試論化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

周強(qiáng)鋒

【摘要】在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，巧妙地運(yùn)用化歸思想，能夠?qū)⑸願(yuàn)W、復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化、明朗化，進(jìn)而方便學(xué)生逐層求解，大大提高了解題效率和準(zhǔn)確率?；诖耍榻B了化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以期為一線教師的教學(xué)工作提供理論指導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】化歸思想高中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)策教師在授課過(guò)程中，為了讓學(xué)生順利地掌握化歸思想，首先要重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，包括數(shù)學(xué)概念、定理、公式，以及知識(shí)的推導(dǎo)、證明過(guò)程，只有扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能為化歸思想的運(yùn)用奠定良好基礎(chǔ)。同時(shí)，教師也要注重?cái)?shù)學(xué)模型的構(gòu)建和講解，尤其是對(duì)于一些復(fù)雜、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)理論，可通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其數(shù)學(xué)邏輯呈現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生準(zhǔn)確抓住數(shù)學(xué)理論的內(nèi)涵和實(shí)質(zhì)，切實(shí)將其內(nèi)化為自己的知識(shí)。另外，在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生形成獨(dú)立思考的能力和習(xí)慣，這對(duì)于學(xué)生全面、系統(tǒng)地理解化歸思想的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)也有很大的幫助。

一、化未知為已知

一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)于比較熟悉的問(wèn)題大都掌握了一定的解題套路，能夠快速地得出問(wèn)題的答案。但面對(duì)比較新穎、陌生的題目時(shí)往往無(wú)從入手，不得其門(mén)而入。事實(shí)上，很多新題目都是一些老題目經(jīng)過(guò)變形、包裝之后的產(chǎn)物，只要學(xué)會(huì)運(yùn)用化歸思想，就能將其返本還源，然后按照已知問(wèn)題的解題策略求解即可。美國(guó)數(shù)學(xué)家和教育家波利亞在其所著的《怎樣解題》一書(shū)中列出了一個(gè)解題表，在解決某問(wèn)題時(shí)，先讓學(xué)生回想與該問(wèn)題相似的題型的解答策略，這樣就能調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和方法來(lái)解答問(wèn)題，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解題的突破點(diǎn)，這其實(shí)就是運(yùn)用了化未知為已知的解題方法。

例1：（2013全國(guó)新課標(biāo)卷I，理科第16題）若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng)，則f（x）的最大值為。

解析：該題涉及四次函數(shù)，且乍一看比較陌生，需要將函數(shù)中的高次整式進(jìn)行變形處理，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式。首先，題干給出了函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸，可先根據(jù)這一條件求出a、b的值：

因函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng)，故有f（-4）=f（0），f（-1）=f（-3），即：

b=-15（16-4a+b）（1）

0=-8（9-3a+b）（2）

聯(lián)立（1）和（2），可得a=8，b=15，則：

f（x）=（1-x2）（x2+8x+15）

=（1-x）（1+x）（x+3）（x+5）

=-（x-1）（x+5）（x+1）（x+3）

=-（x2+4x-5）（x2+4x+3）

=-[（x2+4x）-2（x2+4x）-15]

令t=x2+4x，則f（x）=-t2+2t+15，t∈[-4，+∞]

故f（x）在對(duì)稱(chēng)軸t=1處有最小值16。

二、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化是中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的一種解題方法，對(duì)于乍看起來(lái)十分復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只要細(xì)細(xì)觀察和分析，通常都可以分解轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，然后再解答起來(lái)就簡(jiǎn)單得多。這種解題策略在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范圍很廣，手段也多種多樣，如各類(lèi)公式的恒等變形、不同圖形的初等變換、正向思維的逆向轉(zhuǎn)化等。尤其是逆向思維的運(yùn)用，不但能夠提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，還能鍛煉學(xué)生的思維靈活性，對(duì)于學(xué)生深刻掌握化歸思想有很大的幫助。

例2：（2014浙江卷，文科第16題）已知實(shí)數(shù)a，b，c，滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為。

解析：這是一道最值求解題，但題目包含的字母參數(shù)較多，看起來(lái)比較復(fù)雜，學(xué)生如果以通常的最值求解思路進(jìn)行解答，很容易迷失方向。實(shí)際上，只要把待求最大值的a視為常量，將b和c視為變量，則題目條件就可以轉(zhuǎn)化為其他的形式，如解析幾何、方程、函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、平面向量、數(shù)列模型等，再解答起來(lái)就簡(jiǎn)單得多，下面僅列舉其中一種思路，即將原條件轉(zhuǎn)化為解析幾何模型，然后用化圓法求解。

令b=x，c=y，則：x+y=-a，x2+y2=1-a2，若要使直線x+y=-a和圓x2+y2=1-a2有交點(diǎn)，則圓心到直線的最大距離不能大于1-a2，即│a│2≤1-a2，可得：a2≤23，故a的最大值是63。

三、結(jié)語(yǔ)

化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，其不僅能夠提高學(xué)生的解題能力，而且能夠促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)以實(shí)際教學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)，利用化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的方法，巧妙地將化歸思想融入到教學(xué)內(nèi)容體系中，使學(xué)生逐漸領(lǐng)略到這門(mén)思想的重要作用，進(jìn)而促進(jìn)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]任衛(wèi)兵.當(dāng)“第一思路”阻滯之后——例談轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題教學(xué)中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015，（11）.

[2]余祚鑒.展示中學(xué)數(shù)學(xué)“化歸思想”神奇魅力[J].中學(xué)理科園地，2015，（02）.