剖析立體幾何中的經(jīng)典題型

■河南省沈丘縣第一高級(jí)中學(xué) 董曉霞

立體幾何中的證明線面平行、線線垂直、線面垂直,以及幾何體的外接球問題是經(jīng)典題型,也是高考的熱點(diǎn),本文總結(jié)了一些方法思路,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。

一、證明線面平行

證明方法：(1)利用線面平行的判定定理證線面平行：a?α,b?α,a∥b?a∥α。

(2)利用面面平行的性質(zhì)定理證線面平行：α∥β,a?α?a∥β。

(3)利用空間向量進(jìn)行證明。

例1 如圖1,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點(diǎn)。求證：GF∥平面ADE。

圖1

證法一：如圖2,取AE的中點(diǎn)H,連接HG,HD。又G是BE的中點(diǎn),所以GH∥AB,且。因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),所以。由四邊形ABCD是矩形得AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF。從而四邊形HGFD是平行四邊形,所以GF∥DH。又DH?平面ADE,GF?平面ADE,所以GF∥平面ADE。

圖2

圖3

證法二：如圖3,取AB的中點(diǎn)M,連接MG,MF。又G是BE的中點(diǎn),可知GM∥AE。又AE?平面ADE,GM?平面ADE,所以GM∥平面ADE。在矩形ABCD中,由M、F分別是AB、CD的中點(diǎn),得MF∥AD。又因?yàn)锳D?平面ADE,MF?平面ADE,所以MF∥平面ADE。又因?yàn)镚M∩MF=M,GM?平面GMF,MF?平面GMF,所以平面GMF∥平面ADE。因?yàn)镚F?平面GMF,所以GF∥平面ADE。

點(diǎn)評(píng)：直線和平面平行首先是利用其判定定理,或者利用面面平行的性質(zhì)來證,注意線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化;有中點(diǎn)時(shí)尋找中位線,利用三角形的中位線平行于底邊、平行四邊形的對(duì)邊平行等有關(guān)性質(zhì)。

例2 如圖4,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)。求證：MN∥平面ABCD。

圖4

解析：如圖5,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0)。

因?yàn)镸,N分別為B1C和D1D的中點(diǎn),所以1)。

圖5

依題意可得n=(0,0,1)為平面的一個(gè)法向量,因?yàn)?所以又因?yàn)橹本€MN?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量垂直時(shí),直線和平面平行,但要注意指出直線不在平面內(nèi)。

二、證線線垂直、線面垂直

證明方法：(1)證線線垂直：①用勾股定理;②轉(zhuǎn)化為證線面垂直。

(2)證線面垂直：①用線面垂直的判定定理：a?α,b?α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b?l⊥α;②用面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β,α∩β=b,a?α,a⊥b?a⊥β。

(3)證面面垂直：①用面面垂直的判定定理：l⊥α,l?β?α⊥β;②用定義法,證兩平面所成二面角的平面角為直角。證明時(shí)注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化。

例3 如圖6,在四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD= ∠CBD,AB=BD。證明：平面ACD⊥平面ABC。

圖6

解析：由題設(shè)可得△ABD≌△CBD,從而AD=DC。因?yàn)椤鰽CD是直角三角形,所以∠ADC=90°,取AC的中點(diǎn)O,連接BO,DO,則DO⊥AC,DO=OC。因?yàn)椤鰽BC是正三角形,所以BO⊥AC,所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角。在△AOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2。所以∠DOB=90°,所以平面ACD⊥平面ABC。

點(diǎn)評(píng)：本題證線線垂直時(shí)利用勾股定理,證面面垂直時(shí)通過證兩平面的二面角為直二面角,利用了定義法證明。

三、求空間角

空間角主要有：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、兩平面所成的角。

(1)求異面直線所成的角,一是幾何法,通常作平行線找出異面直線所成的角,在三角形中解出該角,注意異面直線所成的角的取值范圍是,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角;二是坐標(biāo)法,需求出它們的方向向量a,b的夾角,則

(2)求直線與平面所成的角,一是尋求過直線上一點(diǎn)作平面的垂線,再作出直線與平面所成的角;二是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角,可先求出平面α的法向量n與直線l的方向向量a的夾角,則sinθ=|cos〈n,a〉|。

(3)求二面角α-l-β的大小θ,一是轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角,先求出兩平面的法向量n1,n2所成的角,則θ=〈n1,n2〉或π-〈n1,n2〉;二是用幾何法,作出二面角的平面角,在三角形中求平面角的大小。

(4)利用法向量求解空間角在于四個(gè)關(guān)鍵步驟：

第一步,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;

第二步,準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);

第三步,求出平面的法向量;

第四步,求夾角。

例4 如圖7,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是____。

圖7

解析：如圖8,連接DN,取DN的中點(diǎn)P,連接PM,PC,則可知∠PMC(或其補(bǔ)角)即為異面直線AN,CM所成的角。易得所以即異面直線AN與CM所成的角的余弦值為

圖8

圖9

例5 如圖9,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。

(1)證明：平面AEC⊥平面AFC;

(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值。

解析：(1)連接BD,設(shè)BD∩AC=G,連接EG,FG,EF,如圖10所示。

圖10

在菱形ABCD中,不妨設(shè)GB=1,由∠ABC=120°,可得。由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC。又因?yàn)锳E⊥EC,所以

在 R t△EBG中,可得,故在R t△FDG中,可得

在直角梯形BDFE中,由,可得,所以,所以EG⊥FG。

因?yàn)锳C∩FG=G,所以EG⊥平面AFC。因?yàn)镋G?面AEC,所以平面AFC⊥平面AEC。

(2)如圖11,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閤軸,y軸正方向?yàn)閱挝婚L度,建立空間直角坐標(biāo)系G-x y z。由(1)可得所以

圖11

例6 如圖12所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E為棱PC的中點(diǎn)。

(1)證明：BE⊥DC;

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;

圖12

(3)若F為棱PC上一點(diǎn),滿足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值。

解法一：依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖13所示),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)。由E為棱PC的中點(diǎn),得E(1,1,1)。

圖13

不妨令y=1,可得n=(2,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量。于是有,所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為

設(shè)n1=(x,y,z)為平面FAB的法向量,則

不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)為平面FAB的一個(gè)法向量。

取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),則

易知二面角F-AB-P是銳角,所以其余弦值為

圖14

解法二：(1)如圖14所示,取PD中點(diǎn)M,連接EM,AM。由于E,M分別為PC,PD的中點(diǎn),故EM∥DC,且EM=。由已知可得EM∥AB且EM=AB,故四邊形ABEM為平行四邊形,所以BE∥AM。因?yàn)镻A⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,從而CD⊥平面PAD。因?yàn)锳M?平面PAD,所以CD⊥AM。又BE∥AM,所以BE⊥CD。

(2)連接BM,由(1)得CD⊥平面PAD,得CD⊥PD。而EM∥CD,故PD⊥EM。又因?yàn)锳D=AP,M為PD的中點(diǎn),所以PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM,故平面BEM⊥平面PBD,所以直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM。而BE⊥EM,可得∠EBM為銳角,故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角。依題意有,而M為PD的中點(diǎn),可得,進(jìn)而。故在R t△BEM中,,因此,所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為

圖15

(3)如圖15所示,在△PAC中,過點(diǎn)F作FH∥PA交AC于點(diǎn)H。因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以FH⊥底面ABCD,從而FH⊥AC。又BF⊥AC,得AC⊥平面FHB,因此AC⊥BH。在底面ABCD內(nèi),可得CH=3HA,從而CF=3FP。在平面PDC內(nèi),作FG∥DC交PD于點(diǎn)G,于是DG=3GP。由于DC∥AB,故GF∥AB,所以A,B,F,G四點(diǎn)共面。由AB⊥PA,AB⊥AD,得AB⊥平面PAD,故AB⊥AG,所以∠PAG為二面角F-AB-P的平面角。在△PAG中,PA=2,PG=再由余弦定理可得,所以二面角F-AB-P的余弦值為

點(diǎn)評(píng)：解決線線垂直、線面垂直及求二面角問題,要熟練利用有關(guān)垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行面面垂直、線面垂直、線線垂直之間的轉(zhuǎn)化與證明,另外利用空間向量解題時(shí),要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,準(zhǔn)確寫出空間點(diǎn)的坐標(biāo),利用法向量求二面角,利用數(shù)量積為零,解決線線、線面垂直問題。

跟蹤練習(xí)：

1.如圖16,在四棱錐A-EFCB中,△AEF為等邊三角形,平面AEF⊥平面EFCB,O為EF的中點(diǎn)。求證：AO⊥BE。

圖16

證明：△AEF為等邊三角形,O為EF的中點(diǎn),所以AO⊥EF。因?yàn)槠矫鍭EF⊥平面EFCB,平面AEF∩平面EFCB=EF,AO?平面AEF,所以AO⊥平面EFCB。因?yàn)锽E?平面EFCB,所以AO⊥BE。

2.如圖17,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°。

(1)證明：平面PAB⊥平面PAD;

圖17

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值。

解析：(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得BA⊥PA,CD⊥PD。由于AB∥CD,故AB⊥PD,從而AB⊥平面PAD。又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD。

(2)在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為F,由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD。

圖18

以F為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向?yàn)閱挝婚L,建立如圖18所示的空間直角坐標(biāo)系F-x y z。

設(shè)n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,則可取

設(shè)m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,則可取m=(1,0,1)。

3.如圖19,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,

圖19

(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;

(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí),求線段BQ的長。

解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖20所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-x y z,則Β(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)。

圖20

(1)因?yàn)棣?D⊥平面Ρ Α Β,所以是平面Ρ Α Β的一個(gè)法向量