率線網(wǎng)而且沒有臍點(diǎn)。以此復(fù)合Bézier曲面為基礎(chǔ)，通過圓紋樣條曲面優(yōu)化算法得到結(jié)構(gòu)規(guī)整的圓紋樣條曲面，同時也能得到圓錐曲面條模型以及曲面多層支撐結(jié)構(gòu)等自由建筑曲面設(shè)計中有重要應(yīng)用的幾何結(jié)構(gòu)。

曲率線網(wǎng)；圓紋曲面；臍點(diǎn)；曲面設(shè)計

1 相關(guān)工作

在建筑曲面設(shè)計和數(shù)控加工等領(lǐng)域設(shè)計曲面上的曲率線具有重要的實(shí)際應(yīng)用意義，例如在建筑曲面造型中，多層玻璃結(jié)構(gòu)建筑物的支撐框架的走向必須與曲面的曲率線走向一致[1]，因此在應(yīng)用中希望設(shè)計曲面的曲率線分布比較規(guī)整。規(guī)整的曲率線網(wǎng)是指曲率線分布比較整齊，而且曲率線網(wǎng)不含有奇異點(diǎn)。設(shè)計具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的曲面難點(diǎn)之一是曲面的曲率線網(wǎng)對曲面形狀變化高度敏感[1-2]。圖1給出了一個參數(shù)曲面和曲面上的不規(guī)整的曲率線網(wǎng)，形狀簡單的曲面上具有很復(fù)雜的曲率線網(wǎng)。

現(xiàn)有曲面建模技術(shù)關(guān)注曲面的光順性、連續(xù)性和逼近誤差等要求，無法設(shè)計具有規(guī)整曲率線網(wǎng)且無臍點(diǎn)的連續(xù)參數(shù)曲面。已有的改善曲面光順性的工作也能夠在一定程度上改善曲面的曲率線分布，但不能保證得到具有規(guī)整曲率線網(wǎng)且無臍點(diǎn)的曲面。此類方法通過優(yōu)化定義曲面上的能量函數(shù)改善曲面的光順性[3]。JOSHI[4]通過極小化曲面的曲率變化達(dá)到光順曲面的目的。一些方法通過直接或間接修改曲面上的高光線缺陷消除曲面的局部不光順形狀特征[5-7]。ALLIZE等[8]提出基于曲面上曲率線網(wǎng)的重新網(wǎng)格化方法，且不試圖改善曲面的曲率線分布也無法去除臍點(diǎn)。KN?PPEL等[9]提出網(wǎng)格曲面方向場的設(shè)計方法，可將主曲率方向作為約束生成沿曲率線的重新網(wǎng)格化結(jié)果，但該方法不能保證生成無臍點(diǎn)的曲面。LIU等[1]提出離散曲率線網(wǎng)格的計算方法，并討論了在建筑曲面設(shè)計中的應(yīng)用。PAN等[10]提出了基于曲面片邊界上給定的方向場生成邊界內(nèi)部的光順方向場，進(jìn)而生成網(wǎng)格曲面的方法。

圖1 曲面上不規(guī)整的曲率線網(wǎng)

本文提出一種能夠生成具有規(guī)整曲率線網(wǎng)且無臍點(diǎn)的連續(xù)曲面設(shè)計算法。結(jié)合圓紋曲面優(yōu)化技術(shù)得到具有規(guī)整結(jié)構(gòu)的圓紋樣條曲面及其他在建筑曲面設(shè)計中有重要應(yīng)用的特殊幾何結(jié)構(gòu)。圓紋樣條曲面采用Dupin圓紋面上的曲面片光滑拼接構(gòu)造復(fù)雜的形狀[11]。圓紋樣條曲面由圓弧樣條曲線組成，是曲面上的精確曲率線，在一定程度上實(shí)現(xiàn)了幾何表達(dá)和曲率表達(dá)的一致性。圓紋樣條曲面幾何性質(zhì)的表達(dá)，在面向數(shù)字化制造中的曲面設(shè)計中具有重要的應(yīng)用前景[12]。

圓紋樣條曲面建模的困難在于其自由度很少，傳統(tǒng)的方法無法生成具有復(fù)雜形狀的圓紋樣條曲面。SRINIVAS等[13]首先設(shè)計一個圓圈網(wǎng)格，在網(wǎng)格的指定頂點(diǎn)上定義一個標(biāo)架，并通過反射約束傳播到整個曲面，但不能保證曲面的整體光順性。BO等[11]提出一種全局觀點(diǎn)的優(yōu)化方法，將網(wǎng)格頂點(diǎn)和頂點(diǎn)上的標(biāo)架一同優(yōu)化，可以構(gòu)造形狀復(fù)雜的圓紋樣條曲面。該方法在目標(biāo)曲面上沿曲率線生成四邊形網(wǎng)格，網(wǎng)格結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜且存在奇異點(diǎn)。

本文的貢獻(xiàn)為：①提出一種無臍點(diǎn)且具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的光滑曲面設(shè)計方法；②提供了具有規(guī)整結(jié)構(gòu)的圓紋樣條曲面、圓錐曲面條模型及多層支撐結(jié)構(gòu)等自由建筑支撐結(jié)構(gòu)等自由曲面建筑設(shè)計中重要的幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計方法。

2 算法描述

本文提出的曲面設(shè)計方法，能夠設(shè)計具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的光滑曲面。在曲面細(xì)分的設(shè)計流程中，用戶首先設(shè)計一個粗糙網(wǎng)格，表達(dá)設(shè)計意圖，然后通過迭代曲面細(xì)分和曲面優(yōu)化得到光滑的曲面。

為了在曲面設(shè)計過程中提供一個光滑的曲面表示，本文以三次Bézier曲面拼接的復(fù)合曲面作為曲面表示形式，優(yōu)化目標(biāo)使Bézier曲面片的邊界曲線成為曲面上的曲率線，并由所有曲面片的邊界曲線構(gòu)成復(fù)合曲面上的曲率線網(wǎng)結(jié)構(gòu)。最后基于具有規(guī)整曲率線網(wǎng)結(jié)構(gòu)的復(fù)合Bézier曲面，設(shè)計圓紋樣條曲面優(yōu)化算法優(yōu)化Bézier曲面的控制點(diǎn)，生成圓紋曲面片的有理二次多項(xiàng)式曲面的控制點(diǎn)和權(quán)重。

目標(biāo)是讓復(fù)合曲面中Bézier曲面片的邊界曲線成為曲面的曲率線，基本策略是通過交替曲面細(xì)分和曲率線優(yōu)化構(gòu)造具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的自由曲面，并以此曲面的幾何信息構(gòu)造圓紋樣條曲面優(yōu)化的初始。算法流程如圖2所示。首先交互設(shè)計初始網(wǎng)格并生成初始Bézier曲面。然后交替2個步驟：基于Bézier曲面片的規(guī)整曲率線網(wǎng)以及曲面細(xì)分。當(dāng)?shù)玫降那娣显O(shè)計要求時，優(yōu)化復(fù)合Bézier曲面的控制點(diǎn)生成圓紋樣條曲面。

圖2 算法流程圖

初始設(shè)計網(wǎng)格是規(guī)整四邊形網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格細(xì)分可保持四邊形網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，曲面優(yōu)化的目標(biāo)是網(wǎng)格面片的邊界成為曲面的曲率線。由于圓紋曲面片沒有臍點(diǎn)，因此算法可以保證最后生成的圓紋樣條曲面符合設(shè)計意圖并且具有規(guī)整曲率線網(wǎng)結(jié)構(gòu)。

2.1 初始曲面的交互設(shè)計

首先交互設(shè)計一個符合預(yù)期形狀的粗略四邊形網(wǎng)格曲面。每一個四邊形內(nèi)生成3×3個小四邊形，小四邊形的頂點(diǎn)為控制點(diǎn)，在每一個原始四邊形面片上構(gòu)造一個雙三次Bézier曲面(,)，其中，是參數(shù)。

2.2 曲率線網(wǎng)的優(yōu)化

本文基于Bézier曲面拼接的復(fù)合曲面生成的具有規(guī)整曲率線網(wǎng)需考慮以下約束。

(1) 曲率線約束?？紤]曲面片(,)的一個邊界曲線()，并優(yōu)化其成為曲面的近似曲率線。假設(shè)()上的曲面法向量是()，()是曲線()上的切矢量。根據(jù)曲面上曲率線的性質(zhì)可知曲線()是曲面的曲率線，當(dāng)且僅當(dāng)曲線()上每一點(diǎn)滿足如下約束[14]

其中，參數(shù)可以任意參數(shù)化，且()和()不要求是單位向量。在曲線上計算+1個采樣點(diǎn)，建立目標(biāo)函數(shù)

定義曲面的曲率線目標(biāo)函數(shù)為

(2) 曲面光滑拼接約束。根據(jù)Bézier曲面的幾何性質(zhì)，其拼接的連續(xù)性條件可以用公共邊界鄰近的曲面控制點(diǎn)的關(guān)系表示。在設(shè)計過程中，由于四邊形片面拼接的曲面上不存在奇異點(diǎn)，因此相鄰的Bézier曲面1拼接的目標(biāo)函數(shù)比較簡單，記為smooth。

(3) 網(wǎng)格光順控制。為了得到光順的曲面形狀，需增加網(wǎng)格的光順控制項(xiàng)，即

其中，v,v+1,v+2是網(wǎng)格流線上相鄰的3個頂點(diǎn)。該函數(shù)可使得流線上的頂點(diǎn)趨向均勻分布。

(4) 距離約束。為了避免曲面的形狀變化太大，增加網(wǎng)格頂點(diǎn)到初始位置的距離誤差，即

曲面優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

由極小化目標(biāo)函數(shù)式(2)得到具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的復(fù)合Bézier曲面，其優(yōu)化變量是曲面的所有控制點(diǎn)P。利用Gauss-Newton算法極小化目標(biāo)函數(shù)式(2)，解析出算法中需要的導(dǎo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重取經(jīng)驗(yàn)值，本文選取的權(quán)重值分別為1=0.1，2=0.1，1=0.001，2=0.100。

2.3 曲面細(xì)分

曲率線優(yōu)化生成由Bézier曲面片拼接構(gòu)成的曲面，曲面片的邊界曲線是近似曲率線。初始控制網(wǎng)格的控制點(diǎn)較少，無法生成形狀復(fù)雜的曲面，本文通過曲面細(xì)分并增加曲面控制點(diǎn)的數(shù)量，從而增加造型的自由度。在建筑曲面設(shè)計中，曲面片的大小與建筑的結(jié)構(gòu)性質(zhì)和制造成本有緊密聯(lián)系，因此對曲面片的大小有具體的要求。在設(shè)計過程中，若曲面片大小不符合要求時，需進(jìn)一步細(xì)分。

細(xì)分操作需將1個Bézier曲面剖分成4個，可通過重新參數(shù)化實(shí)現(xiàn)，細(xì)分的結(jié)果不改變曲面的形狀。當(dāng)繼續(xù)優(yōu)化曲率線時，在曲面光順項(xiàng)的作用下，曲面的形狀變得更加光順，同時該邊界曲線就是曲面的曲率線。

曲率線優(yōu)化和曲面細(xì)分需要交替執(zhí)行，可生成具有足夠數(shù)目曲面片的光滑曲面。設(shè)計人員的設(shè)計意圖決定了最終生成的曲面的面片數(shù)目，以此確定曲率線優(yōu)化和曲面細(xì)分交替執(zhí)行的次數(shù)。結(jié)果得到1拼接的Bézier曲面片構(gòu)成的自由形狀，曲面片的邊界曲線可生成曲面的曲率線網(wǎng)。

2.4 生成圓紋樣條曲面

為得到圓紋曲面片光滑拼接的曲面，在每一片Bézier曲面的位置構(gòu)造一個圓紋曲面片，其生成的復(fù)合曲面上曲面片的邊界曲線是曲率線。得到的曲面形狀符合設(shè)計要求時，進(jìn)行圓紋曲面優(yōu)化，當(dāng)曲面的控制網(wǎng)格符合圓紋樣條曲面的約束，可確定一個圓紋樣條曲面。

不管注冊會計師怎樣小心嚴(yán)謹(jǐn)與認(rèn)真，審計風(fēng)險都是無法避免的。追其根本因素，審計風(fēng)險是屬于客觀性的存在，列入審計成本方面的因素，想要減少審計風(fēng)險就需要投入很大的人力與物力的資源，當(dāng)風(fēng)險被減少到一定程度的時候，進(jìn)一步減少審計風(fēng)險會造成適得其反。

因?yàn)榍示€優(yōu)化和曲面細(xì)分算法生成的光滑Bézier曲面的邊界曲線是近似曲率線，為圓紋樣條曲面優(yōu)化提供了高質(zhì)量的初始。由Bézier曲面的控制網(wǎng)格頂點(diǎn)得到圓紋樣條曲面，其形狀和曲率線優(yōu)化和曲面細(xì)分算法得到的Bézier復(fù)合曲面相比改變微小?；贐ézier曲面表示的圓紋曲面優(yōu)化的約束如下：

圓紋曲面要求曲面邊界端點(diǎn)標(biāo)架滿足該約束?？紤]圖4中的曲面邊界0003，約束條件為

圓紋曲面優(yōu)化的反射目標(biāo)函數(shù)為

該目標(biāo)函數(shù)的求和針對所有的網(wǎng)格邊。

(2) 切向垂直約束。以圖4中曲面片的頂點(diǎn)00為例，切向垂直約束為

正交約束的目標(biāo)函數(shù)是

(3)1拼接約束。要求相鄰曲面片的邊界曲線光滑拼接，且相關(guān)控制點(diǎn)在一條直線上。圖4中2個曲面片在00點(diǎn)的1拼接條件為

即曲面光滑拼接目標(biāo)函數(shù)為

2.5 復(fù)合曲面分析

本文計算一個具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的由Bézier曲面1拼接的復(fù)合曲面。基于該曲面可得到圓紋樣條曲面優(yōu)化的非常好的初始幾何信息，并提供了對最后生成的圓紋樣條曲面形狀的視覺評估依據(jù)。

根據(jù)圓紋曲面的定義以及曲面主曲率線網(wǎng)的幾何性質(zhì)可知：曲率線優(yōu)化和曲面細(xì)分的迭代算法構(gòu)造的Bézier曲面的控制網(wǎng)格如果滿足約束條件(3)，控制網(wǎng)格可以確定一個圓紋曲面片。網(wǎng)格光順可使控制點(diǎn)形成對稱性，但即使?jié)M足條件(3)，雙三次Bézier曲面仍無法精確表示圓紋曲面。所以希望算法生成的Bézier曲面以較高的精度近似一個圓紋樣條曲面，且對雙三次Bézier曲面逼近圓紋曲面片的能力感興趣。

記梯形控制多邊形生成的Bézier曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)(,)，圓弧對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)(，)。用|－|表示2條曲線的誤差，記夾角對應(yīng)的Bézier曲線和圓弧之間的最大誤差為()。

舉例說明誤差()隨角度的變化。給出一個控制多邊形，控制點(diǎn)坐標(biāo)0=(–10，0)，3=(10，0)，1和2由式(8)和式(9)計算得到。計算該曲線上采樣點(diǎn)的(平均分成100份)最大誤差()，如圖5所示。實(shí)驗(yàn)表明，隨減小最大誤差()逐漸減小，當(dāng)=89°時曲線上采樣點(diǎn)的最大誤差是0.313 1；當(dāng)=30°時，曲線的最大誤差是0.021 7。圖6給出=89°和=30°時的圓弧和三次Bézier曲線。在圓紋樣條曲面上的圓弧角度一般不大，因此控制點(diǎn)滿足圓紋曲面約束的Bézier曲面與圓紋曲面片的逼近程度較高。

圖5 圓弧和Bézier曲線的最大誤差

圖6 圓弧和Bézier曲線的形狀

由于圓紋曲面片由正交的圓弧構(gòu)成，因此三次Bézier曲線表示圓弧的能力與雙三次Bézier曲面表達(dá)圓紋曲面片的能力有密切關(guān)系，但從理論論證雙三次Bézier曲面表達(dá)圓紋曲面片的能力的相關(guān)結(jié)論比較困難。雖然利用有理Bézier曲面能夠精確表示曲面的邊界圓弧，但是基于有理形式的目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化要更困難，而且本文使用雙三次Bézier曲面只是作為一種中間表示形式，不要求能夠精確表示圓弧。

3 實(shí)驗(yàn)和討論

3.1 曲率線準(zhǔn)確度的可視化

3.2 實(shí)例和討論

(1) 圓紋樣條曲面建模實(shí)驗(yàn)。圖7~10給出了幾個模型的設(shè)計和優(yōu)化過程，以及生成的圓紋樣條曲面。圖(a)為交互設(shè)計的初始網(wǎng)格；圖(c)~(h)展示了優(yōu)化和細(xì)分迭代過程中的中間結(jié)果，并顯示了衡量曲率線精確度的顏色編碼，其中，圖(c)和圖(d)分別為優(yōu)化前、后的曲面以及曲面上的曲率線可視化；圖(e)和圖(f)經(jīng)過1次曲面細(xì)分后，優(yōu)化前、后的曲面以及曲率線可視化；圖(g)和圖(h)經(jīng)過再一次細(xì)分后，優(yōu)化前、后的曲面以及曲率線可視化。基于最后得到的具有規(guī)整曲率線網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的曲面，通過圓紋樣條曲面優(yōu)化得到圓紋樣條曲面(圖(b))。實(shí)驗(yàn)說明本文方法能夠有效地設(shè)計具有規(guī)整結(jié)構(gòu)的自由形狀的圓紋樣條曲面。

圖7 模型1規(guī)則的優(yōu)化過程

圖8 模型2的優(yōu)化過程

圖9 模型3的優(yōu)化過程

圖10 模型4的優(yōu)化過程

圖中顯示了優(yōu)化曲面設(shè)計過程中曲面邊界上沿法向的垂直曲面的可展性顏色編碼，反映曲面邊界是曲面的曲率線的程度。曲率線優(yōu)化結(jié)束條件由式(10)計算的平均誤差決定，其可達(dá)到10–4數(shù)量級，如圖10中的模型曲面片邊界曲線上的直紋面的可展性式(10)的平均值為1.5×10–4。以此結(jié)果作為初始，利用優(yōu)化算法可以成功得到具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的圓紋樣條曲面。本實(shí)驗(yàn)的測試平臺為Intel Core i5 2.5 G CPU，4 G內(nèi)存，1T 硬盤的筆記本電腦。圖7~10的優(yōu)化時間分別為：6 s，7 s，7 s和10 s。

(2) 自由曲面建筑結(jié)構(gòu)的生成。圖11、12給出幾個圓紋樣條曲面的結(jié)果及特殊幾何結(jié)構(gòu)。圖11和圖12(a)給出了圓紋樣條曲面的等距面，根據(jù)圓紋曲面的幾何性質(zhì)，一個圓紋樣條曲面的等距面也是一個圓紋樣條曲面。圖11和圖12(b)~(c)給出了由圓紋樣條曲面得到的沿2個不同方向的圓錐條模型(conical strip)，在基于單向彎曲的可展曲面條的建筑表面設(shè)計和建造中有重要應(yīng)用[16]。

圖11 圓紋樣條曲面結(jié)果及上面的幾何結(jié)構(gòu)(模型5)

圖12 圓紋樣條曲面結(jié)果及上面的幾何結(jié)構(gòu)(模型3)

在建筑設(shè)計中，其表面的支撐結(jié)構(gòu)是曲面垂直的可展曲面，且曲面只能沿著曲面的主曲率線構(gòu)造[17]。本文得到的曲率線規(guī)整的光滑曲面上的可展曲面(,)就是建筑設(shè)計中的支撐結(jié)構(gòu)。圖13給出了結(jié)果曲面上的垂直支撐結(jié)構(gòu)。

4 結(jié)束語

本文提出一種曲面的設(shè)計算法，能夠生成具有規(guī)整曲率線網(wǎng)而且無臍點(diǎn)的光滑曲面?；谠摲椒ǎY(jié)合圓紋樣條曲面的優(yōu)化，能夠得到具有規(guī)整結(jié)構(gòu)的圓紋樣條曲面，以及多種在自由建筑曲面設(shè)計中具有重要應(yīng)用的特殊幾何結(jié)構(gòu)。

未來的工作包括研究算法效率的提高以及曲面的交互形狀調(diào)整和編輯，目標(biāo)是找到一種具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的自由曲面交互設(shè)計技術(shù)。另外基于具有規(guī)整曲率線網(wǎng)的曲面的數(shù)控加工刀具形狀和運(yùn)動軌跡的計算也有重要意義，是未來的研究方向。

[1] LIU Y, POTTMANN H, WALLNER J, et al. Geometric modeling with conical meshes and developable surfaces [J]. ACM Transactions on Graphics, 2006, 25(3): 681-689.

[2] NICHOLAS M P, TAKASHI M. 計算機(jī)輔助設(shè)計與制造中的外形分析[M]. 馮結(jié)青, 葉修梓, 譯. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2005: 20-30.

[3] POLIAKOFF J F. An improved algorithm for automatic fairing of non-uniform parametric cubic splines [J]. Computer-Aided Design, 1996, 28(1): 59-66.

[4] JOSHI P P. Minimizing curvature variation for aesthetic surface design [M]. Berkeley: University of California at Berkeley, 2008: 1-10.

[5] ZHANG C M, ZHANG P F, CHENG F H. Fairing spline curves and surfaces by minimizing energy [J]. Computer-Aided Design, 2001, 33(13): 913-923.

[6] YONG J H, DENG B L, CHENG F H, et al. Removing local irregularities of triangular meshes with highlight line models [J]. Science China Information Sciences, 2009, 52(3): 418-430.

[7] 張跟全, 張彩明. 基于高光線模型修改NURBS曲面不光順性[J]. 計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2003, 15(5): 561-565.

[8] ALLIZE P, COHEN-STEINER D, DEVILLERS O, et al. Anisotropic polygonal remeshing [J]. ACM Transaction on Graphics, 2003, 22(3): 485-493.

[9] KN?PPEL F, CRANE K, PINKALL U, et al. Globally optimal direction fields [J]. ACM Transaction on Graphics, 2013, 32(4): 59:1-59:10.

[10] PAN H, LIU Y, SHEFFER A, et al. Flow aligned surfacing of curve networks [J]. ACM Transactions on Graphics, 2015, 34(4): 127.

[11] BO P B, LIU Y, TU C H, et al. Surface fitting with cyclide splines [J]. Computer Aided Geometric Design, 2016, 43c: 2-15.

[12] MARTIN R R. Principal patches: A new class of surface patch based on differential geometry [C]// Eurographics’83. Goslar: Eurographics Association Press, 1983: 47-55.

[13] SRINIVAS Y L, KUMAR V, DUTTA D. Surface design using cyclide patches [J]. Computer-Aided Design, 1996, 28 (4): 263-276.

[14] 鄭薈瑩, 伯彭波. 曲率線驅(qū)動的B樣條曲面交互編輯[J]. 計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2018, 30(6): 1065-1072.

[15] DO CARMO M P. Differential geometry of curves and surfaces [M]. Upper Saddle River: Prentice-Hall Inc, 1976: 112-113.

[16] POTTMANN H, SCHIFNER A, BO P B, et al. Freeform surfaces from single curved panels [C]//ACM Transactions on Graphics, SIGGRAPH’08. New York: ACM Press, 2008: 76.

[17] TANG C C, KILAN M, BO P B, et al. Analysis and design of curved support structures [C]//Advances in Architectural Geometry 2016. Cham: Springer Intemational Publishing, 2016: 8-23.

Design of Smooth Surfaces with Regular Network of Curvature Curves

ZHENG Hui-ying, BO Peng-bo

(School of Computer Science and Technology, Harbin Institute of Technology (Weihai), Weihai Shandong 264209, China)

A new algorithm is proposed for the design of a smooth surfaces which is required to have a regular mesh of curvature curves without any umbilical points. A composite surface as smoothly joint by Bézier surface patches is used in the design procedure. By the alternative steps of optimization of curvature line networks and surface subdivision, the free from surface is generated which has a regular network of curvature curves without an umbilical point. Based on the resultant surface, a cyclide spline surface with regular structures, conical strip models and multi-layer support structures for freeform architectural surface design are easily obtained.

curvature line network; cyclide surface; umbilical point; surface design

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2019010046

A

2095-302X(2019)01-0046-08

2018-06-06；

2018-06-24

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61672187)；山東省重點(diǎn)研發(fā)計劃項(xiàng)目(2018GGX103038)；模式識別國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題項(xiàng)目(201800013)

鄭薈瑩(1993-)，女，河南周口人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)橛嬎銠C(jī)輔助幾何設(shè)計。E-mail：pengbo@hitwh.edu.cn

伯彭波(1978-)，男，山東威海人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)橛嬎銠C(jī)圖形學(xué)。E-mail：pbbo@hit.edu.cn