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    帶懲罰費(fèi)用的多重任務(wù)排序問(wèn)題?

    2019-03-01 02:51:54崔倩娜
    關(guān)鍵詞:近似算法懲罰排序

    崔倩娜

    (云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 昆明 650000)

    1 引言

    長(zhǎng)期以來(lái),排序問(wèn)題的近似算法研究都是算法理論領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。受滑雪板租賃問(wèn)題的啟發(fā),Bartal等[1]提出帶懲罰費(fèi)用的平行機(jī)排序問(wèn)題 P∥Cmax+Σj∈Rwj,其定義如下:給定 m 臺(tái)平行機(jī)和n項(xiàng)任務(wù),每項(xiàng)任務(wù)的處理時(shí)間為 pj,懲罰費(fèi)用為wj,一項(xiàng)任務(wù)要么被接受并在某臺(tái)機(jī)器上處理,要么被拒絕并產(chǎn)生相應(yīng)的懲罰費(fèi)用。該問(wèn)題的目標(biāo)是尋找一個(gè)排序方案,使得機(jī)器的最大完工時(shí)間與被拒絕任務(wù)的懲罰費(fèi)用之和最小。Bartal等[1]設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(nlogn)的(2-1/m)-近似算法和一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O((n3/ε)■■9ε2)的多項(xiàng)式時(shí)間近似方案(Polynomial Time Approximation Scheme,PTAS),推廣了 Hochbaum和Shmoys[2]的結(jié)果。當(dāng)機(jī)器數(shù)為固定常數(shù)時(shí),Bartal等[1]還給出了一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(nm+1/εn)的全多項(xiàng)式時(shí)間近似方案(Fully Polynomial Time Approximation Scheme,F(xiàn)PTAS)。隨后,帶懲罰費(fèi)用的機(jī)器排序問(wèn)題及其變種迅速成為排序領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。Ou等[3]給出 P∥Cmax+Σj∈Rwj問(wèn)題的一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(nlogn+n/ε)的 (1.5+ε)-近似算法(這里 ε>0為任 意 常 數(shù))。 最 近 ,Ou和 Zhong[4]給 出P∥Cmax+Σj∈Rwj問(wèn)題的一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為 O(mn2/ε2)的(4/3+ε)-近似算法。

    Zhang和Lu[5]考慮了帶就緒時(shí)間和懲罰費(fèi)用的平行機(jī)排序問(wèn)題 P ||rjCmax+Σj∈Rwj(這里 rj為任務(wù)的就緒時(shí)間),設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(n2)的2-近似算法,當(dāng)機(jī)器數(shù)為固定常數(shù)時(shí),給出一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為 O(n2m+1/εm)的 FPTAS。隨后,Zhong和 Ou[6]提出一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為 O(nlogn)的2-近似算法,一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為 O(nlogn+mO((log1/ε)/ε2))的 PTAS,和一個(gè)機(jī)器數(shù)為固定常數(shù)時(shí)運(yùn)行時(shí)間為O(nlogn+1/ε3m+6)的 FPTAS,改進(jìn)了 Zhang和 Lu[5]的結(jié)果。Zhong等[7]研究文獻(xiàn)[4]中 m=2 的情況,給出一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O((n/ε)2)的(1.5+ε)-近似算法。Li等[8]研究了懲罰費(fèi)用受限的平行機(jī)排序問(wèn)題 P ||Σj∈RwjCmax,設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為 O(mn2)的2-近似算法,一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(nmO(1/ε2)+mn2)的PTAS和機(jī)器數(shù)為固定常數(shù)時(shí)的一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(1/ε2m+3+mn2)的FPTAS。Shabtay等[9]研究了處理時(shí)間相同時(shí)的帶懲罰費(fèi)用的雙標(biāo)準(zhǔn)同類機(jī)排序問(wèn)題。

    當(dāng)機(jī)器數(shù)為1時(shí),Zhang等[10]證明了帶就緒時(shí)間和懲罰費(fèi)用的單機(jī)排序問(wèn)題1 ||rj,rej Cmax+Σj∈Rwj是NP-難的,設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(n2)的2-近似算法和一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(n3/ε)的FPTAS。Ou 等[11]提出一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為 O(nlogn)的2-近似算法和所有任務(wù)的加工時(shí)間相同時(shí)的一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(n2logn)的精確算法。Zhang等[12]證明了帶就緒時(shí)間和懲罰費(fèi)用受限的單機(jī)排序問(wèn)題1|rj,Σj∈Rwj≤U |Cmax是 NP-難的,給出一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為 O(n3/ε)的FPTAS。Lu和Zhang[13]考慮了帶生產(chǎn)費(fèi)用和懲罰費(fèi)用的單機(jī)排序問(wèn)題。Shabtay等[14]研究了帶懲罰費(fèi)用和位置費(fèi)用的雙標(biāo)準(zhǔn)的單機(jī)排序問(wèn)題,設(shè)計(jì)了多個(gè)最優(yōu)算法或近似算法。He等[15]考慮了帶就緒時(shí)間和懲罰費(fèi)用的雙標(biāo)準(zhǔn)的單機(jī)排序問(wèn)題,對(duì)于最大完工時(shí)間與懲罰費(fèi)用之和最小化問(wèn)題,給出一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(nlogn)的4/5-近似算法;當(dāng)最大完工時(shí)間受限時(shí),設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(n2/ε+n2logn)的FPTAS;當(dāng)懲罰費(fèi)用受限時(shí),設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(n2)的2-近似算法和一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(n2/ε+n2logn)的FPTAS,推廣了 Gens和 Levner[16]的結(jié)果。

    Bartal等[1]還對(duì)帶懲罰費(fèi)用的在線機(jī)器排序問(wèn)題做了研究,所有任務(wù)的加工時(shí)間和懲罰費(fèi)用都是未知的,給出一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)比為2.618的最優(yōu)在線算法;當(dāng)機(jī)器數(shù)為2時(shí),設(shè)計(jì)了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)比為1.618的最優(yōu)在線算法。Seiden[17]研究了帶懲罰費(fèi)用的可中斷平行機(jī)在線排序問(wèn)題,給出一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)比為(4+)/3的在線算法,并指出任何在線算法的下界為 2.12。Gyorgy和 Imreh[18]提出帶懲罰費(fèi)用和機(jī)器費(fèi)用的在線排序問(wèn)題,設(shè)計(jì)了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)比為(3+)/2 的最優(yōu)在線算法。Epstein 和 Haider[19]研究了關(guān)于帶懲罰費(fèi)用的三臺(tái)機(jī)器在線排序問(wèn)題,當(dāng)所有任務(wù)的處理時(shí)間為1,設(shè)計(jì)了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)比1.839的最優(yōu)在線算法。

    由于在高性能計(jì)算環(huán)境中,用戶提交的任務(wù)通常具有數(shù)量大且處理時(shí)間相同等特征,多重任務(wù)排序引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注[20~21]。另一方面,Goemans和 Rothvo?[22]給出多重物品裝箱問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)算法。受文獻(xiàn)[20~22]的啟發(fā),將任務(wù)或物品的類型視為用戶,本文提出了帶懲罰費(fèi)用的多重任務(wù)排序問(wèn)題(Multi-task Scheduling Problem with Rejection,MTSR),其定義如下:給定 n 個(gè)用戶,每個(gè)用戶 j提交tj項(xiàng)任務(wù),任務(wù)集記為T(mén)j,Tj中的每個(gè)任務(wù)具有相同的加工時(shí)間 pj和懲罰費(fèi)用wj。每個(gè)用戶提交的任務(wù)要么全部被接受,并被安排在m臺(tái)機(jī)器上處理;要么全部被拒絕,并產(chǎn)生相應(yīng)的懲罰費(fèi)用。本文假定,一旦某項(xiàng)任務(wù)開(kāi)始在某臺(tái)機(jī)器上處理,則中間不被打斷直到完工,而且所有任務(wù)的安排沒(méi)有優(yōu)先權(quán)。目標(biāo)是尋找一個(gè)排序方案,使得機(jī)器的最大完工時(shí)間與所有被拒絕的任務(wù)的懲罰費(fèi)用之和達(dá)到最小。

    為更加清晰地描述問(wèn)題,用xij表示被接受的用戶 j提交的任務(wù)被安排在機(jī)器i上的數(shù)量,zj表示用戶 j是否被接受,若被接受,則zj=1,否則,zj=0。MTSR問(wèn)題的數(shù)學(xué)規(guī)劃形式如下:

    注意到,當(dāng)每個(gè)用戶提交的任務(wù)數(shù)量tj都為1時(shí) ,MTSR 問(wèn) 題 即 為 Bartal等[1]研 究 的 問(wèn) 題P∥Cmax+Σj∈Rwj。因此,一種直觀的想法是將所有任務(wù)的集合看作問(wèn)題 P∥Cmax+Σj∈Rwj的任務(wù)集,從而使用[1]中的算法進(jìn)行求解。但是,運(yùn)行時(shí)間并不是關(guān)于輸入長(zhǎng)度的多項(xiàng)式函數(shù)。

    2 MTSR問(wèn)題的離線算法

    2.1 2-近似算法

    本節(jié)討論一般情形下的MTSR問(wèn)題,并給出一個(gè)2-近似算法H。算法H的主要思想是將用戶集合U中一部分懲罰費(fèi)用較小的用戶都拒絕,這里 ||U=n;然后,將剩余用戶提交的所有任務(wù)劃分成m個(gè)集合;最后,把劃分后的集合看作一個(gè)整體任務(wù),并將其安排在m臺(tái)機(jī)器上,接受一些加工時(shí)間較小的用戶。

    算法1 H

    1)令 B={j|wj≤pj/m},將集合 B中的所有用戶都拒絕;

    2)對(duì)U-B中的用戶,以加工時(shí)間非減順序排列;

    3)將U-B中的每一個(gè)用戶 j提交的所有任務(wù)分割成m個(gè)任務(wù)集合,即

    這里 k=tj-

    即Tj1,…,Tjk的每個(gè)集合中都含有用戶 j所提交的個(gè)任務(wù),Tj,k+1,…,Tjm中每個(gè)集合都含有用戶 j所提交的個(gè)任務(wù)。計(jì)算每個(gè)被劃分后的集合中總共的加工時(shí)間和懲罰費(fèi)用,即

    4)對(duì)每一個(gè)0≤h≤ ||U-B ,從U-B中選取的前h個(gè)用戶,將這h個(gè)用戶中的所有任務(wù)集(每個(gè)任務(wù)集視作一個(gè)任務(wù),共hm個(gè)任務(wù))用LS(List Scheduling)算法安排到m臺(tái)機(jī)器上,然后將剩下的所有用戶都拒絕,令這一調(diào)度方案為Sh。

    5)在 ||U-B+1個(gè)可行方案中,選擇目標(biāo)函數(shù)值最小的方案Sh。

    定理1 算法H是一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(n2logn)的2-近似算法。

    證明 令A(yù)*,R*分別表示最優(yōu)方案中被接受的用戶集合和被拒絕的用戶集合,A*T*和R*T*分別表示用戶集合A*和R*對(duì)應(yīng)的任務(wù)集合,Z*為最優(yōu)方案的目標(biāo)函數(shù)值。令UT表示用戶集合U對(duì)應(yīng)的任務(wù)集,A(或R)表示算法H的輸出解中被接受(或被拒絕)的用戶集合,AT(或RT)表示對(duì)應(yīng)的任務(wù)集。令ZH表示算法H的輸出解的目標(biāo)函數(shù)值。對(duì)任意任務(wù)集T,令M(T)=∑j∈Tpjm和W(T)=∑j∈Twj分別表示任務(wù)集T中所有任務(wù)的平均負(fù)載和總懲罰費(fèi)用。對(duì)任意用戶集合X?U,令C(X)表示X中被接受用戶提交的所有任務(wù)按LS算法安排在m臺(tái)機(jī)器上之后,機(jī)器的最大完工時(shí)間。

    假設(shè)算法第2)步中,用戶集合U-B排序結(jié)果為1,…, ||U-B。如果最優(yōu)方案拒絕U-B中所有用戶,由B的定義知,拒絕B中所有用戶也是最有的。因此,方案S0拒絕所有用戶是最優(yōu)的,即ZH=Z*。

    否則,令l為在最優(yōu)方案中從用戶集合U-B中接受的最后一個(gè)用戶??紤]算法H的輸出解Sl,不失一般性,令 A={1,…,l}表示調(diào)度方案Sl所接受的用戶集合,則l為所有被接受的用戶里,任務(wù)加工時(shí)間最大的用戶。由于用戶集合A中的所有任務(wù)集合按LS方法安排在m臺(tái)機(jī)器上。所以,調(diào)度方案Sl的機(jī)器的最大完工時(shí)間至多為

    由于算法H的輸出的目標(biāo)函數(shù)值至多為方案Sl的目標(biāo)函數(shù)值,則

    因?yàn)榧?A不包含B中任何用戶,所以,有M((AT{Tl,m})∩R*T*)≤W((AT{Tl,m})∩R*T*)。由 l的選擇以及B的定義可知,A*∩(U-A)?B。這是由于U-A={l+1,…, ||U-B}∪B,而 l為 A*中從U-B中接受的最后一個(gè)用戶,所以A*中不包含用戶集合{l+1,…, ||U-B}中任意一個(gè)用戶。從而,可以得到

    W((UTAT)∩A*T*)≤M((UTAT)∩A*T*) 。 因此,上面的式(3)可以整理為

    所以,算法H的近似比為2。

    算法H的第一步選出屬于集合B中的用戶需要 O(n)時(shí)間,第二步給用戶排序最多需要O(nlogn)時(shí)間,第三步將集合U-B中每個(gè)用戶提交的所有任務(wù)劃分成m個(gè)任務(wù)集最多需要O(m)時(shí)間,分割所有用戶提交的所有任務(wù)最多需要O(nm)時(shí)間。計(jì)算每個(gè)集合的運(yùn)行總時(shí)間和總懲罰費(fèi)用最多可以在O(nm)內(nèi)完成。第四步和第五步是選取方案Sh,使用了LS算法,所需要時(shí)間為O(nmlogm)。當(dāng)n>m時(shí),算法的運(yùn)行時(shí)間不會(huì)超過(guò)O(n2logn)。證畢。

    2.2 機(jī)器數(shù)為固定常數(shù)時(shí)的一個(gè)FPTAS

    當(dāng)機(jī)器數(shù)m為固定常數(shù)時(shí),在動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基礎(chǔ)上采用舍入取整技術(shù),設(shè)計(jì)了一個(gè)FPTAS。

    定理2 當(dāng)機(jī)器數(shù)為固定常數(shù)時(shí),MTSR問(wèn)題可以在多項(xiàng)式時(shí)間O(n(tmaxZ*)m)內(nèi)解決,其中tmax=max{t1,…,tn},Z*是最優(yōu)方案的目標(biāo)函數(shù)值。

    證明 采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法。

    令Li(i=1,2,…,m)為機(jī)器i的當(dāng)前負(fù)載,對(duì)于每個(gè)L1,L2,…,Lm≤Z*,計(jì)算在這些負(fù)載下可以獲得的總懲罰費(fèi)用的最小值。在第 j個(gè)用戶被安排或拒絕后,用Ej(L1,L2,…,Lm)來(lái)定義當(dāng)前負(fù)載下可以獲得的總懲罰費(fèi)用的最小值。令aij為將用戶 j提交的任務(wù)被安排在機(jī)器i上的數(shù)量。當(dāng)Li<0時(shí),定義懲罰費(fèi)用的最小值為∞。同時(shí),可以在具有機(jī)器負(fù)載L1,L2,…,Lm的情況下可以計(jì)算出最后總花費(fèi) Z(L1,…,Lm)。對(duì)于L1,…,Lm≥0,這些值的計(jì)算可以用以下方式得出:

    初始化:E0(0,…,0)=0;

    定理3 對(duì)任意ε>0,MTSR問(wèn)題存在一個(gè)運(yùn)行時(shí)間為O(()m(ntmax)m+1)的FPTAS。

    證明 將所研究的實(shí)例I,通過(guò)舍入取整技術(shù)構(gòu)造一個(gè)新的實(shí)例I′。每個(gè)用戶 j提交tj個(gè)任務(wù),這tj個(gè)任務(wù)有相同的加工時(shí)間pj′=和懲罰費(fèi)用wj′=,其中,δ=εZH/2n(tmax),這里ZH為通過(guò)算法H獲得的目標(biāo)函數(shù)值。采用定理2中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃獲得實(shí)例I'的一個(gè)最優(yōu)排序方案,將此方案用在實(shí)例I上,獲得實(shí)例I的一個(gè)近似方案。

    通過(guò)上述方式獲得的實(shí)例I的近似函數(shù)值Z(I)與最優(yōu)函數(shù)值最多相差δntmax=εZH/2。由已經(jīng)獲得的最優(yōu)函數(shù)值的下界Z*≥ZH/2,可以得到

    由于實(shí)例I′的最優(yōu)函數(shù)值與實(shí)例I的最優(yōu)函數(shù)值滿足 Z*≤Z*(I)/δ≤2ZH/δ,所以 Z*≤4ntmax/ε。定理2指出,實(shí)例I的最優(yōu)解可以在時(shí)間O(n(tmaxZ*)m)內(nèi)得到,故實(shí)例I′的最優(yōu)解可以在多項(xiàng)式時(shí)間O((m(ntmax)m+1)內(nèi)得到。證畢。

    3 關(guān)于兩臺(tái)機(jī)器的在線算法

    在離線問(wèn)題中,所有用戶提交的任務(wù)數(shù)量,每項(xiàng)任務(wù)的加工時(shí)間,以及被拒絕后的懲罰費(fèi)用都是已知的。而要研究的在線問(wèn)題,在上一個(gè)用戶提交的所有任務(wù)被安排完之后,才會(huì)獲得一個(gè)新用戶的信息。當(dāng)機(jī)器數(shù)為2時(shí),設(shè)計(jì)了一個(gè)在線算法Aα,算法的設(shè)計(jì)思想是將懲罰費(fèi)用較小的用戶都拒絕,再將剩余用戶提交的任務(wù)劃分成兩個(gè)任務(wù)集,把這兩個(gè)任務(wù)集分別安排在兩臺(tái)機(jī)器上。

    算法2 Aα

    1)如果用戶 j提交的所有任務(wù)的加工時(shí)間和懲罰費(fèi)用滿足wj≤αpj,則拒絕用戶 j;

    2)否則,將用戶 j提交的所有任務(wù)分割成2個(gè)任 務(wù) 集 ,Tj=Tj1∪Tj2,其 中,而,計(jì)算兩個(gè)被劃分后的任務(wù)集中總共的加工時(shí)間和懲罰費(fèi)用,即,且將兩個(gè)集合依次安排在當(dāng)前機(jī)器負(fù)載最小的機(jī)器上。

    定理4 如果α滿足不等式(6),則在線算法Aα的競(jìng)爭(zhēng)比為1.618。

    證明 分兩種情況來(lái)證明:

    1)若算法Aα拒絕了所有用戶,則由算法輸出的目標(biāo)函數(shù)值

    由于所有屬于A*的用戶都被算法拒絕,所以,對(duì)于每一個(gè) j∈A*滿足wj≤αpj。則A*提交的所有任務(wù)的懲罰費(fèi)用之和滿足W(A*T*)≤2αM(A*T*)。由條件(6)可將式(7)經(jīng)整理得

    2)否則,令l為最后一個(gè)被接受的用戶,Tl2為T(mén)l中最后一個(gè)被安排的任務(wù)集合。則所有被接受的用戶提交的所有任務(wù)被安排到2臺(tái)機(jī)器上之后,機(jī)器的最大完工時(shí)間為

    由于算法Aα拒絕的用戶集合R,其中每項(xiàng)任務(wù)的加工時(shí)間和懲罰費(fèi)用滿足wj≤αpj,則會(huì)有∑j∈Rtjwj≤2α∑j∈Rtjpj/2 ,所以算法輸出的用戶集合R提交的所有任務(wù)的懲罰費(fèi)用之和滿足:

    由條件(6)可知,算法Aα輸出的被接受的用戶集合 A提交的任務(wù)滿足w≥αp≥p,則集合 Ajjj提交的所有任務(wù)的平均負(fù)載小于總懲罰費(fèi)用。從而會(huì)有

    由條件(6)和(9)、(10)、(11)可以得到算法 Aα輸出的目標(biāo)函數(shù)值為

    為證明競(jìng)爭(zhēng)比,則需要討論算法輸出的被接受的最后一個(gè)用戶l是否屬于最優(yōu)方案中被接受的用戶集合,分成兩種情況來(lái)說(shuō)明:

    1)如果用戶l∈A*,由不等式(6)和等式

    可以將上式轉(zhuǎn)化為

    2)如果用戶l∈R*,但是算法輸出用戶l被接受,所以 w>αp≥p,由條件(6),可將上面式lll(12)整理后可得

    故,當(dāng) Aα滿足不等式(6)時(shí),在線算法 Aα的競(jìng)爭(zhēng)比為。

    當(dāng)用戶提交的任務(wù)數(shù)量都為1時(shí),Bartal等[1]已證明不存在競(jìng)爭(zhēng)比小于1.618的在線算法,所以,算法Aα為最優(yōu)在線算法。證畢。

    4 結(jié)語(yǔ)

    本文提出一個(gè)帶懲罰費(fèi)用的多重任務(wù)排序問(wèn)題,針對(duì)離線問(wèn)題,設(shè)計(jì)了一個(gè)2-近似算法和一個(gè)FPTAS。對(duì)于在線問(wèn)題,當(dāng)機(jī)器數(shù)為2時(shí),設(shè)計(jì)了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)比為1.618的最優(yōu)在線算法。

    未來(lái)值得研究的問(wèn)題有:利用Ou等[3]的算法思想設(shè)計(jì)MTSR問(wèn)題的一個(gè)(1.5+ε)-的近似算法;設(shè)計(jì)MTSR問(wèn)題的一個(gè)運(yùn)行時(shí)間更低的FPTAS的;利用文獻(xiàn)[22]中的算法思想設(shè)計(jì)一個(gè)用戶數(shù)為固定常數(shù)時(shí)MTSR問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)算法。

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    神的懲罰
    小讀者(2020年2期)2020-03-12 10:34:06
    Jokes笑話
    節(jié)日排序
    懲罰
    刻舟求劍
    兒童繪本(2018年5期)2018-04-12 16:45:32
    應(yīng)用自適應(yīng)交叉近似算法快速計(jì)算導(dǎo)體RCS
    求投影深度最深點(diǎn)的近似算法
    考試周刊(2016年88期)2016-11-24 13:32:14
    真正的懲罰等
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