全國(guó)高考數(shù)學(xué)解答題答題規(guī)范及得分要領(lǐng)系列講座（1）
———三角、數(shù)列、立體幾何

■北京市第十二中學(xué) 高慧明

一、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,然后向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖像,求函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。為,所以T=π,所以ω=1,所以f(x)=

因?yàn)閒(x)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離

(2)f(x)經(jīng)過(guò)變換可得,解2kπ,k∈Z。

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

建構(gòu)答題模板：第一步,利用輔助角公式將f(x)化成y=Asin(ω x+φ)的形式。

第二步,根據(jù)三角函數(shù)的和差公式求三角函數(shù)值。

第三步,將“ω x+φ”看作一個(gè)整體,確定f(x)的性質(zhì)。

第四步,查看角的范圍的影響,評(píng)價(jià)任意結(jié)果的合理性,檢查步驟的規(guī)范性。

高考評(píng)分細(xì)則：(1)化簡(jiǎn)f(x)的過(guò)程中,誘導(dǎo)公式和二倍角公式的使用各給1分;如果只有最后結(jié)果沒有過(guò)程,則給1分;最后結(jié)果正確,但缺少上面的某一步過(guò)程,不扣分。

(2)計(jì)算cosα?xí)r,算給1分;由計(jì)算時(shí)沒有考慮α的范圍扣1分。

(3)第(2)問(wèn)直接寫出x的不等式?jīng)]有過(guò)程扣1分;最后結(jié)果不用區(qū)間表示不給分;區(qū)間表示式中不標(biāo)出k∈Z不扣分;沒有2kπ的不給分。

二、解三角形

例2 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c。已知

(1)求b的值;

(2)求△ABC的面積。

審題思路：(1)利用同角公式、誘導(dǎo)公式求得sin

A,sinB,再利用正弦定理求b。

(2)方法一：由余弦定理求出邊c,再利用求面積;

方法二：由和角正弦公式求出sinC,再利用求面積。

規(guī)范解答：(1)在△ABC中,由題意知,

建構(gòu)答題模板：第一步,尋找三角形中已知的邊和角,確定轉(zhuǎn)化方向。

第二步,根據(jù)已知條件和轉(zhuǎn)化方向,選擇使用的定理和公式,實(shí)施邊角之間的轉(zhuǎn)化。

第三步,根據(jù)前兩步分析,代入求值得出結(jié)果。

第四步,轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意轉(zhuǎn)化的方向,審視結(jié)果的合理性。

高考評(píng)分細(xì)則：(1)沒求sinA而直接求出sinC,利用計(jì)算,同樣得分。出sin

B的值,不扣分;寫出正弦定理,但b計(jì)算錯(cuò)誤,得1分。

(2)寫出余弦定理,但c計(jì)算錯(cuò)誤,得1分;求出c的兩個(gè)值,但沒舍去,扣2分;面積公式正確,但計(jì)算錯(cuò)誤,只給1分;若求

三、數(shù)列的通項(xiàng)與求和問(wèn)題

例3表1所示的是一個(gè)由n2個(gè)正數(shù)組成的數(shù)表,用ai j表示第i行第j個(gè)數(shù)(i,j∈N*)。已知數(shù)表中第一列各數(shù)從上到下依次構(gòu)成等差數(shù)列,每一行各數(shù)從左到右依次構(gòu)成等比數(shù)列,且公比都相等。已知a11=1,a31+a61=9,a35=48。

表1

(1)求an1和a4n;

規(guī)范解答：(1)設(shè)第一列依次組成的等差數(shù)列的公差為d,每一行依次組成的等比數(shù)列的公比為q。依題意a31+a61=(1+2d)+(1+5d)=9,所以d=1,所以an1=a11+(n-1)d=1+(n-1)×1=n。

因?yàn)閍31=a11+2d=3,所以a35=a31·q4=3q4=48,即q4=16。

因?yàn)閝＞0,所以q=2。又因?yàn)閍41=4,所以a4n=a41qn-1=4×2n-1=2n+1。

審題思路：數(shù)表中項(xiàng)的規(guī)律→確定an1

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

建構(gòu)答題模板：第一步,根據(jù)已知條件確定數(shù)列中各項(xiàng)之間的關(guān)系。

第二步,根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用累加法或累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

第三步,根據(jù)數(shù)列表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法(常用的有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組法等)。

第四步,寫步驟。

第五步,檢查求和過(guò)程中各項(xiàng)的符號(hào)有無(wú)錯(cuò)誤,用特殊項(xiàng)估算結(jié)果。

高考評(píng)分細(xì)則：(1)求出d給1分,求an1時(shí)寫出公式但計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤給1分;求q時(shí)若沒寫q＞0扣1分。

(2)對(duì)bn寫出正確結(jié)果給1分,正確進(jìn)行裂項(xiàng)再給1分。

(3)缺少對(duì)bn的變形直接計(jì)算Sn,只要結(jié)論正確不扣分。

(4)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),求Sn時(shí)中間過(guò)程缺一步不扣分。

四、空間中的平行與垂直關(guān)系

例4 如圖1,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F,H分別為AB,PC,BC的中點(diǎn)。

(1)求證：EF∥平面PAD;

(2)求證：平面PAH⊥平面DEF。

圖1

審題思路：(1)條件中各線段的中點(diǎn)取PD的中點(diǎn)平行四邊形EF∥平面PAD。

(2)平面PAD⊥平面平面ABCD→PA⊥DE

規(guī)范解答：(1)如圖2,取PD的中點(diǎn)M,連接FM,AM。

在△PCD中,F,M分別為PC,PD的中點(diǎn),所以FM∥CD且AE∥CD且

圖2

所以AE∥FM且AE=FM,則四邊形AEFM為平行四邊形,所以AM∥EF。

因?yàn)镋F?平面PAD,AM?平面PAD,所以EF∥平面PAD。

(2)因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD。

因?yàn)镈E?底面ABCD,所以DE⊥PA。

因?yàn)镋,H分別為正方形ABCD中的邊AB,BC的中點(diǎn),所以 R t△ABH≌R t△DAE,則 ∠BAH= ∠ADE,所 以∠BAH+∠AED=90°,所以DE⊥AH。

因?yàn)镻A?平面PAH,AH?平面PAH,PA∩AH=A,所以DE⊥平面PAH。

因?yàn)镈E?平面EFD,所以平面PAH⊥平面DEF。

在正方形ABCD中,

建構(gòu)答題模板：第一步,通過(guò)三角形的中位線、平行四邊形尋找線線平行或線線垂直。

第二步,通過(guò)線線垂直或平行,利用判定定理,找線面垂直或平行,也可由面面關(guān)系的性質(zhì)找線面垂直或平行。

第三步,通過(guò)面面關(guān)系的判定定理,尋找面面垂直或平行。

第四步,嚴(yán)格按照定理中的條件規(guī)范書寫解題步驟。

高考評(píng)分細(xì)則：(1)證出AE與FM平行且相等給2分;通過(guò)AM∥EF證線面平行時(shí),缺1個(gè)條件扣1分;利用面面平行證明EF∥平面PAD同樣給分。

(2)證明PA⊥底面ABCD時(shí)缺少條件扣1分;證明DE⊥AH時(shí)只要指明E,H分別為正方形中的邊AB,BC的中點(diǎn)得DE⊥AH不扣分;證明DE⊥平面PAH只要寫出DE⊥AH,DE⊥PA就不扣分。

五、空間角的計(jì)算問(wèn)題

例5 如圖3,AB是圓O的直徑,C是圓O上異于A,B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DC垂直于圓O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4。

圖3

(1)求證：DE⊥ 平面ACD;

(2)若AC=BC,求平面AED與平面ABE所成的銳二面角的余弦值。

審題思路：(1)由已知條件證明DC⊥BC,AC⊥BC→BC⊥平面ACD,DC■EB→?BCDE→DE∥BC→DE⊥平面ACD。

(2)CA,CB,CD兩兩垂直→建立空間直角坐標(biāo)系→寫各點(diǎn)坐標(biāo)→求平面AED與平面ABE的法向量→將所求二面角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角。

規(guī)范解答：(1)因?yàn)镈C⊥平面ABC,而BC?平面ABC,所以DC⊥BC。又AB是☉O的直徑,C是☉O上異于A,B的點(diǎn),所以AC⊥BC。又AC∩DC=C,AC,DC?平面ACD,所以BC⊥平面ACD。又DC∥EB,DC=EB,故四邊形BCDE是平行四邊形,所以DE∥BC。所以DE⊥平面ACD。

(2)在R t△ACB中,AB=4,AC=BC,所以

如圖4,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則

圖4

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為

令x1=1,得

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為

令x2=1,得n2=(1,1,0)。

建構(gòu)答題模板：第一步,找出(或作出)具有公共交點(diǎn)的三條兩兩垂直的直線。

第二步,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出特征點(diǎn)的坐標(biāo)。

第三步,求直線的方向向量或平面的法向量。

第四步,計(jì)算向量的夾角。

第五步,得到所求兩個(gè)平面所成的角或直線和平面所成的角。

高考評(píng)分細(xì)則：(1)證明DC⊥BC和AC⊥BC各給1分,證明DE∥BC給1分,證明BC⊥平面ACD時(shí)缺少AC∩DC=C,AC,DC?平面ACD,不扣分。

(2)建系給1分,兩個(gè)法向量求出1個(gè)給2分,沒有最后結(jié)論扣1分,法向量取其他形式同樣給分。