次分數(shù)布朗運動下帶紅利的兩值期權(quán)定價*

葉芳琴，劉文倩，林先偉

（1.汕頭大學(xué)商學(xué)院，廣東 汕頭 515063；2.汕頭大學(xué)理學(xué)院，廣東 汕頭 515063）

0 引言

1973年，Black和Scholes提出了著名的B-S定價公式，期權(quán)定價理論由此得到了迅速發(fā)展[1].然而，在實際的金融市場中，金融資產(chǎn)價格之間具有長期相關(guān)性等特點，且金融資產(chǎn)收益率呈現(xiàn)“尖峰肥尾”的特征.1989年，Peter[2]提出用分數(shù)布朗運動刻畫金融資產(chǎn)價格的變化過程.同時，Bjork和Hult[3]以及Kuznetsov[4]研究發(fā)現(xiàn)分數(shù)布朗運動描述金融資產(chǎn)的價格變化，會導(dǎo)致此時的金融市場允許有套利機會.國內(nèi)外的大量學(xué)者，采用了修正的分數(shù)布朗運動來刻畫金融資產(chǎn)價格變化的行為模式，如次分式布朗運動.由于，次分式布朗運動是一種比分數(shù)布朗運動更為普遍的高斯過程，它不僅具有自相似性和長記憶性等分數(shù)布朗運動具有的性質(zhì)，而且可將其應(yīng)用于金融[5].Yan等人[6]給出了次分數(shù)布朗運動的隨機積分，并指出次分數(shù)布朗運動可以用來刻畫金融資產(chǎn)的隨機波動性.肖煒麟等人[7]研究了在次分式布朗運動環(huán)境下帶交易費用的備兌權(quán)證定價問題，通過引入關(guān)于次分數(shù)布朗運動的隨機積分和偏微分方程技術(shù)，得到了在次分數(shù)布朗運動下備兌權(quán)證的定價模型.李丹等人[8]研究了在次分數(shù)布朗運動環(huán)境下可轉(zhuǎn)換債券的定價問題，并通過次分數(shù)布朗運動的隨機積分理論和保險精算的方法，得到了可轉(zhuǎn)換債券的定價公式.

兩值期權(quán)（binary option）是一種新型的，具有不連續(xù)收益的期權(quán).在到期日標的資產(chǎn)價格低于執(zhí)行價格時該期權(quán)一文不值，而當標的資產(chǎn)價格超過執(zhí)行價格時該期權(quán)一文不值，而當標的資產(chǎn)價格超過執(zhí)行價格時該期權(quán)支付一個固定數(shù)額.關(guān)于兩值期權(quán)定價的相關(guān)研究相對較少.Thavaneswaran等人[9]用模糊集理論的方法對兩值期權(quán)的定價問題做了一定的研究.袁國軍[10]研究了CEV過程下一類兩值期權(quán)定價的數(shù)值解法問題等.

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，探討了在次分數(shù)布朗運動下帶紅利的兩值期權(quán)的定價問題.利用隨機分析理論和偏微分方程的方法，建立了次分數(shù)布朗運動環(huán)境下兩值期權(quán)的定價模型.通過用偏微分方程的相關(guān)知識對此定價模型求解，得到了次分數(shù)布朗運動下兩值期權(quán)定價公式.

1 預(yù)備知識

兩值期權(quán)就是新型期權(quán)的一種，兩值期權(quán)是合同條款變化而產(chǎn)生的新型期權(quán).一般分為兩種類型[11]：

（1）現(xiàn)金或無值看漲期權(quán)（簡寫為CONC）：在到期日，若股票價格低于執(zhí)行價格，則期權(quán)價值為零；若大于執(zhí)行價格，則按規(guī)定支付現(xiàn)金1元.

（2）資產(chǎn)或無值看漲期權(quán)（簡寫為AONC）：在到期日，若股票價格低于執(zhí)行價格，則期權(quán)價值為零；若大于執(zhí)行價格，則按規(guī)定支付股價.

引理[7]（次分數(shù)It?公式）假設(shè)隨機過程St滿足以下隨機微分方程：

2 基本模型

其中，r是常數(shù)，表示無風險利率.

風險資產(chǎn)（如股票）價格St滿足下面隨機微分方程：

在這里μ，σ是常數(shù)，分別表示預(yù)期收益率，波動率.

為了得到次分數(shù)布朗運動下兩值期權(quán)定價模型，我們考慮到期日為時間T，敲定價格為K，并作以下假設(shè)：

（1）假設(shè)資產(chǎn)價格滿足（2）式；

（2）無交易費用和稅收，允許賣空；

（3）不存在無風險套利機會；

（4）交易是連續(xù)進行的.

在風險中性測度條件下，我們利用Δ對沖策略，得到次分數(shù)布朗運動下兩值期權(quán)定價模型.令V＝V（St，t）表示CONC（或AONC）的價格.構(gòu)造一個投資組合Πt，在時刻t投資組合 Πt的值為：Πt＝Vt－ΔtSt.應(yīng)用次分數(shù) It? 公式，在[t，t＋dt]時間段內(nèi)，

為了使投資組合 Πt在[t，t＋dt]無風險，取，從而可得

由假設(shè)（3），可以得到

將式（3）代入（4），得到

因此，得到在次分數(shù)布朗運動下帶紅利的兩值期權(quán)定價模型如下：

這里，H（*ξ）是Heviside函數(shù).如果ξ＞0，那么H（*ξ）＝1.如果ξ＜0，那么H（*ξ）＝0.

3 兩值期權(quán)定價公式

3.1 現(xiàn)金或無值期權(quán)定價公式

定理1 假設(shè)股票價格滿足（2）式，在時刻t現(xiàn)金或無值看漲期權(quán)的定價公式為：

證明：由方程組（5）可以得到現(xiàn)金或無值看漲期權(quán)定價模型如下：

因此方程組（6）轉(zhuǎn)變成如下方程組

將（8），（9）和（10）代入上述方程，可以得到

結(jié)合終值條件：α（T）＝β（T）＝γ（T）＝0，則得到

因此，方程組（6）轉(zhuǎn)化為如下行形式：

方程組（11）的解可以用Possion公式如下表示：

經(jīng)過變量代換，我們有

推論1 假設(shè)股票價格滿足（2）式，在時刻t現(xiàn)金或無值看跌期權(quán)的定價公式為：

3.2 資產(chǎn)或無值期權(quán)定價公式

定理2 假設(shè)股票價格滿足（2）式，在時刻t現(xiàn)金或無值看漲期權(quán)的定價公式為：

證明：由方程組（6）可以得到資產(chǎn)或無值看漲期權(quán)定價模型如下：

令VA（CSt，t）＝StU（St，t），則，從而可得：

為求解上述 Cauchy 問題，作函數(shù)變換 W＝Ueβ(t)，η＝ξ＋α（t），＝γ（t），由于

將（15），（16）和（17）代入方程組方程（14），可以得到

方程組（18）的解可用Possion公式如下：

經(jīng)過變量代換，則有

推論2 假設(shè)股票價格滿足（2）式，在時刻t資產(chǎn)或無值看跌期權(quán)的定價公式為：

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，探討了在次分數(shù)布朗運動下帶紅利的兩值期權(quán)的定價問題.利用隨機分析理論和偏微分方程的方法，建立了次分數(shù)布朗運動環(huán)境下兩值期權(quán)的定價模型.利用偏微分方程的相關(guān)知識求解此模型，推導(dǎo)出了CONC和AONC定價公式，并在此基礎(chǔ)上得到了有關(guān)AONP和CONP定價公式的兩條推論.對于兩值期權(quán)定價，還有很多問題值得研究.例如，在帶跳的分數(shù)布朗運動或帶跳的混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下研究此類問題.