淺談立體幾何中的創(chuàng)新題

■河南省沈丘縣第一高級中學 王 崇 王 超

縱觀高考數(shù)學試題可以發(fā)現(xiàn),立體幾何主要考查考生的空間想象能力、計算及轉(zhuǎn)換能力,以圖形的分割、補形、折疊、展開、平移為依托,在圖形的變式和非標準圖形位置中靈活地運用概念、性質(zhì)、定理解決相關(guān)問題,考查方式靈活多變。

一、立體幾何中的截面問題

例1 已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則平面α截此正方體所得截面面積的最大值為( )。

分析：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系及其所成角的問題,載體為大家最熟悉的正方體,但考查角度較新穎。利用正方體的性質(zhì),將每條棱所在直線與平面α所成角轉(zhuǎn)化為共頂點的三條棱所在直線與平面α所成角是解決本題的關(guān)鍵,在此基礎上可以利用極限思想和特殊位置的方法解決。

解法1：(直接法)平面A1C1B符合題意,如圖1所示。題中的平面α可由平面A1C1B平移得到,如圖2所示,六邊形EFGHMN即為該截面。

圖1

圖2

設A1N=x,則有根據(jù)對稱性可知,延長EN,HM相交于點P,延長EF,HG相交于點Q,如圖3所示。由相似比可得,易證∠HEF= ∠EHG=60°,所以△EHQ為等邊三角形。同理△EHP也為等邊三角形。所以

圖3

解法2：(特殊位置法)由題可知,截面α應與正方體的體對角線垂直,當平面平移至截面為六邊形時,此時六邊形的周長恒定不變,所以當截面為正六邊形時,面積最大,即

探究本題根源：在人教A版教科書《必修2》“2.2.2平面與平面平行的判定”例2及習題中出現(xiàn)了此題中的面與棱所成角問題,老師當時的講解稍加延伸考生就會清楚知道截面與正方體各條棱所成的角相等,那么考生有了這樣的認識之后再看到這道題時應該很容易找到切入點。

同類題型：

1.能否用一個平面去截一個正方體,使得截面為五邊形?進一步,截面能否為正五邊形呢?

4.2.4 膠州大白菜品牌發(fā)展的不足。膠州大白菜品牌的發(fā)展是一個長期的過程，通過建立基地，統(tǒng)一生產(chǎn)、檢測等運行機制提高了產(chǎn)品的質(zhì)量，通過申請商標及各種優(yōu)秀評選提高了產(chǎn)品的價值，品牌膠州大白菜單位產(chǎn)值、利潤率得到提高，品牌發(fā)展迅速。但是，膠州大白菜品牌發(fā)展過程中仍然存在一些問題，我們需要重視并加以完善。

圖4

解析：如圖4所示,我們可以用一個平面截一個正方體ABCDA1B1C1D1,使得截面為一個凸五邊形。I是B1B延長線上一點,使得IB=,E為A1D1的中點,F為AA1上的點,使得,則截面C1EFGH為過直線EF與C1I(這里EF∥C1I)的平面與正方體ABCD-A1B1C1D1相截所得的凸五邊形截面。

用一個平面去截一個正方體所得截面不能是一個正五邊形。事實上,若截面可以為一個正五邊形,則五邊形的五條邊分屬于此正方體的五個不同的面。我們將正方體的每兩個相對的面作為一個抽屜,則上述包含正五邊形的邊的五個面中,必有兩個面為相對的平面,它們是平行的,利用平行平面的性質(zhì),可知此五邊形中有兩條邊是平行的。但是正五邊形的五條邊是彼此不平行的,矛盾。

2.正四棱錐P-ABCD的底面是邊長為3的正方形,O是P在底面上的射影,PO=6,Q是AC上的一點,過Q且與PA,BD都平行的截面為五邊形EFGHL,求該截面面積的最大值。

圖5

解析：如圖5,連接AC,BD,設截面與正四棱錐P-ABCD的底面的交線為EL,AC與EL相交于Q點,由BD∥截面EFGHL得LE∥BD,AP∥截面EFGHL,得AP∥QG,那么,EL必定分別與AB,AD相交于E,L,否則,截面將是三角形,則AP∥EF,AP∥LH,在正四棱錐P-ABCD中,BD⊥AP,由LE∥BD,AP∥QG,知∠GQE是異面直線BD與PA所成角,則QG⊥EL,所以GFEQ和GHLQ是兩個全等的直角梯形。

設AE=x(0＜x＜3),因為AP=,由,即而,由得于是QG=所 以。所以,當x=2時,截面EFGHL的面積取得最大值9。

二、立體幾何中的折疊與展開問題

例2 某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖6所示。圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在側(cè)視圖上的對應點為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為( )。

圖6

分析：本題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖及最短路徑問題。解決空間幾何表面上兩點間的最短路徑問題的常用方法是把空間圖形展為平面圖形,利用兩點之間線段最短進行求解。

圖7

圖8

解：三視圖還原幾何體為一圓柱,如圖7,將側(cè)面展開,如圖8,則最短路徑的長度為M,N連線的距離,所以故選B。

探究本題根源：在人教A版教科書《必修2》第二章小結(jié)的回顧與思考中指出“空間圖形問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為平面問題?！_定平面’是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件,而這種轉(zhuǎn)化又是空間圖形中解決部分問題的重要思想方法”。本題既考查了三視圖的知識,又考查了空間幾何與平面幾何的轉(zhuǎn)化問題,解決此類問題常用展開的方法確定相應的平面。

1.如圖9所示,一個圓臺的上底半徑為5,下底半徑為10,母線A1A2=20。一只螞蟻從A1A2的中點M繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到下底面圓周上的點A2,求：

(1)螞蟻爬行的最短距離;

(2)螞蟻在爬行過程中(沿最短距離爬行),螞蟻與上底面圓周上的點的最短距離。

圖9

解析：我們將圓臺的側(cè)面沿母線A1A2剪開,并展開為一個扇形,如圖10所示。設A1A2與A1'A2'的延長線交于點P,利用△PA2O2∽△PA1O1,可知于是故A1P=20。

圖10

(1)連接A2'M,如果A2'M與扇形A1'PA1沒有交點,則線段A2'M的長度即為螞蟻爬行的最短距離。

利用∠A2'PM為直角,可知A2'M2=A2'P2+PM2=402+302=502,故A2'M=50,這時,我們過P作PD⊥A2'M,D為垂足,則PD=,這表明A2'M與扇形A1'PA1沒有交點。所以螞蟻爬行的最小距離為50。

圖11

(2)如圖 11,設PD交弧A1'A1于點E,我們證明DE的長度即為螞蟻在沿最短距離爬行時,與上底圓周上的點的最小距離。事實上,設D'E'為所求的最小距離,則PE'+D'E'≥PD'≥PD=PE+ED=PE'+ED,所以D'E'≥ED。這表明,所求的最小距離為ED=4。

三、立體幾何中圓柱、圓錐、多面體和球的問題

例3 如圖12,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為的值是____。

圖12

解析：依題意,球O內(nèi)切于圓柱O1O2,所以圓柱上下底面的半徑等于球的半徑,可設半徑為R,而圓柱的高也等于球的直徑。由圓柱體的體積公式得V1=πR2×2R=2 πR3。由球的體積公式得。所以

探究本題根源：在人教A版教科書《必修2》“1.3.2球的體積和表面積”例4中出現(xiàn)了圓柱的內(nèi)切球和圓柱體積比值的問題,可以把題型延伸到球與多面體、圓錐、圓柱外接和內(nèi)切的問題。此類題型在高考中多以填空題或選擇題的形式出現(xiàn),解題的關(guān)鍵在于抓住球心到多面體各個頂點的距離都相等,大多是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題進行解決。

同類題型：

1.在底面半徑為2,母線長為2的圓錐內(nèi)有一個高為1的內(nèi)接圓柱,則該圓柱的外接球的表面積為____。

解析：圓柱內(nèi)接于圓錐時,由于對稱性,畫出過圓錐頂點和底面直徑的剖面圖,如圖13所示,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決。

圖13