論數(shù)學核心素養(yǎng)及其教學：基于知識維度視角

陳齊榮1，馮傳平

(1.上饒師范學院 數(shù)學與計算機科學學院，江西 上饒 334001；2.土塘中學，江西 都昌 332611)

“核心素養(yǎng)”“學生發(fā)展核心素養(yǎng)”“學科核心素養(yǎng)”已成為我國基礎教育改革“縱深推進”的標志性詞匯。有關研討、論壇等會議，研究者引用最多、使用頻率最高的莫過于，“核心素養(yǎng)”是學生“走出校門后，把學校里學的知識全部忘記，剩下的東西”。筆者對此深感疑惑有三：一是學生走出校門后，學校里學習的知識全部忘記了嗎？其二，走出校門后，剩下了什么東西，難道剩下的就全都是核心素養(yǎng)嗎？其三，“知識”與“核心素養(yǎng)”之間難道是二元對立嗎？

核心素養(yǎng)時代，知識的學習同樣具有重要價值。沒有知識，教師還能教什么？沒有了知識做支撐，教材的文本如何敘寫？毫無疑問，學生核心素養(yǎng)的生成必須依托于知識，知識是素養(yǎng)生成的源泉，教學是基于知識進行的。沒有知識，教學無從談起，學生核心素養(yǎng)的生成也就成了一句空話。因此，與其脫離知識來談核心素養(yǎng)，倒不如靜下來思考：落實核心素養(yǎng)，我們需要什么樣的知識？核心素養(yǎng)與知識之間存在怎樣的關系？什么樣的知識教學才能生成核心素養(yǎng)？因此，立足于知識維度視角，對上述問題展開討論就有了理論價值和現(xiàn)實意義。

1 知識與知識維度

1.1 廣義知識觀

什么是知識？知識由哪些維度構成？廣義的知識觀來源于哲學領域，屬于認識論范疇。歷史地看，人們對于知識的理解至少存在四種觀點。

一是唯理論的知識觀，其核心觀點是強調知識的客體化、純粹化，以柏拉圖、笛卡爾為代表人物。柏拉圖認為真正知識的源泉是不依賴于實物而獨立存在的理念。笛卡爾認為感覺經驗并不是真正的知識，“我思維，我存在”，真正的知識是“天賦觀念”，其純粹理智而客觀。二是經驗論的知識觀，以洛克、培根為代表，其核心觀點是強調知識的感官世界和主觀經驗。洛克認為感覺、經驗最可靠、是一切知識的源泉，經驗是所有知識的根基，人們要想獲得真正的知識，必須從經驗世界中歸納、抽象出一般性的結論，真正的知識就是對客觀世界的忠實反映。三是調和的知識觀，以康德、皮亞杰等為代表?？档抡J為，經驗論與唯理論都存在各自的片面性，唯理論遠離感性對象的實際，但又從主觀的“天賦觀念”構造出關于整個世界本質的藍圖，而經驗論則極力摭拾零碎片斷、偶然性的經驗事實，企圖對知識問題作出高出經驗層次的實質性論斷，結果“事與愿違，甚至南轅北轍”。由此，康德主張經驗論與唯理論合二為一，并對知識來源與構成重新詮釋，主張“一切知識都是從經驗開始，卻不表明我們的知識都產生自經驗”。皮亞杰主張人的認識是建構過程，認識主體在同化認識客體，建構、豐富客觀世界內容的同時，也豐富和擴展了主體的認知結構。四是旨趣論的知識觀，哈貝馬斯認為旨趣是認知不可或缺的重要條件之一，知識的產生、創(chuàng)造源自于旨趣，旨趣先于認識并指導認識，并以此作為知識創(chuàng)生的動力學基礎。

1.2 知識維度

源自對世界的主、客觀認知，人們將知識分為社會科學、自然科學兩大知識體系。學科與知識密不可分，學科是知識分化的結果。那么，學科知識由哪些要素構成呢？

安德森將知識分為陳述性知識和程序性知識，即“是什么”的知識和有關“怎么做”的知識。修訂版的布盧姆認知教育目標分類學中將學生學習的知識分為事實、概念、程序和元認知等四類[1]。事實性知識是指某一學科中的術語、具體細節(jié)和要素的知識，其表現(xiàn)為孤立化、片段化；概念性知識是指反映要素之間關系的知識，包括原理、模型、結構等，具有概括化、結構化特征；程序性知識是指“如何做事的知識”；元認知知識是關于一般認知的知識及關于自我認知的知識，包括策略、任務情景和自我認知的知識等。吳剛平根據(jù)“三維目標”的思路，基于學生獲得知識視角，把課堂教學知識分為事實、方法和價值等三類[2]。季蘋認為任何具體的知識點都可以分為由低到高四個層面和與之對應的四個水平[3]。

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的學科，數(shù)學知識源自現(xiàn)實世界的抽象，基于抽象結構，借助于模型構建、直觀想象、邏輯推理、符號運算等，得到反映事物本質、關系和規(guī)律的成果。概念是數(shù)學知識體系中的基本元素，數(shù)學知識體系始于數(shù)學概念的構建，概念與概念之間通過某種聯(lián)系形成了數(shù)學命題，概念與概念、概念與命題、命題與命題的內在關系，構成了數(shù)學知識結構。例如，“數(shù)及其運算”，人們把現(xiàn)實生活中的數(shù)量抽象出數(shù)，形成自然數(shù)，用數(shù)字和數(shù)位進行表示，得到了自然數(shù)集；生活中數(shù)量關系的多與少，演變?yōu)閿?shù)的大與小，由數(shù)的大小度量產生了自然數(shù)的加法，由加法的逆運算產生了減法，由加法的簡便運算便產生了乘法，由乘法的逆運算產生除法；為保證減法運算的封閉性，自然數(shù)集就擴張到整數(shù)集，為保證除法運算的封閉性，整數(shù)集就擴張到有理數(shù)集……。作為數(shù)學知識構成的基本單元，數(shù)學概念不是憑空產生的，呈現(xiàn)在人們面前的數(shù)學概念只不過是其符號的表征方式而已，隱藏在概念符號表征背后的“動機”“思想”“方法”才是數(shù)學概念產生的真正“幕后推手”。任何數(shù)學知識都包括符號表征、思想方法以及數(shù)學旨趣三個維度。

數(shù)學符號表征維度是指數(shù)學知識外在的表現(xiàn)方式，具有顯性特征，以獨有的符號語言、圖形圖像語言以及自然語言得以詮釋；數(shù)學思想方法是指數(shù)學知識符號表征創(chuàng)生背后的思考方式與行為方式，具有隱形特征；數(shù)學旨趣是指知識創(chuàng)生過程中所涉及的情感因素，貫穿于知識創(chuàng)生的整個過程。數(shù)學知識三維度是兼具線性、層級、層核的三重結構。首先，從數(shù)學知識創(chuàng)生的過程來看，人們借助于數(shù)學旨趣為導向，再通過恰當?shù)乃枷敕椒ǎ詈蟮玫搅藬?shù)學知識符號表征的線性結構。其次，從知識創(chuàng)生的結果來看，數(shù)學知識則是由處在底層的符號表征、中間層的思想方法和頂層的數(shù)學旨趣的層級結構構成。最后，從知識創(chuàng)生結果的認知過程來看，個體從知識的符號表征開始，直至掌握其背后所隱含的思想方法，無不貫穿著認知個體內在的數(shù)學旨趣，因此數(shù)學知識三維度又是一種層核結構。

2 數(shù)學核心素養(yǎng)

2.1 數(shù)學核心素養(yǎng)概念的主流觀點

數(shù)學核心素養(yǎng)概念內涵、外延可謂仁者見仁、智者見智、眾說紛紜，尚未形成一致看法。其中，“三會”說、“要素”說、“層次”說是當前較為主流觀點?！叭龝闭f認為，“會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界”是數(shù)學核心素養(yǎng)的本質[4]?！耙亍闭f認為數(shù)學核心素養(yǎng)包括直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等要素構成[5]?！皩哟巍闭f則認為數(shù)學核心素養(yǎng)是一個由“數(shù)學雙基”“問題解決”“數(shù)學思維”“數(shù)學精神”由低到高的四層體系[6]。

認識存在的諸多分歧，反映了數(shù)學核心素養(yǎng)概念的籠統(tǒng)性、復雜性?！叭龝闭f站在哲學高度概括出數(shù)學核心素養(yǎng)的本質和精髓，但概念內涵高度濃縮、抽象，讓人覺得“高不可攀”，缺乏實踐操作性，數(shù)學核心素養(yǎng)落實困難?！耙亍闭f基于數(shù)學學科的本質特征，將數(shù)學核心素養(yǎng)細化為幾個具體的“核心要素”，從概念外延來界定數(shù)學核心素養(yǎng)，雖具有較好的實踐性，但這些“要素”實際上就是數(shù)學“關鍵能力”，忽視了“必備品格”，因此，“顧此”而“失彼”式的外延定義并不符合概念定義的基本規(guī)則。“層次”說從宏觀層面描繪了學生數(shù)學核心素養(yǎng)塑造的漸進性與長期性，為數(shù)學核心素養(yǎng)有序落實提供了依據(jù)。毫無疑問，數(shù)學核心素養(yǎng)必須落地在課堂教學，而課堂教學是基于知識進行的。因此，基于數(shù)學知識維度視角來界定數(shù)學核心素養(yǎng)，數(shù)學核心素養(yǎng)才具有真正意義上的“可教”“可學”，甚至“可測”。

2.2 數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學知識的內在關聯(lián)

眾所周知，“工具”和“文化”是數(shù)學知識的兩大基本品性，依據(jù)學生發(fā)展核心素養(yǎng)的外延定義[7]，核心素養(yǎng)包括“必備品格”和“關鍵能力”，數(shù)學核心素養(yǎng)概念可以界定為通過數(shù)學知識的學習而逐步形成的“必備品格”和“關鍵能力”。數(shù)學核心素養(yǎng)的“關鍵能力”“必備品格”與數(shù)學知識的“工具品性”“文化品性”之間存在對應關系。

一方面，數(shù)學潛移默化地影響人們的思維和行為方式，并為其提供工具支撐。數(shù)學的工具性反映了數(shù)學知識作為工具使用的數(shù)學思想與方法，學生通過數(shù)學知識的思想、方法的習得而形成關鍵能力。以往的數(shù)學教學大綱，現(xiàn)行的課程標準，關鍵能力是數(shù)學知識教學目的之一。1963年《全日制中學數(shù)學教學大綱》首次將學生“計算”“邏輯推理”“空間想象”等三大能力的培養(yǎng)作為中學數(shù)學教學目的，1978年《全日制十年制學校中學數(shù)學教學大綱》將“計算”“邏輯推理”作了適度修正，提出了修正版的三大能力，1986年的《全日制中學數(shù)學教學大綱》、1988年的《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱》、1996年的《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》等都沿用了新三大能力。2003年實驗版的《普通高中數(shù)學課程標準》增加了“抽象概括”“數(shù)據(jù)處理”能力，將傳統(tǒng)的三大能力擴展為五大能力。2017年修訂版的《普通高中數(shù)學課程標準》新增“數(shù)學建?！蹦芰Γ纬闪酥庇^想象、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等六大能力，并以此作為“數(shù)學核心素養(yǎng)”的“核心”要素。

另一方面，數(shù)學又是理性精神的化身，深刻影響著人們觀念、精神及思維方式的養(yǎng)成。數(shù)學的文化性貫穿著數(shù)學知識產生、形成與發(fā)展的全過程，既是數(shù)學知識創(chuàng)生的動力基礎，又是數(shù)學知識賴以存在的精神內核。數(shù)學知識的文化性潛移默化地影響著學生必備品格的養(yǎng)成。盡管“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)”首次提出“必備品格”，歷史地看，“必備品格”是數(shù)學知識教學所倡導的。不同的歷史階段，“必備品格”具有不同的內涵和價值。1952年《中學數(shù)學教學大綱》強調要培養(yǎng)學生“辯證唯物主義世界觀、新愛國主義及民族自尊心，鍛煉堅強意志和性格”。1978年《全日制十年制學校中學數(shù)學教學大綱》提出通過數(shù)學教學要“進行思想政治教育，激勵學好數(shù)學的革命熱情，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點”。1986年《全日制中學數(shù)學教學大綱》明確要培養(yǎng)學生“對數(shù)學的興趣，激勵學好數(shù)學的積極性，培養(yǎng)科學態(tài)度和辯證唯物主義觀點”?！陡咧袛?shù)學課程標準》對“必備品格”用詞更為豐富，如，數(shù)學課程要“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”“美學價值”“數(shù)學家的創(chuàng)新精神”，把“情感、態(tài)度與價值觀”作為課程標準三方面目標要求之一，并描述了其水平和行為動詞；數(shù)學教學要關注學生“在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感態(tài)度的變化”“數(shù)學核心素養(yǎng)是……以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)”。

綜上，數(shù)學核心素養(yǎng)的關鍵能力和必備品格分別反映了數(shù)學知識的思想方法維度和數(shù)學旨趣維度，即由領悟數(shù)學思想方法錘煉學生的關鍵能力，由感受、內化數(shù)學旨趣而形成必備品格。因此數(shù)學知識與數(shù)學核心素養(yǎng)之間具有內在一致性，兩者原本就渾然一體、不可分割。

3 指向數(shù)學核心素養(yǎng)的知識教學

3.1 數(shù)學知識的完整化教學

指向數(shù)學核心素養(yǎng)的知識教學，是基于完整知識觀的教學。旨在通過知識符號表征背后的思想方法錘煉關鍵能力、數(shù)學旨趣養(yǎng)成必備品格，從而促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。指向數(shù)學核心素養(yǎng)的知識教學是完整知識結構的教學，是知識結構的完整化教學，不是知識的碎片化教學。核心素養(yǎng)倡導的是“知識團”“主題式”“模塊化”教學。踐行知識的完整化教學，是由知識本身的內在要求所決定的。

首先，從宏觀角度看，數(shù)學知識體系本身就是由知識之間內在聯(lián)系所聯(lián)結而成的整體，數(shù)學知識是一個完整的、不斷生成的動態(tài)序列，而不是一個個彼此孤立、碎片化的數(shù)學概念或數(shù)學命題。教學中，教師不應該孤立地傳遞、講授或解釋一個個知識點。而是要站在整個數(shù)學知識結構體系中來考察各個知識點的內在關聯(lián)及邏輯關系，創(chuàng)設相關條件，讓此知識由彼知識“推演”而出，讓一個知識點關聯(lián)和包蘊在與之相關的其它知識點之中，從而體現(xiàn)數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展脈絡。

其次，從微觀角度看，任何數(shù)學知識點都由其符號、方法與旨趣組成的三維一體的完整結構，不能人為割裂、顧此而失彼。如果把整個知識比作整座冰山的話，數(shù)學知識的“符號表征”則是作為整個知識“冰山”中的露出水面的顯性部分。但浮在水面上的不過是“冰山”的一角，而隱藏在水面下的“冰山”部分的“思想方法”與“數(shù)學旨趣”則是“符號表征”的支撐。因此，數(shù)學知識的教學不僅僅只是教材上“顯而易見”的數(shù)學知識符號的傳授，還包括“不易洞察”的思想方法、數(shù)學旨趣的體驗與領悟。

3.2 數(shù)學知識的深度化教學

指向數(shù)學核心素養(yǎng)的知識教學是兼具知識工具品性與文化品性的深度化教學。數(shù)學知識教學旨在將數(shù)學知識的“思想方法”轉化為學生的“關鍵能力”，將“知識旨趣”轉化為“必備品格”，從而發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。因此，教學就不能只停留在符號表征的淺表層，還必須帶領學生進入數(shù)學知識的內核層，即直達數(shù)學“思想方法”及“數(shù)學旨趣”的深度化教學，充分體現(xiàn)數(shù)學知識的工具品性和文化品性。深度化教學不是追求知識內容的難度和復雜度，而是通過豐富教學的層次，實現(xiàn)知識教學的豐富價值，凸顯數(shù)學知識的本質。

高中數(shù)學“復數(shù)”知識的教學，普遍認為，“復數(shù)”是比較“容易教”的“難點”知識?！叭菀捉獭敝饕w現(xiàn)在復數(shù)知識的符號表征及其符號運算等具體算法上，學生易理解、掌握；而如何讓學生明白隱藏在算法背后算理、思想、方法以及學生形成“火熱”思考的數(shù)學旨趣則成為教學中的難點問題。

傳統(tǒng)教學大致是，通過類比有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程，給出一元二次方程x2+1=0求解中“無實數(shù)解”的問題，需要引入新數(shù)，即虛數(shù)i并進行數(shù)系的擴充，爾后講授復數(shù)的代數(shù)表示及其四則運算。然而，這樣的教學既不合邏輯、又未尊重歷史，無法到達知識的思想及意義領域。首先，概念導入呈現(xiàn)的方程x2+1=0缺乏相關背景作支撐，方程既然無解，為什么需要求解呢？學生“一頭霧水”，自然也就缺乏了數(shù)學探究的內在旨趣；其次，復數(shù)是一個二元數(shù)，其加法本質對應于平面向量的加法，而乘法本質則是平面向量的旋轉和伸縮的疊加，代數(shù)表示的四則運算的算理過于牽強，無法體現(xiàn)復數(shù)運算的本質意義及思想方法，這樣的知識教學無法帶領學生進入數(shù)學學科知識的內核。

因此復數(shù)的教學需要還原復數(shù)知識產生的本源，經復演意大利數(shù)學家邦貝利求解三次方程x3=15x+4場景，借助于卡丹公式，產生方程求解的悖論，通過學生重走數(shù)學家“火熱”思考探索之路，形成發(fā)自內心的、強烈的數(shù)學旨趣，通過數(shù)學的文化品性，塑造學生數(shù)學學科的必備品格。然后通過物理學中平面內質點的旋轉運動現(xiàn)象，構造描述旋轉運動中質點的復數(shù)模型，滲透建模思想，凸顯數(shù)學的工具品性。最后通過模型幾何變換、對應表示的分析，體現(xiàn)復數(shù)運算的本質內涵，帶領學生深入知識符號背后，挖掘復數(shù)運算的原理及價值，從而超越淺表層教學的桎梏，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

4 結語

總之，只有全面認識數(shù)學知識的內涵，深入把握數(shù)學知識與數(shù)學核心素養(yǎng)內在關系，凸顯知識本質的教學，從數(shù)學知識的“符號”維度走向其工具性的“思想方法”維度、走向其文化性的“旨趣”維度，學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)才能落地生根。