轉(zhuǎn)動切割型感應(yīng)電動勢表達(dá)式的推導(dǎo)和應(yīng)用

■河南省許昌高級中學(xué) 李瑞珍

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,若磁場不變,導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場中繞平行于磁場方向的軸,以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動,則產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的表達(dá)式為下面通過對這個表達(dá)式的推導(dǎo),幫助同學(xué)們更好地理解這個表達(dá)式并在實(shí)際解題中靈活應(yīng)用。

一、轉(zhuǎn)動切割型感應(yīng)電動勢表達(dá)式的推導(dǎo)

如圖1所示,在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中,有一長為L的直導(dǎo)體棒a b,設(shè)導(dǎo)體棒繞位于a點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸以角速度ω沿順時針方向勻速轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸與磁場方向平行。求導(dǎo)體棒a、b兩端間的電動勢。

圖1

方法1：運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)。

導(dǎo)體棒a b不閉合,當(dāng)它在勻強(qiáng)磁場中繞軸勻速轉(zhuǎn)動時,為了運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小,需要假想一條導(dǎo)線(圖2中虛線a c b)與導(dǎo)體棒a b組成閉合電路。

圖2

圖3

設(shè)導(dǎo)體棒a b在Δt時間內(nèi)轉(zhuǎn)動到a b'位置,如圖3所示,則閉合電路a c b a內(nèi)的磁通量在Δt時間內(nèi)的增量等于閉合扇形a b'b a內(nèi)的磁通量,即閉合電路a c b a在Δt時間內(nèi)的磁通量的變化量等于導(dǎo)體棒a b在Δt時間內(nèi)繞位于a點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動所掃過的面積的磁通量。設(shè)導(dǎo)體棒a b在Δt時間內(nèi)轉(zhuǎn)過Δθ角,則Δθ=ωΔt,掃過的面積為L2Δθ,對應(yīng)的磁通量的變化量ΔΦ=B L2Δθ,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得導(dǎo)體棒a、b兩端間的電動勢

方法2：利用導(dǎo)體棒切割磁感線時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢結(jié)論E=Blv,結(jié)合“平均速度法”推導(dǎo)。

當(dāng)導(dǎo)體棒a b在勻強(qiáng)磁場中繞一端點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動切割磁感線時,導(dǎo)體棒a b上各點(diǎn)的線速度與半徑大小成正比,導(dǎo)體棒的中點(diǎn)位置速度等于導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動的“平均速度”,因此切割速度取,產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢

結(jié)論：(1)勻強(qiáng)磁場中轉(zhuǎn)動切割型(轉(zhuǎn)軸與磁場方向平行)感應(yīng)電動勢的表達(dá)式為在國際單位制中,ω、B、L的單位分別是弧度每秒(r a d/s)、特斯拉(T)、米(m),E的單位是伏特(V)。

(2)轉(zhuǎn)動切割型感應(yīng)電動勢表達(dá)式E=和在本質(zhì)上是統(tǒng)一的。當(dāng)導(dǎo)體棒做轉(zhuǎn)動切割磁感線運(yùn)動時,用E=求E比較方便；當(dāng)穿過電路的磁通量發(fā)生變化時,用求E比較方便。

二、轉(zhuǎn)動切割型感應(yīng)電動勢表達(dá)式的應(yīng)用

1.應(yīng)用轉(zhuǎn)動切割型感應(yīng)電動勢的表達(dá)式求解繞軸轉(zhuǎn)動的導(dǎo)體棒部分處于勻強(qiáng)磁場中時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢。

例1如圖4所示,圓環(huán)形勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,O點(diǎn)為磁場區(qū)域的圓心,磁場區(qū)域的內(nèi)、外半徑分別為r1和r2。當(dāng)導(dǎo)體棒OA繞O點(diǎn)在紙面內(nèi)以恒定角速度ω沿順時針方向勻速轉(zhuǎn)動時,導(dǎo)體棒O、A兩端間的電動勢為( )。

圖4

解法1：運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律求解。

在Δt時間內(nèi),導(dǎo)體棒在磁場中掃過的面積Δt,對應(yīng)的磁通量的變化量ΔΦ=B·ΔS=產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=

解法2：運(yùn)用轉(zhuǎn)動切割型感應(yīng)電動勢的結(jié)論求解。

導(dǎo)體棒在磁場中的有效切割長度L=r2-r1。導(dǎo)體棒繞O點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動,棒上各點(diǎn)的線速度與半徑大小成正比,故導(dǎo)體棒的中點(diǎn)速度等于平均速度,即產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢r21)。

答案：A

點(diǎn)評：兩種解法在本質(zhì)上是一樣的。解法1的關(guān)鍵是要先假想一個面積,確定磁通量的變化量,再求解電動勢；解法2比較簡潔,關(guān)鍵是找準(zhǔn)有效切割長度和磁場中那部分導(dǎo)體棒的平均速度。

2.應(yīng)用轉(zhuǎn)動切割型感應(yīng)電動勢的表達(dá)式求解曲線型導(dǎo)體棒繞軸勻速轉(zhuǎn)動切割磁感線時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢。

例2如圖5所示,把一根細(xì)導(dǎo)線彎成直徑為d的半圓形A C置在勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于導(dǎo)線所在平面。當(dāng)導(dǎo)線繞著A點(diǎn)垂直于磁場沿逆時針方向以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時,導(dǎo)線A、C兩端間的電動勢為( )。

圖5

A.ω B d2B

解析：如圖6所示,假設(shè)有一直線連接A、C,則A C連線與半圓形A E C構(gòu)成一個閉合的線圈,在旋轉(zhuǎn)的時候穿過線圈平面內(nèi)的磁通量不變,感應(yīng)電動勢為0,因此A C連線切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與半圓形A E C切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢相同。這樣就可以把求半圓形A E C切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢轉(zhuǎn)化為求A C連線切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢,利用轉(zhuǎn)動切割型感應(yīng)電動勢表達(dá)式得

圖6

答案：B

點(diǎn)評：本題通過假設(shè)一個導(dǎo)體棒,而設(shè)置一個虛擬過程,將兩個導(dǎo)體的電動勢聯(lián)系起來,從而實(shí)現(xiàn)了把一個復(fù)雜的物理情景轉(zhuǎn)化為一個簡單的物理情景的目的。

3.應(yīng)用轉(zhuǎn)動切割型感應(yīng)電動勢的表達(dá)式求解導(dǎo)體棒以棒上某點(diǎn)為軸勻速轉(zhuǎn)動切割磁感線時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢。

例3如圖7所示,虛線兩側(cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,方向相反,將電阻為R的導(dǎo)線彎成頂角為90°,半徑為r的兩個扇形組成的電路,O為圓心,整個電路可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動。若電路由圖示的位置開始沿順時針方向以角速度ω轉(zhuǎn)動,則在一個周期內(nèi)電路消耗的電能是( )。

圖7

解析：電路中a d邊和b c邊分別繞O點(diǎn)沿順時針方向轉(zhuǎn)動,O點(diǎn)位于導(dǎo)體棒的中點(diǎn),這樣就有四個半徑在切割磁感線,每個半徑可看成一個電源,電路中有四個電源。從圖示位置開始計時,電路轉(zhuǎn)動的一個周期T=根據(jù)右手定則可以判斷出,在時間內(nèi),兩個直徑導(dǎo)線上產(chǎn)生的兩個感應(yīng)電動勢方向相反,電路中沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生；在時間內(nèi),四個半徑導(dǎo)線上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的方向一致,電路中有感應(yīng)電流產(chǎn)生,產(chǎn)生的總感應(yīng)電動勢因此在一個周期內(nèi)電路消耗的電能

答案：C

點(diǎn)評：當(dāng)導(dǎo)體棒以棒上某點(diǎn)為軸勻速轉(zhuǎn)動切割磁感線時,會同時出現(xiàn)兩個感應(yīng)電動勢,這時要用右手定則判斷兩個感應(yīng)電動勢的方向。若利用這個電源為電路供電,或者判斷導(dǎo)體棒兩個端點(diǎn)的電勢差,則要分析兩個電動勢是否同向,再求代數(shù)和。

1.一直升飛機(jī)停在南半球的地磁極上空。該處地磁場的方向豎直向上,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。直升飛機(jī)螺旋槳葉片的長度為l,螺旋槳轉(zhuǎn)動的頻率為f,順著地磁場的方向看螺旋槳,螺旋槳沿順時針方向轉(zhuǎn)動。螺旋槳葉片的近軸端為a,遠(yuǎn)軸端為b,如圖8所示。如果忽略a到轉(zhuǎn)軸中心線的距離,用E表示每個葉片中的感應(yīng)電動勢,則( )。

圖8

A.E=πf l2B,a點(diǎn)電勢低于b點(diǎn)電勢

B.E=2 πf l2B,a點(diǎn)電勢低于b點(diǎn)電勢

C.E=πf l2B,a點(diǎn)電勢高于b點(diǎn)電勢

D.E=2 πf l2B,a點(diǎn)電勢高于b點(diǎn)電勢

2.如圖9所示為兒童玩具發(fā)光竹蜻蜓(在飛起時能夠發(fā)光)的電路簡化圖,半徑為L的金屬圓環(huán)繞垂直于圓環(huán)平面、通過圓心O的金屬軸O1O2以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動,圓環(huán)上接有電阻均為r的三根導(dǎo)電輻條O P、O Q、O R,輻條互成120°角。在圓環(huán)內(nèi),圓心角為120°的扇形區(qū)域內(nèi)存在垂直于圓環(huán)平面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場,在轉(zhuǎn)軸O1O2與圓環(huán)的邊緣之間通過電刷M、N與一個L E D燈(可看成二極管,發(fā)光時,電阻為r)連接。圓環(huán)及其他電阻不計,從圖示的輻條O P、O Q位于磁場邊界位置開始計時。下列說法中正確的是( )。

圖9

A.順著磁感線方向看,當(dāng)圓環(huán)繞O1O2軸沿順時針方向旋轉(zhuǎn)時,可以使L E D燈發(fā)光

B.在不改變玩具結(jié)構(gòu)的情況下,可以通過增大圓盤轉(zhuǎn)動的角速度來使L E D燈發(fā)光時更亮

C.在圓環(huán)轉(zhuǎn)過60°的過程中(能使L E D燈發(fā)光),通過L E D燈的電流為

參考答案：1.A 2.B D