立體幾何中的易錯(cuò)題歸類剖析

■河南省沈丘縣第一高級中學(xué) 趙向前

一、求幾何體的外接球時(shí)，易忽視球的幾何性質(zhì)

考點(diǎn)指南：球的問題是平面圖形圓的立體化、空間化問題,圓的考點(diǎn)在高中側(cè)重解析幾何問題的考查,即與圓的方程有關(guān)的問題,高中圓的幾何特性(幾何圖形的外接圓)主要體現(xiàn)在空間幾何體的外接球的知識方面,即求解與幾何體的外接球有關(guān)的問題時(shí),需要把立體球轉(zhuǎn)化為平面圓進(jìn)行分析,考查層次屬于有難度的問題。

例1 一個(gè)幾何體的三視圖如圖1所示,求該幾何體外接球的表面積。(單位：c m)

圖1

解題分析：根據(jù)題意知該幾何體是一個(gè)圓錐,其軸截面是邊長為2c m的正三角形,則幾何體及其外接球的直觀圖如圖2所示。由題可知軸截面△PAB為正三角形,球心O為正三角形的重心,根據(jù)三角形重心的知識,則PO∶OO'=2∶1。又O'為AB的中點(diǎn),所以在R t△PAO'中,所以

圖2

因?yàn)椤鱌AB是正三角形,PO=AO,則外接球的半徑為所以圓錐的外接球的表面積

考查意圖：本題主要考查同學(xué)們的空間想象能力、空間問題平面化能力及計(jì)算能力。雖然本題是求解外接球的表面積,但是在求解球的半徑時(shí),需要逐步進(jìn)行,故對運(yùn)算邏輯也是有考查的。

復(fù)習(xí)建議：由于高考是選拔性考試,考題定位“源于課本,考查分析問題與求解問題的能力”,學(xué)習(xí)中,應(yīng)立足教材,對教材中的核心題型,比如求三棱錐的外接球,只有做好歸納總結(jié),步驟細(xì)化,有了基本方法的掌握,才能在解決柱體、錐體的問題中做到熟練掌握與應(yīng)用。

變式練習(xí)1：如圖3,在四棱錐P-ABCD中,面PAB⊥面ABCD,△PAB是等邊三角形,四邊形ABCD為矩形,邊長AB=2,AD=4,求四棱錐P-ABCD的外接球的體積。

圖3

解題分析：如圖4,構(gòu)造四棱錐P-ABCD的外接球O,因?yàn)椤鱌AB為正三角形,正△PAB的外接圓為☉O2,根據(jù)三角形重心的知識,則PO2∶O2E=2∶1。

圖4

因?yàn)锳B=2,所以則

在矩形ABCD中,AO1是對角線的一半,所以R t△OO1A中,,即四棱錐P-ABCD的外接球O的半徑為

二、判斷線面關(guān)系時(shí)，易忽視幾何載體或空間幾何常識的應(yīng)用

考點(diǎn)指南：有關(guān)線面關(guān)系的問題,屬于考題中的小題部分,出題靈活,考查點(diǎn)線面的空間位置關(guān)系,在分析過程中,需要借助不同的幾何體或線面關(guān)系去呈現(xiàn),考生在做題時(shí),由于線面垂直、平行及判定性質(zhì)(八大定理)同時(shí)出現(xiàn),易脫離幾何載體或忽略幾何常識。在簡易邏輯問題上,條件的考查對考生來說比較抽象,特別是p是q的什么條件,或p的什么條件是q等知識的考查,屬于基礎(chǔ)題型中易于出錯(cuò)的部分。

例2 設(shè)m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線,l,s是平面β內(nèi)兩條相交直線,則α⊥β的一個(gè)充分不必要條件是( )。

圖5

解題分析：本題給出空間中兩線兩面,從線面關(guān)系去證明面面垂直,需要考慮證明面面垂直的基本方法,就是線面垂直的判定定理或直二面角知識。如圖5中,α,β斜交,知A,D選項(xiàng)錯(cuò)誤,直線l⊥a。圖6中,α,β斜交,m⊥l,n⊥s,知C選項(xiàng)錯(cuò)誤。B選項(xiàng)是線面垂直的判定定理,故B選項(xiàng)正確。

圖6

考查意圖：簡易邏輯中的條件結(jié)合空間點(diǎn)線面知識,屬于基礎(chǔ)問題的綜合,體現(xiàn)知識的交叉情況,立足空間幾何直觀和幾何載體,注重對考生基礎(chǔ)能力、基本方法應(yīng)用能力的考查。

復(fù)習(xí)建議：在基礎(chǔ)問題方面,緊扣數(shù)學(xué)核心知識及考點(diǎn),準(zhǔn)確掌握概念,平時(shí)注重常規(guī)問題的分析,簡單不出錯(cuò),拿準(zhǔn)分才是考生應(yīng)該鍛煉的。

變式練習(xí)2：已知不同的直線l,m,n,平面α,β,γ,則下列關(guān)于線面關(guān)系的說法中正確的是( )。

解題分析：A選項(xiàng)中的直線l與直線n之間還存在平行、相交、異面的情況;B選項(xiàng)正確,直線重合的情況,在本題不會出現(xiàn),考生不用糾結(jié);選項(xiàng)C、D中的兩個(gè)平面可能存在平行、垂直、相交的情況。

三、證明平行問題時(shí)，易忽視經(jīng)典平行證明方法的應(yīng)用

考點(diǎn)指南：線面的平行問題,是高考立體幾何問題中的核心證明問題,與線面垂直處于同樣重要的地位。在人教A版《數(shù)學(xué)必修2》中,關(guān)于線面平行有兩個(gè)判定定理與兩個(gè)性質(zhì)定理。雖然可以用向量證明平行與垂直問題,但高考中的立體幾何解答題,其第一問一般考查平行與垂直,主要用定理去證明,應(yīng)用時(shí),結(jié)合具體問題,平行因素體現(xiàn)在比例或中點(diǎn)問題上。方法一,構(gòu)造面面平行;方法二,通過中位線、比例、平行四邊形證明線線平行。

例3 如圖7,P是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn),M,N分別是PA,BD上的點(diǎn),且求證：MN∥平面PDC。

圖7

解題分析：由題知,該圖形可看作四棱錐

如圖8,在AD上取一點(diǎn)Q,滿足,即Q是AD的三等分點(diǎn),連接MQ,NQ。在△ADP和△DAB中,MQ∥PD,NQ∥AB。

圖8

在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,所以NQ∥CD。

又MQ∩NQ=Q,CD∩PD=D,所以面MNQ∥面PCD。

又MN?面MNQ,所以MN∥面PCD。

考查意圖：本題通過比例給出條件去求證平行,對比中點(diǎn)問題,考生易構(gòu)造中位線在面內(nèi)尋找線線平行,但通過構(gòu)造面面平行,用面面平行的判定定理是比較好的方法。本題考查考生對平行問題的常見證明方法的理解與應(yīng)用情況。

復(fù)習(xí)建議：立體幾何是高考的必考點(diǎn),在解答題型中證明問題與求解問題屬于中等難度題型,對比圓錐曲線與函數(shù)問題,考生易得分,復(fù)習(xí)時(shí)要熟練掌握基本定理,解題時(shí)步驟要寫詳細(xì),保證得分點(diǎn)突出。注意經(jīng)典題型與構(gòu)造問題,做好積累歸納。

變式練習(xí)3：如圖9,在四棱錐P-ABCD中∠BAD= ∠ABC=90°,E是PD的中點(diǎn)。證明：直線CE∥面PAB。

圖9

解題分析：如圖10,在四棱錐P-ABCD中,取AD的中點(diǎn)F,連接∠ABC=90°,則四邊形ABCF為正方形,所以AB∥CF。

圖10

在△PAD中,EF是中位線,故PA∥EF。

又AB∩PA=A,EF∩FC=F,所以面PAB∥面EFC。

又直線CE?面EFC,所以直線CE∥面PAB。

四、應(yīng)用向量法求空間角時(shí)，易忽視坐標(biāo)系的建立

考點(diǎn)指南：立體幾何屬于高考中等難度的問題,考生易得分,空間問題的求解比證明復(fù)雜一些,在2010年之前,求解空間角常采用直接構(gòu)造,對空間想象能力要求比較高,難度比較大,近些年,考查思路轉(zhuǎn)化到代數(shù)方法,就是用空間向量去求解,空間向量的運(yùn)算比構(gòu)造角的三角形計(jì)算,計(jì)算量小一些,對考生的考查進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、工具性。建立空間坐標(biāo)系,通過向量運(yùn)算證明空間垂直問題,不可小看。

例4 如圖11,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PF⊥BF。求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

圖11

解題分析：由已知的垂直條件可得PF⊥BF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF。

又線BF?面ABFE,所以平面PEF⊥平面ABFD。

過點(diǎn)P作PH⊥平面ABFD,則點(diǎn)H在平面PEF與平面ABFD的交線EF上,過H在面ABFD上作HQ⊥EF,以H為坐標(biāo)原點(diǎn),以HQ,HF,HP所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間坐標(biāo)系,如圖12所示。

圖12

由于F為正方形的邊BC的中點(diǎn),設(shè)BF=1,則PF=1,DP=2,DE=1。

在R t△PED中

在△PEF中,PE2+PF2=EF2,所以△PEF是直角三角形。

設(shè)直線PD與平面ABFD所成角為θ,

所以PD與平面ABFD所成角的正弦值是

考查意圖：本題通過翻折,把正方形問題轉(zhuǎn)化為空間幾何問題,通過翻折前后的垂直關(guān)系,考查線面垂直的證明與應(yīng)用,求解線面角時(shí),可采用直接構(gòu)造線面角,難度在于垂線的分析,即垂足位置,采用空間坐標(biāo)系,考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求解,經(jīng)典的直角三角形求邊長,是不容忽視的問題。

復(fù)習(xí)建議：在坐標(biāo)系建立問題上,梳理歸納考題中的垂直因素：①線面垂直,可以直接用;②面面垂直,融合等腰的中點(diǎn)問題,采用三線合一;③空間幾何體,出現(xiàn)斜棱柱或者翻折問題,抓住垂直問題的證明去建立垂直。

圖13

變式練習(xí)4：如圖13,在等腰△ABC中,D,E,F分別是AB,AC和BC邊的中點(diǎn),∠ACB=120°,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖14。

(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)求二面角E-DF-C的余弦值。

解題分析：(1)如圖14,在△ABC中,由E,F分別是AC,BC的中點(diǎn),得EF∥AB。又AB?平面DEF,EF?平面DEF,所以AB∥平面DEF。

圖14

圖15

(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DB,DC,DA為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖15所示。設(shè)CD=a,則AC=BC則

取平面CDF的法向量為m=(0,0,1),設(shè)平面EDF的法向量為n=(x,y,z),則

所以二面角E-DF-C的余弦值為

變式練習(xí)5：如圖16,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點(diǎn)D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC。

圖16

(1)求證：BC⊥ 平面PAC;

(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí),求AD與平面PAC所成的角的正弦值。

解題分析：(1)因?yàn)镻A⊥底面ABC,所以PA⊥BC。

又∠BCA=90°,所以AC⊥BC。

所以BC⊥平面PAC。

(2)因?yàn)镈為PB的中點(diǎn),DE∥BC,所以三角形,所以

在 R t△ABC中,∠ABC=60°,所以

由(1)知BC⊥平面PAC,所以DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E,所以∠DAE是AD與平面PAC所成的角。

因?yàn)镻A⊥底面ABC,所以PA⊥AB。

又PA=AB,所以△ABP為等腰直角

在 R t△ADE中