一種改進的四旋翼飛行器建模方法

劉士超，呂 品，賴際舟，包 勝

（南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京211106）

0 引言

近年來，隨著四旋翼飛行器相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，其被廣泛應(yīng)用于軍事、民用領(lǐng)域［1］。目前，四旋翼飛行器通常采用 PID控制算法［2?3］。然而，隨著四旋翼飛行器飛行任務(wù)的多樣化、飛行環(huán)境的復(fù)雜化［4］，其對控制算法的抗干擾性提出了越來越高的要求。針對于此，研究人員將自適應(yīng)控制等基于模型的控制算法應(yīng)用于四旋翼飛行器。文獻［5］、文獻［6］提出在建立四旋翼飛行器動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用自適應(yīng)控制算法對四旋翼飛行器的姿態(tài)、位置進行控制。對于這類控制器，準確的動力學(xué)模型是保障控制精度的重要前提。

目前，四旋翼飛行器的動力學(xué)建模普遍是在直升機旋翼模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，其主要考慮了單旋翼的動力學(xué)特性。文獻［7］、文獻［8］基于旋翼的葉素理論和動量理論，對單旋翼所產(chǎn)生的升力、阻力、扭矩模型進行了推導(dǎo)，建立了四旋翼飛行器的動力學(xué)模型。文獻［9］提出了基于葉素理論和動量理論的旋翼飛行器的氣動力模型（包括升力模型和阻力模型），并且在水平側(cè)飛的過程中，使用阻力模型進行了水平速度估計。文獻［10］提出了基于升力模型的旋翼飛行器高度信息容錯估計，該升力模型是在單旋翼基礎(chǔ)上得到的，忽略了飛行器整體的動力學(xué)特性。文獻［11］、文獻［12］通過對單旋翼空氣動力學(xué)進行分析，推導(dǎo)出了四旋翼飛行器在機動性較小或懸停狀態(tài)下的動力學(xué)模型。上述文獻僅考慮了單旋翼的氣動力特性，而忽略了飛行器在機動飛行時所呈現(xiàn)出的整體動力學(xué)特點。本文對四旋翼飛行器傳統(tǒng)的動力學(xué)模型進行了改進，使其能夠更好地描述四旋翼飛行器的動力學(xué)特性，相應(yīng)結(jié)論通過試驗得到了驗證。

1 四旋翼飛行器的動力學(xué)建模及改進

四旋翼飛行器受力分析是建立其動力學(xué)模型的基礎(chǔ)。本文所使用的坐標系為導(dǎo)航系和機體系，其中導(dǎo)航系選為東北地坐標系，機體系選為前右下坐標系，如圖1所示。四旋翼飛行器在運動過程中所受到的力包括升力、阻力和重力，所受到的力矩包括扭矩、橫滾力矩和俯仰力矩。這些力與力矩主要與旋翼轉(zhuǎn)動有關(guān)，是分析四旋翼飛行器運動的基礎(chǔ)［13］。

圖1 四旋翼飛行器的受力示意圖及坐標系定義Fig.1 Force diagram of quadrotor and frame definition

1.1 四旋翼飛行器升力、阻力模型建模

四旋翼飛行器是欠驅(qū)動系統(tǒng)，通過4個旋翼的轉(zhuǎn)速來調(diào)整自身的姿態(tài)和運動速度［14］。在飛行過程中，每個旋翼都受到升力、阻力的作用。在近年的研究中，已經(jīng)建立了簡化的四旋翼飛行器的動力學(xué)模型。文獻［15］、文獻［16］提出了旋翼飛行器的升力、阻力、扭矩、力矩模型，這些模型均是基于單旋翼特性且在水平側(cè)飛或懸停狀態(tài)下提出的，本文將其稱為傳統(tǒng)動力學(xué)模型，采用上標的“tra”表示。本文提出的四旋翼飛行器改進動力學(xué)模型采用上標的 “im”表示。

（1）四旋翼飛行器的傳統(tǒng)升力、阻力模型

①升力模型

升力由旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生，方向垂直旋翼平面且沿著機體系的z軸方向向上。根據(jù)單個旋翼的升力特性，四旋翼飛行器所受到的升力表達式如下［17?18］

②阻力模型

四旋翼飛行器的阻力主要來源于輪轂力，輪轂力是四旋翼飛行器在做側(cè)向運動時作用于旋翼上的力，其方向與旋翼葉面平行且與飛行器運動方向相反，其表達式如下［17，19］

（2）四旋翼飛行器的改進升力、阻力模型

①改進升力模型

受機體加工誤差的影響，四旋翼飛行器的升力模型在式（1）的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)出了一定的常值偏置特性。針對于此，提出以下的改進升力模型

②改進阻力模型

傳統(tǒng)的阻力模型僅考慮了四旋翼飛行器在側(cè)飛運動過程中旋翼的側(cè)力特性。當(dāng)四旋翼飛行器進行橫滾、俯仰的角運動時，其旋轉(zhuǎn)中心通常在飛行器的質(zhì)心位置，而旋翼與旋轉(zhuǎn)中心存在一定距離。此時，旋翼會敏感到由角運動引發(fā)的切向力。此外，受機體加工誤差的影響，阻力模型也會存在一定偏置。改進的阻力模型如下所示

相較于傳統(tǒng)的動力學(xué)模型，改進的升力模型和阻力模型增加了零偏項，該項的增加可以解決飛行器加工及器件加工的誤差問題。同時，針對飛行器的轉(zhuǎn)動飛行狀態(tài)，在阻力模型中加入了角加速度相關(guān)項，使得改進的動力學(xué)模型適用于大機動性運動，突破了傳統(tǒng)模型的低速平飛或懸停運動的限制。

1.2 四旋翼飛行器力矩模型建模

四旋翼飛行器所受力矩包括扭矩、橫滾力矩和俯仰力矩，其通常由升力、阻力引起。

（1）四旋翼飛行器的傳統(tǒng)力矩模型

①扭矩模型

旋翼在轉(zhuǎn)動過程中，由于空氣阻力作用，會形成與轉(zhuǎn)動方向相反的反扭矩。為了克服反扭矩的影響，通常令2個旋翼正轉(zhuǎn)，2個旋翼反轉(zhuǎn)。當(dāng)4個電機轉(zhuǎn)速不完全相同時，不平衡的反扭矩會引起四旋翼飛行器繞機體系z軸轉(zhuǎn)動。其可表達為如下形式［20?21］

②橫滾、俯仰力矩模型

在傳統(tǒng)的橫滾、俯仰力矩模型中，其通常僅考慮由旋翼的升力而產(chǎn)生的力矩。因每個旋翼產(chǎn)生的升力不同，其會產(chǎn)生如下形式的力矩［20?21］

（2）四旋翼飛行器的改進力矩模型

①扭矩模型

當(dāng)四旋翼飛行器繞機體系z軸進行旋轉(zhuǎn)時，旋翼會敏感切向速度，從而產(chǎn)生阻力。由于該阻力在旋翼中心，距轉(zhuǎn)動中心有一定距離，因此會產(chǎn)生扭矩，其可表示為

式中，Md是四旋翼飛行器所受到的阻力矩；kd是阻力矩系數(shù)；Vr為旋翼在轉(zhuǎn)動半徑R處的線速度，Vr=ωbzR；ωbz為機體系相對于導(dǎo)航系的角速度在機體系z軸上的分量，將其帶入式（10）可得到

考慮零偏，則四旋翼飛行器的改進扭矩模型可以表達為如下形式

②橫滾、俯仰力矩模型

當(dāng)四旋翼飛行器做橫滾和俯仰轉(zhuǎn)動時，其會受到切向力的作用。該切向力與飛行器轉(zhuǎn)動軸之間存在一定距離，從而會產(chǎn)生橫滾、俯仰力矩，該力矩可表示為

針對旋翼飛行器的力矩及扭矩改進模型，考慮到飛行器結(jié)構(gòu)的安裝誤差，需增加零偏項。同時，考慮到運動過程中整體的動力學(xué)特性，需在扭矩模型中增加阻力項，在力矩模型中增加切向力項，這在一定程度上提高了模型的精度，實現(xiàn)了模型的優(yōu)化。

1.3 四旋翼飛行器改進動力學(xué)模型分析

綜上，四旋翼飛行器改進的動力學(xué)模型可以表達為

相對于傳統(tǒng)模型，改進模型考慮到了四旋翼飛行器的安裝誤差，在動力學(xué)模型中加入了零偏項，同時考慮到了四旋翼飛行器在做側(cè)飛、旋轉(zhuǎn)等機動飛行時的整體動力學(xué)特性。通過增加四旋翼飛行器在轉(zhuǎn)動飛行時所受側(cè)力的角加速度項、扭矩的阻力項、橫滾和俯仰力矩的切向力項，可以更好地對四旋翼飛行器動力學(xué)特性進行描述。

2 試驗及分析

為了對本文所提出的四旋翼飛行器動力學(xué)模型進行驗證，本文進行了多種機動下的飛行試驗，其飛行場景如圖2所示。飛行試驗所采用的四旋翼飛行器的基本參數(shù)如表1所示。

圖2 室外試驗場景圖Fig.2 Outdoor test scene

表1 四旋翼飛行器的基本參數(shù)表Table 1 Basic parameters of the quadrotor

在飛行試驗中，其航跡設(shè)置如表2所示。即首先進行60s的懸停運動，其次進行上下往返運動，之后進行橫滾、俯仰運動，然后進行航向轉(zhuǎn)動，最后進行橫滾方向的側(cè)飛運動和俯仰方向的側(cè)飛運動。

在飛行試驗中，陀螺、加速度計、GPS可以對飛行器的角速度、加速度、速度信息進行記錄。通過對角速度進行微分，可以得到角加速度的信息。由四旋翼飛行器的動力學(xué)方程可知，其加速度、角加速度與力、力矩是成正比的。因此，通過對式（15）進行轉(zhuǎn)換，可以得到四旋翼飛行器加速度、角加速度的計算表達式，如式（16）所示。

表2 模型對比驗證的試驗航跡設(shè)置Table 2 Test track setting of model comparison verification test

對傳統(tǒng)的動力學(xué)模型進行轉(zhuǎn)化，可得到傳統(tǒng)動力學(xué)模型的加速度、角加速度表達式

通過式（16），對四旋翼飛行器的加速度、角加速度模型進行擬合，通過將其與傳統(tǒng)模型的擬合結(jié)果進行對比，可以對兩種模型的準確性進行評價。

本文采用擬合優(yōu)度的概念對兩種模型的擬合精度進行分析。擬合優(yōu)度描述了所構(gòu)建的模型與觀測數(shù)據(jù)集的匹配程度，可以用來衡量所建立的模型的準確度。衡量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量為確定系數(shù)R2，其取值范圍為［0，1］。擬合優(yōu)度越接近1，意味著所建立的模型越準確，其定義如下［22?23］

式中，SSE是殘差平方和，SST是總平方和，yi是量測數(shù)據(jù)，fi是模型預(yù)測數(shù)據(jù)，yav是yi的平均值。

采用最小二乘方法，分別使用傳統(tǒng)模型、改進模型對飛行數(shù)據(jù)進行擬合，通過擬合優(yōu)度指標、時域曲線對其進行對比。將擬合后的改進模型與傳統(tǒng)模型分別與觀測數(shù)據(jù)集進行對比，可以計算擬合優(yōu)度R2。擬合優(yōu)度越接近于1，表示模型與數(shù)據(jù)集的匹配程度越高，所建立的模型精度越高。在試驗中，通過上下升降試驗來對比升力模型的擬合優(yōu)度，通過側(cè)飛、轉(zhuǎn)動試驗對比側(cè)力模型的擬合優(yōu)度，通過航向運動來對比扭矩模型的擬合優(yōu)度，通過橫滾運動來對比橫滾力矩的擬合優(yōu)度，通過俯仰運動來對比俯仰力矩的擬合優(yōu)度。擬合優(yōu)度的對比情況如表3所示，兩種模型擬合結(jié)果的時域曲線如圖3～圖10所示。其中，在加速度擬合曲線圖中，參考曲線數(shù)據(jù)為加速度計輸出；在角速度擬合曲線圖中，參考曲線數(shù)據(jù)為陀螺輸出微分。

表3 兩種模型的擬合優(yōu)度對比Table 3 Comparison of goodness of fit between the two models

圖3 側(cè)飛試驗下X軸加速度擬合結(jié)果對比圖Fig.3 Comparison of X-axis acceleration fitting results in lateral flight test

圖4 轉(zhuǎn)動試驗下X軸加速度擬合結(jié)果對比圖Fig.4 Comparison of X-axis acceleration fitting results in rolling test

圖5 側(cè)飛試驗下Y軸加速度擬合結(jié)果對比圖Fig.5 Comparison of Y-axis acceleration fitting results in lateral flight test

圖6 轉(zhuǎn)動試驗下Y軸加速度擬合結(jié)果對比圖Fig.6 Comparison of Y-axis acceleration fitting results in rolling test

圖7 Z軸加速度擬合結(jié)果對比圖Fig.7 Comparison of Z-axis acceleration fitting results

圖8 X軸角加速度擬合結(jié)果對比圖Fig.8 Comparison of X-axis angular acceleration fitting results

圖9 Y軸角加速度擬合結(jié)果對比圖Fig.9 Comparison of Y-axis angular acceleration fitting results

圖10 Z軸角加速度擬合結(jié)果對比圖Fig.10 Comparison of Z-axis angular acceleration fitting result

通過將擬合優(yōu)度、時域曲線進行對比，可以看出：

1）對于升力、阻力、扭矩、橫滾力矩、俯仰力矩而言，其改進的動力學(xué)模型擬合優(yōu)度優(yōu)于傳統(tǒng)模型，表明改進的動力學(xué)模型與觀測的數(shù)據(jù)集擬合優(yōu)度更接近于1，精度更高。

2）通過觀察圖3～圖6可以看出，對于阻力模型，在側(cè)飛狀態(tài)下，零偏項的引入較好地補償了其偏置誤差；在轉(zhuǎn)動狀態(tài)下，傳統(tǒng)模型呈現(xiàn)出了較大誤差，而改進模型與試驗結(jié)果較為符合。

3）通過圖7可以看出，改進的升力模型與傳統(tǒng)升力模型在時域上的擬合效果基本一致，與試驗結(jié)果均具有較高的重合性。

4）通過圖8～圖10可以看出，對于橫滾力矩、俯仰力矩及扭矩而言，改進模型與試驗結(jié)果的一致性均優(yōu)于傳統(tǒng)模型。

3 結(jié)論

本文提出了一種改進的四旋翼飛行器動力學(xué)模型，在側(cè)飛、旋轉(zhuǎn)等機動條件下對傳統(tǒng)模型進行了完善：對于阻力，引入了與轉(zhuǎn)動相關(guān)的切向力；對于扭矩，引入了轉(zhuǎn)動時由阻力帶來的阻力矩；對于橫滾力矩、俯仰力矩，引入了轉(zhuǎn)動時由切向力引起的力矩項。飛行試驗表明，當(dāng)四旋翼飛行器執(zhí)行機動飛行時，改進的動力學(xué)模型比傳統(tǒng)的動力學(xué)模型具有更高的精度。