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    基于滲流模型的影響力最大化算法

    2019-02-27 08:56:30花勇陳伯倫朱國暢袁燕金鷹
    智能系統(tǒng)學(xué)報 2019年6期
    關(guān)鍵詞:最大化滲流影響力

    花勇,陳伯倫,朱國暢,袁燕,金鷹

    (淮陰工學(xué)院 計算機(jī)與軟件工程學(xué)院,江蘇 淮安 223003)

    隨著社交網(wǎng)絡(luò)中信息量的快速增長,信息傳播速度的不斷加快,其信息傳播構(gòu)建了一種分布式傳播機(jī)制[1]以及節(jié)點(diǎn)的合作機(jī)制[2],即信息在用戶之間的擴(kuò)散會受到用戶影響力的影響[3]。因此,開展影響力分析研究顯得十分重要。影響力最大化問題是影響力分析的重要課題之一。2015年,Morone 和Makse 在Nature 上對社交網(wǎng)絡(luò)中影響力最大化問題進(jìn)行了深入探討[4]。影響力最大化問題解決的是如何衡量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)重要性的問題,其經(jīng)典應(yīng)用之一是病毒營銷[5-8],也就是通過口口相傳效應(yīng)進(jìn)行產(chǎn)品的銷售[9-10]。

    影響力最大化問題最早由Kempe 等[11]率先提出。Kempe 等使用獨(dú)立級聯(lián)模型與線性閾值模型對社交網(wǎng)絡(luò)中影響力的傳播進(jìn)行建模,并且證明在社交網(wǎng)絡(luò)中尋找具有最佳影響力的種子節(jié)點(diǎn)集合是NP-Hard 問題。而且他們提出使用簡單的貪婪算法尋找具有最佳影響力的種子節(jié)點(diǎn)集合,獲得了(1-1/e)的近似保證。影響力最大化問題中的關(guān)鍵問題是如何衡量節(jié)點(diǎn)傳播影響力的能力,也就是節(jié)點(diǎn)所具有的影響力。在最初的影響力最大化問題研究中,一些基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的中心性方法被提出,例如度中心性和點(diǎn)介數(shù)中心性。在隨后的影響力最大化問題研究中,多數(shù)算法使用次模性質(zhì)[12-15],即通過大量迭代來計算邊際收益,從而近似求得問題的最優(yōu)解,但是存在算法時間復(fù)雜度較高的問題。Chen 等[16]提出了度折損啟發(fā)式算法,即優(yōu)先選擇度大的節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn),一旦某節(jié)點(diǎn)被選取為種子節(jié)點(diǎn),那么其鄰居節(jié)點(diǎn)被選為種子節(jié)點(diǎn)的概率將大大降低。Lee 等[17]利用多數(shù)節(jié)點(diǎn)平均只能影響到2 階鄰居節(jié)點(diǎn)的現(xiàn)象,提出了2-hop 貪婪算法,即利用節(jié)點(diǎn)在2 階鄰居范圍內(nèi)的影響力更新節(jié)點(diǎn)的邊際收益。Chen 等[16]提出MIA(maximum influence arborescence)最大影響力樹算法,利用MIIA(maximum influence in-arborescence)影響力最大入樹和MIOA(maximum out-arborescence)影響力最大出樹構(gòu)建節(jié)點(diǎn)的影響力傳播路徑,通過節(jié)點(diǎn)的影響力最大化路徑計算得分并選取種子節(jié)點(diǎn),相較于原始的貪婪算法取得了較低的時間復(fù)雜度,但因為MIA 需要對每個節(jié)點(diǎn)建立樹,所以空間復(fù)雜度相較于其他算法較高。JUNK 等[18]提出IRIE(influence ranking influence estimation)算法,即算法整體被分為兩部分,影響力排名使用一種算法,影響力模擬再使用一種算法。在最近影響力最大化問題的研究中,許多優(yōu)秀的算法被提出,其中Kitsak 等[19]提出最具影響力的節(jié)點(diǎn)往往不是具有較大連接的節(jié)點(diǎn),而是處于網(wǎng)絡(luò)核心位置的節(jié)點(diǎn),通過k-shell 分解[20]分析網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)核數(shù)與節(jié)點(diǎn)影響力的關(guān)系,為影響力最大化問題提供了新的解決思路。Gao 等[21]根據(jù)節(jié)點(diǎn)的影響力與其局部結(jié)構(gòu)的關(guān)系,提出了一種局部結(jié)構(gòu)中心性的方法,利用節(jié)點(diǎn)以及其鄰居的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和中心性來衡量節(jié)點(diǎn)的影響力,此算法在評估節(jié)點(diǎn)影響力方面更加準(zhǔn)確。王等[22]提出的多種群隨機(jī)差分粒子群優(yōu)化算法和劉等[23]提出的改進(jìn)螢火蟲算法也可很好的應(yīng)用到影響力最大化問題當(dāng)中。

    在上述的影響力最大化算法中,研究人員只關(guān)注所選種子節(jié)點(diǎn)影響力是否最佳,旨在研究更加優(yōu)秀的算法近似求得影響力最優(yōu)的種子節(jié)點(diǎn)集合,而忽略了種子節(jié)點(diǎn)集合的大小和網(wǎng)絡(luò)固有的傳播影響力能力的關(guān)系。本文從網(wǎng)絡(luò)傳播影響力能力的角度出發(fā)研究影響力最大化問題,從而得出網(wǎng)絡(luò)所適合的種子節(jié)點(diǎn)集合的大小。本文提出種子節(jié)點(diǎn)集合大小并不是越大越好,而是每個網(wǎng)絡(luò)都存在一個種子節(jié)點(diǎn)個數(shù)的上限,一旦超過這個上限,隨著種子節(jié)點(diǎn)個數(shù)大小的增加,種子節(jié)點(diǎn)集合的影響力是趨于飽和的。為研究網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的固有能力,本文使用滲流[24-26]的思想,即對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行滲流模擬,得出網(wǎng)絡(luò)由大量零散的團(tuán)塊趨向于形成一個主團(tuán)塊的相變值,從而得出網(wǎng)絡(luò)所適合的種子節(jié)點(diǎn)集合的大小,即提出一種基于滲流模型的影響力最大化種子節(jié)點(diǎn)集合大小選取算法來獲得最優(yōu)的種子節(jié)點(diǎn)集合大小,并對算法結(jié)果進(jìn)行了分析。

    1 問題描述

    1.1 影響力最大化問題

    本文主要研究無向網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的能力,定義無向網(wǎng)絡(luò)G=(V,E),其中V為無向網(wǎng)絡(luò)G中的節(jié)點(diǎn)集合,E為無向網(wǎng)絡(luò)G中邊的集合。定義n=|V|為網(wǎng)絡(luò)G的節(jié)點(diǎn)個數(shù),m=|E|為網(wǎng)絡(luò)G邊的個數(shù)。影響力最大化問題就是在網(wǎng)絡(luò)G中尋找大小為k的種子節(jié)點(diǎn)集合,使得這k個種子節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)G中傳播的影響力是最大的,我們定義種子節(jié)點(diǎn)集合為S。在影響力最大化問題中,我們面臨著兩個尤為重要的問題,即影響力是如何定義的,以及影響力在網(wǎng)絡(luò)中是如何傳播的。獨(dú)立級聯(lián)模型(independent cascade model)是經(jīng)典的模擬影響力傳播的模型,在之前多數(shù)影響力最大化問題的研究中,研究人員都使用獨(dú)立級聯(lián)模型作為影響力傳播模型。而節(jié)點(diǎn)或者節(jié)點(diǎn)集合的影響力,我們使用影響力函數(shù)進(jìn)行求解。

    1.2 獨(dú)立級聯(lián)模型

    獨(dú)立級聯(lián)模型[27-28]是經(jīng)典的用于模擬影響力傳播的算法,模型描述如下:在網(wǎng)絡(luò)G中,節(jié)點(diǎn)集合V中的節(jié)點(diǎn)v存在兩種狀態(tài),即一種是激活狀態(tài)另一種是未激活狀態(tài)。假設(shè)t時刻,節(jié)點(diǎn)v已經(jīng)處于激活狀態(tài),那么節(jié)點(diǎn)v會嘗試以概率p去激活其鄰居節(jié)點(diǎn)u,如果激活成功,那么節(jié)點(diǎn)u會從t+1 時刻開始,一直處于激活狀態(tài)。如果激活失敗,那么從t+1 時刻開始,節(jié)點(diǎn)u再也不能被節(jié)點(diǎn)v嘗試激活。我們定義影響力傳播模型的初始時刻為t=0 時刻,定義集合A0中的節(jié)點(diǎn)處于激活狀態(tài),那么集合At為t時刻被激活的節(jié)點(diǎn)集合。如果存在某一時刻c+1,集合Ac+1為空集,那么獨(dú)立級聯(lián)模型終止運(yùn)行。當(dāng)獨(dú)立級聯(lián)模型終止時,我們可以獲得在此過程中激活的節(jié)點(diǎn)集合Atotal=

    1.3 影響力函數(shù)

    定義影響力函數(shù)為I(x):將有限集合映射到非負(fù)整數(shù)域上的函數(shù)。在網(wǎng)絡(luò)中使用獨(dú)立級聯(lián)模型模擬影響力傳播的過程當(dāng)中,種子集合S為初始時刻已經(jīng)激活的節(jié)點(diǎn)集合,在影響力傳播過程的每個離散時刻都會因集合S激活一些未激活的節(jié)點(diǎn),在影響力傳播過程結(jié)束時我們可以得到在此過程中激活的節(jié)點(diǎn)集合Atotal,即集合Atotal是被種子節(jié)點(diǎn)集合S影響的節(jié)點(diǎn)集合。我們令種子節(jié)點(diǎn)集合S的影響力為I(S),其值為|Atotal|,即種子節(jié)點(diǎn)集合S的影響力是在影響力傳播過程中被集合S影響到的節(jié)點(diǎn)的個數(shù)。

    2 算法思想與步驟

    本文主要研究影響力最大化問題中種子節(jié)點(diǎn)集合大小選取的問題。在之前的研究中,研究人員一般選取5~50 個節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn),并觀察算法選取出的種子節(jié)點(diǎn)集合的影響力,旨在通過改進(jìn)算法得到更優(yōu)的種子節(jié)點(diǎn)集合。而本文從網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的固有能力的角度出發(fā),發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)在選取種子節(jié)點(diǎn)時,并非越多越好,而是一定數(shù)量的種子節(jié)點(diǎn)就能達(dá)到最優(yōu)的影響力,即在網(wǎng)絡(luò)中存在一個最優(yōu)大小的種子節(jié)點(diǎn)集合,即我們所說的網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的固有能力。為了研究網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的固有能力,本文借助滲流模型對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模擬分析,提出一種基于滲流模型的影響力最大化算法,即在不同的傳播概率p下對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行滲流模擬,通過建立傳播概率p與滲流模擬后網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖大小的函數(shù)關(guān)系,最終求得當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)所適合的種子節(jié)點(diǎn)集合的大小。具體算法步驟如下:

    算法基于滲流模型的影響力最大化種子節(jié)點(diǎn)集合大小選取算法

    輸入上三角鄰接矩陣G',傳播概率數(shù)組plist,網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量n,矩陣C,模擬次數(shù)R;

    輸出最優(yōu)種子節(jié)點(diǎn)集合大小k'

    3) 根據(jù)plist(i)對G'進(jìn)行滲流模擬,形成 滲流后網(wǎng)絡(luò)GP,并且獲得GP 的最大連通 子圖GP';

    6) 對plist和C進(jìn)行多項式擬合,求得擬合 函數(shù)F(x);

    7) 求F(x)的導(dǎo)函數(shù)dF(x);

    8) 通過函數(shù)dF(x)求得相變值pc;

    k′=pc×n

    9) 最優(yōu)種子集合大小

    本文提出一種基于滲流模型的影響力最大化種子節(jié)點(diǎn)集合大小選取算法。算法的輸入為:無向網(wǎng)絡(luò)G的上三角鄰接矩陣G',傳播概率數(shù)組plist,網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量n,矩陣C和模擬次數(shù)R。因為本文主要研究無向網(wǎng)絡(luò),在對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行滲流模擬時,為了保持邊的一致性,所以使用網(wǎng)絡(luò)G的上三角鄰接矩陣G'。plist是大小為 1 ×1 000 的一維數(shù)組,其中數(shù)組元素為0.001~1 的數(shù)字,且相鄰元素相差0.001。C是大小為 1 00×1 000 的矩陣。因為在網(wǎng)絡(luò)G上進(jìn)行滲流的結(jié)果具有隨機(jī)性,所以我們在傳播概率p∈plist的情況下進(jìn)行R次滲流。算法的輸出為最優(yōu)種子節(jié)點(diǎn)集合大小k'。具體的算法步驟描述如下:

    1) 函數(shù)len(x) 用來計算數(shù)組的長度,所以len(plist)的值等于1 000,此步驟具體是:在傳播概率p∈plist的情況下,對網(wǎng)絡(luò)G'進(jìn)行滲流;

    2) 采用當(dāng)前傳播概率p對網(wǎng)絡(luò)G'進(jìn)行R次滲流;

    3)滲流模型的定義如下:在網(wǎng)絡(luò)G'中,網(wǎng)絡(luò)每條邊具有統(tǒng)一的傳播概率值p。我們對每條邊產(chǎn)生獨(dú)立的隨機(jī)值pr,如果prp,那么此邊處于非占有狀態(tài),也就是此邊從網(wǎng)絡(luò)中刪除。通過改變統(tǒng)一的傳播概率值p,那么存在一個值pc,當(dāng)p>pc時,GP 中的節(jié)點(diǎn)傾向于緊密的連接在一起,形成一個主團(tuán)塊。當(dāng)p

    4)函數(shù)num(x)用于計算網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的個數(shù),所以此步驟是將GP'的節(jié)點(diǎn)個數(shù)存入到C中;

    5)函數(shù)avg(x)用于計算矩陣每列的平均值,所以此步驟是對傳播概率p下R個num(GP')求平均值,并且存入到C'中,也就是說,每個傳播概率p,我們都會對G'進(jìn)行R次滲流模擬,從而產(chǎn)生R個num(GP'),最后將其求平均,即得到每個傳播概率p所對應(yīng)GP'的平均大??;

    6)采用多項式擬合的方法對plist和C'進(jìn)行擬合。多項式擬合是使用多項展開式去近似數(shù)據(jù)點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系,并使用最小二乘法來得到多項展開式的系數(shù),最終求得數(shù)據(jù)點(diǎn)函數(shù)關(guān)系的方法。多項式擬合公式為

    式中:a0到al為使用最小二乘法求取的系數(shù);l為多項式的階數(shù)。本文式(1)中的x為plist中的元素,C'中的元素為F(x)的函數(shù)值,通過多項式擬合函數(shù)求得F(x)的系數(shù),從而求得plist和C'的擬合函數(shù)F(x);

    7)求函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)dF(x);

    8)相變值pc在pm的左鄰域中,其中dF(pm)的值為函數(shù)dF(x) 的最大值,dF(pc) 的值為靠近dF(pm)最近的最小值,相變值pc為函數(shù)F(x)變化速率開始加快的起點(diǎn)位置;

    9)求取最優(yōu)種子集合大小。

    圖1 滲流實驗例圖Fig.1 The example of percolation experiment

    3 實驗結(jié)果及分析

    本文提出的一種基于滲流模型的影響力最大化種子節(jié)點(diǎn)集合大小選取算法在4 個公共數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實驗,數(shù)據(jù)集分別為KarateClub[29]、Football[30]、HighSchool[31]和SocDolphins[32]。因本文主要研究無向網(wǎng)絡(luò),所以必要時對數(shù)據(jù)集進(jìn)行了無向化處理。KarateClub 數(shù)據(jù)集是1970 年美國大學(xué)生空手道俱樂部34 名成員之間朋友關(guān)系的社交網(wǎng)絡(luò)。Football 是2000 年美式足球秋季常規(guī)賽大學(xué)之間的比賽網(wǎng)絡(luò)。HighSchool 是2013 年12 月法國馬賽高中學(xué)生友誼聯(lián)系的社交網(wǎng)絡(luò)。Soc-Dophins 是寬吻海豚之間的社交網(wǎng)絡(luò)。其中數(shù)據(jù)集KarateClub、HighSchool 和SocDophins 中的邊表示成員之間擁有相對頻繁的聯(lián)系,F(xiàn)ootball 數(shù)據(jù)集中的邊表示球隊之間會有比賽安排。不同數(shù)據(jù)集的拓?fù)鋵傩匀绫? 中所示,其中節(jié)點(diǎn)數(shù)為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的總數(shù),邊數(shù)為網(wǎng)絡(luò)中邊的總數(shù),最大度數(shù)為網(wǎng)絡(luò)中邊數(shù)的最大值,平均度為度的平均值。同配系數(shù)是描述大度節(jié)點(diǎn)之間相連接的能力,其值越靠近1 說明其同配性越好;聚類系數(shù)是描述節(jié)點(diǎn)之間連接成團(tuán)的能力,其值越大說明網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)更有可能產(chǎn)生連接;網(wǎng)絡(luò)密度描述了網(wǎng)絡(luò)實際存在邊數(shù)與網(wǎng)絡(luò)可容納邊數(shù)的比值,也就是節(jié)點(diǎn)之間相互連邊的密集程度,其值越大說明網(wǎng)絡(luò)越密集。

    表1 數(shù)據(jù)集屬性Table 1 The attributes of datasets

    在現(xiàn)有影響力最大化問題的研究中,大多數(shù)研究人員主要關(guān)注如何在網(wǎng)絡(luò)中選取具有最佳影響力的種子節(jié)點(diǎn)集合,也就是通過研究創(chuàng)造出更先進(jìn)的影響力最大化算法來近似選取種子節(jié)點(diǎn)集合,并不關(guān)注種子節(jié)點(diǎn)集合大小的問題,即網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的固有能力的問題。本文主要研究網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的能力,提出網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的能力是有限的,也就是在網(wǎng)絡(luò)中選擇種子節(jié)點(diǎn)的時候并不是越多越好,每個網(wǎng)絡(luò)存在一個最優(yōu)的種子集合大小,一旦種子集合大小超過了最優(yōu)值,其多出的種子節(jié)點(diǎn)所帶來的影響力幾乎不能起到積極的作用,反而會增加實驗的成本。因為本文主要研究種子節(jié)點(diǎn)集合的大小,所以需要獲得種子節(jié)點(diǎn)的算法作為載體來求得種子節(jié)點(diǎn),本文使用4 種經(jīng)典的算法來選取種子節(jié)點(diǎn),4 種算法分別為:貪婪算法、度中心性、點(diǎn)介數(shù)中心性和基于k核過濾核覆蓋算法。使用上述方法分別選出4 個數(shù)據(jù)集具有最佳影響力的10 種子節(jié)點(diǎn),并對其影響力做出分析。

    3.1 滲流實驗

    我們提出網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的固有能力與相變值pc有關(guān),所以在網(wǎng)絡(luò)G上進(jìn)行滲流實驗。通過改變傳播概率p,對網(wǎng)絡(luò)G進(jìn)行多次滲流實驗,建立傳播概率p與滲流后網(wǎng)絡(luò)GP 的最大連通子圖GP'平均大小s的函數(shù)關(guān)系。在具體實驗中,設(shè)定傳播概率p為0.001~1 的數(shù),且為0.001 的倍數(shù),也就是說傳播概率p有1 000種情況。然后根據(jù)不同的傳播概率p對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行滲流實驗,并且每個傳播概率p進(jìn)行R次獨(dú)立的滲流實驗,因為滲流實驗具有隨機(jī)性,本文中通過設(shè)置較高的R值來獲取足夠的實驗結(jié)果,本文設(shè)置R=1 000。滲流實驗后,計算得到滲流后網(wǎng)絡(luò)GP 的最大連通子圖GP'的平均大小s,通過多項式擬合的方法對p和s進(jìn)行擬合,形成p和s的擬合函數(shù)F(x)。滲流模擬實驗具體結(jié)果如圖2 所示。在圖2 中,p表示網(wǎng)絡(luò)的傳播概率,s表示每個傳播概率p下R次滲流模擬后所得的最大連通子圖大小均值。圖2 中藍(lán)色部分是由1 000 個點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖,每個點(diǎn)對應(yīng)了一個傳播概率p以及一個最大連通子圖大小均值s。圖中紅色曲線是對p和s進(jìn)行擬合得到的擬合函數(shù)F(x) 的曲線。由圖2 發(fā)現(xiàn)隨著p值的增大,曲線逐漸平緩,在p值較小的時候,s的增長速率較大。即p值較小時,GP 由零散的小團(tuán)塊組成,當(dāng)p值越來越大時,GP 趨向由主團(tuán)塊組成。

    圖2 滲流實驗Fig.2 The percolation experiment

    3.2 相變值

    為了計算網(wǎng)絡(luò)G的相變值pc,需要計算函數(shù)F(x)的變化速率。在圖3 中,p為傳播概率,r為函數(shù)F(x)的變化速率,即函數(shù)dF(x)的值。我們可以得到函數(shù)dF(x) 的最大值dF(pm),點(diǎn)pm為圖3 中綠色的點(diǎn),也就是函數(shù)F(x)變化最快的時候。所有找的相變點(diǎn)pc,在pm的左鄰域中,也就是圖3 中紅色的點(diǎn),其中dF(pc)為距離dF(pm)最近的最小值,也就是函數(shù)dF(x)變化增長到最快時的起點(diǎn)位置。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的傳播概率p小于相變值pc時,變化速率r還處于較低水平,GP 由零散的小團(tuán)塊組成,當(dāng)傳播概率p大于pc時,GP 趨向由主團(tuán)塊組成,GP 逐漸呈現(xiàn)出以最大連通子圖為主的圖結(jié)構(gòu)。本文提出相變值pc反應(yīng)了網(wǎng)絡(luò)G傳播影響力的固有能力,也就是相變值反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)G中邊被激活的能力,即在影響力傳播模型下,被激活邊占總邊數(shù)的比例。因此可以得到網(wǎng)絡(luò)G最優(yōu)的種子節(jié)點(diǎn)集合的大小k'。

    因此可以計算出4 個數(shù)據(jù)集的相變值與最優(yōu)的種子節(jié)點(diǎn)集合的大小,其中KarateClub、Football、HighSchool 和SocDolphins 的相變值分別為0.034、0.059、0.022 和0.029。KarateClub、Football、HighSchool 和SocDolphins 的最優(yōu)的種子節(jié)點(diǎn)集合的大小分別為2、7、3 和2。

    圖3 擬合函數(shù)變化速率Fig.3 The changing rate of fitting function

    3.3 影響力模擬

    本文使用4 種影響力最大化算法來選取種子節(jié)點(diǎn)集合,4 種算法分別是:簡單貪婪算法[11]、度中心性、點(diǎn)介數(shù)中心性[33]以及基于k核過濾核覆蓋算法[34]。其中,簡單貪婪算法通過迭代的方式逐節(jié)點(diǎn)計算I(S∪{v}),并在每輪迭代中將使函數(shù)值最大的節(jié)點(diǎn)v加入到種子節(jié)點(diǎn)集合S中,直到選滿k個種子節(jié)點(diǎn),迭代結(jié)束。度中心性和點(diǎn)介數(shù)中心性則選擇度最大的k個節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn)?;趉核過濾核覆蓋算法則是通過預(yù)先計算出最優(yōu)的核數(shù)kopt,通過k核分解出最小核數(shù)為kopt的子圖,在子圖中選擇核數(shù)最大的節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn)。

    在影響力模擬實驗中,我們使用獨(dú)立級聯(lián)模型作為影響力模擬算法以及使用I(x) 計算影響力,并且使用上述4 種算法選取影響力最大的10 個種子節(jié)點(diǎn),分別對1~10 大小種子節(jié)點(diǎn)集合進(jìn)行影響力模擬。4 個數(shù)據(jù)集種子節(jié)點(diǎn)集合影響力實驗結(jié)果如圖4 所示。在圖4 中,k為種子節(jié)點(diǎn)個數(shù),I(k)為種子節(jié)點(diǎn)集合的影響力。圖4(a)為KarateClub 數(shù)據(jù)集種子節(jié)點(diǎn)集合影響力的實驗結(jié)果,在圖中我們可以發(fā)現(xiàn)4 種算法選出的種子節(jié)點(diǎn)集合在大小為3 時,影響力大小幾乎趨于平衡,說明當(dāng)前數(shù)據(jù)集適合3 個以下種子節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn)集合。圖4(b)為Football 數(shù)據(jù)集種子節(jié)點(diǎn)集合影響力的實驗結(jié)果,4 種算法的影響力呈逐漸上升趨勢,并且在種子節(jié)點(diǎn)個數(shù)為6 時,增長趨勢逐漸變緩。圖4(c)為HighSchool數(shù)據(jù)集種子節(jié)點(diǎn)集合影響力的實驗結(jié)果,4 種算法的影響力呈逐漸上升趨勢,圖像在種子節(jié)點(diǎn)個數(shù)k分別為6 時上升趨勢逐漸放緩。圖4(d)為SocDolphins 數(shù)據(jù)集種子節(jié)點(diǎn)集合影響力的實驗結(jié)果,4 種算法的影響力波動較大,總體呈上升趨勢,但我們可以觀察到當(dāng)k=5 開始,影響力已經(jīng)開始小于種子節(jié)點(diǎn)的個數(shù)。

    圖4 影響力模擬Fig.4 The influence simulation

    3.4 平均影響力分析

    在圖5 中,k為種子節(jié)點(diǎn)個數(shù),縱坐標(biāo)為當(dāng)前種子節(jié)點(diǎn)集合單個節(jié)點(diǎn)的平均影響力。從圖5(a)中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)k=2 時單個種子節(jié)點(diǎn)的平均影響力是最高的,1 個種子節(jié)點(diǎn)平均影響力1.5 個節(jié)點(diǎn)左右。當(dāng)k>4 時,單個種子節(jié)點(diǎn)的影響力不足于1 個節(jié)點(diǎn)。所以KarateClub 數(shù)據(jù)集適合選擇2 個種子節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn)集合較合適。從圖5(b)中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)k為1~3 時,種子節(jié)點(diǎn)的平均影響力最大,1 個種子節(jié)點(diǎn)平均影響2 個節(jié)點(diǎn),當(dāng)k>6 時,發(fā)現(xiàn)種子節(jié)點(diǎn)的平均影響力已經(jīng)不足1.5 個,所以我們認(rèn)為Football 數(shù)據(jù)集適合選取7 個種子節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn)集合比較合適。從圖5(c)中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)k=1 時單個種子節(jié)點(diǎn)的平均影響力是最高的,1 個種子節(jié)點(diǎn)平均影響力為2 個節(jié)點(diǎn)左右,當(dāng)k>3 時,我們發(fā)現(xiàn)種子節(jié)點(diǎn)的平均影響力已經(jīng)不足1.5 個,所以我們認(rèn)為HighSchool 數(shù)據(jù)集適合選取3 個種子節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn)集合比較合適。從圖5(d)中可以發(fā)現(xiàn),1 個種子節(jié)點(diǎn)平均影響力最高為1 個節(jié)點(diǎn)左右。點(diǎn)介數(shù)算法選取的種子節(jié)點(diǎn)在k>1 時就出現(xiàn)了平均影響力的下降,貪婪算法和度中心性算法選出的種子節(jié)點(diǎn)的影響力分別在k為4 和3 時出現(xiàn)下降,因此Soc-Dolphins 數(shù)據(jù)集適合選擇2 個種子節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn)集合比較合適。

    圖5 平均影響力Fig.5 The average influence

    通過實驗可以看出,一個網(wǎng)絡(luò)的種子節(jié)點(diǎn)集合大小并不是越大越好,而是存在一個上限,當(dāng)種子節(jié)點(diǎn)集合的大小超出了這個上限,多出的種子節(jié)點(diǎn)并不能帶來很好的邊際收益。根據(jù)我們所提出的算法計算出的最優(yōu)種子節(jié)點(diǎn)集合大小k',基本反映了一個網(wǎng)絡(luò)傳播影響力能力的上限,因此為種子節(jié)點(diǎn)個數(shù)的選取提供了很好的參考,并且可以用于一些選取最優(yōu)種子節(jié)點(diǎn)集合算法中,減少額外的時間開支。

    4 結(jié)束語

    本文主要對無向網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的固有能力進(jìn)行研究,通過對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行滲流模擬得到網(wǎng)絡(luò)的相變值,發(fā)現(xiàn)相變值可以反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)傳播影響力的能力,并提出一種基于滲流模型的影響力最大化算法來選取網(wǎng)絡(luò)所適合的種子節(jié)點(diǎn)集合的大小。在算法中,我們建立傳播概率與滲流模擬后網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖大小的關(guān)系,得到網(wǎng)絡(luò)相變值pc。當(dāng)傳播概率p大于pc時,滲流后網(wǎng)絡(luò)傾向于由一個主團(tuán)塊組成,當(dāng)傳播概率p等于pc時,網(wǎng)絡(luò)由多個大型團(tuán)塊組成。算法通過相變值與種子節(jié)點(diǎn)集合大小的換算,得到當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)的種子節(jié)點(diǎn)集合大小。實驗結(jié)果表明該臨界點(diǎn)對影響力最大化種子節(jié)點(diǎn)集合的大小選取起著重要的指導(dǎo)性作用。

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