基于二分法的自動駕駛儀參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

謝金龍 吳 璋 文世珍 胡 洲

（四川航天系統(tǒng)工程研究所，成都 610100）

導(dǎo)彈的自動駕駛儀即導(dǎo)彈的姿態(tài)控制系統(tǒng)，根據(jù)制導(dǎo)系統(tǒng)給出的指令信號控制導(dǎo)彈的姿態(tài)運動，保證其在飛行中具有足夠的機動性和穩(wěn)定性，從而確保導(dǎo)彈飛行的安全。自動駕駛儀的主要作用包括保證彈體的穩(wěn)定性、優(yōu)化彈體的阻尼特性、提高彈體的機動性能，以及提高彈體的抗干擾能力。

自動駕駛儀的設(shè)計方法主要分為經(jīng)典控制和現(xiàn)代控制。經(jīng)典的設(shè)計方法以經(jīng)典控制理論為基礎(chǔ)，將系統(tǒng)簡化為單輸入單輸出結(jié)構(gòu)。在簡化模型的基礎(chǔ)上，利用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)特性，結(jié)合時域響應(yīng)法、頻域響應(yīng)法等方法保證系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和快速性?，F(xiàn)代控制理論成果主要包含動態(tài)逆、滑模變結(jié)構(gòu)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、狀態(tài)Ricatti方程等。

Nesline等人在1979年提出了一種最優(yōu)/經(jīng)典綜合設(shè)計法，他的主要想法是通過對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的頻率特性提供約束，限制目標(biāo)函數(shù)中增益系數(shù)的取值范圍，從而達到最優(yōu)的控制效果。Mracek等人則系統(tǒng)地提出了應(yīng)用最優(yōu)控制理論設(shè)計自動駕駛儀的方法原理。

經(jīng)典控制理論設(shè)計的自動駕駛儀能夠直觀地了解所選特征點的時域及頻域特性，因此它在工程實踐中是戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈自動駕駛儀設(shè)計的主要方法。但是這種方法需要花費大量的時間和精力調(diào)試，設(shè)計過程繁瑣，所以找到一種快速的參數(shù)設(shè)計方法很有必要。

自動駕駛儀設(shè)計過程中涉及許多新興的方法，如保護映射、極點配置等。當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)階次較低時，極點配置可以較好地實現(xiàn)頻域設(shè)計。當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)階次大于二階時，往往需要用到一些經(jīng)驗公式，但是這些經(jīng)驗公式反解得到的增益往往不能很好地穩(wěn)定系統(tǒng)。

當(dāng)系統(tǒng)模型比較復(fù)雜時，將傳遞函數(shù)的某項頻域指標(biāo)（如幅值裕度）作為性能指標(biāo)函數(shù)再得到性能指標(biāo)函數(shù)關(guān)于增益參數(shù)的變化曲線，通過選取合適的增益邊界范圍，就可以應(yīng)用二分法逼近得到相應(yīng)的參數(shù)。對得到的參數(shù)進行優(yōu)化，就可以得到滿足其他約束條件的最優(yōu)解。二分法可以實現(xiàn)計算機代替人為調(diào)參，有效提高了設(shè)計人員的工作效率。

1 二分法

定理1（介值定理）設(shè)f (x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a) f (b)＜0，則至少存在一個點ξ∈(a,b)使得f (ξ)=0，即ξ是f (x)=0的根。

為了便于分析，設(shè)f (x)在[a,b]上是單調(diào)的，則f(x)=0在[a,b]內(nèi)只有一個實根ξ。

1.1 基本思想

二分法是一種通用的數(shù)值近似計算方法，它的基本思想是判斷區(qū)間中間值的函數(shù)值f ((a+b)/2)的正負號，逐步對半縮小有根區(qū)間，直到區(qū)間縮小到允許誤差范圍之內(nèi)，然后取區(qū)間的中點為ξ的近似值。

1.2 具體方法

不妨設(shè)f (a)＜0, f (b)＞0；記a1=a，b1=b，區(qū)間[a,b]的中點 ξ1=(a+b)/2，再計算函數(shù)值 f (ξ1)。如果 f (ξ1)=0，則表示待求的根為 ξ1，否則判斷 f (ξ1) f (a)＜0 還是f (ξ1) f (b)＜0。

若 f (ξ1) f (a)＜0，則記 a2=a，b2=ξ1，則求根區(qū)間變?yōu)?[a,ξ1]；若 f (ξ1) f (b)＜0，則記 a2=ξ1，b2=b，則求根區(qū)間變?yōu)閇ξ1,b]。這樣區(qū)間[a2,b2]是方程新的有根區(qū)間，它被包含在原有根區(qū)間[a,b]之內(nèi)，且長度僅為原區(qū)間的一半。對縮小后的區(qū)間[a2,b2]，再計算其中點ξ2=(a+b)/2，判斷f (ξ2) f (a2)＜0還是f(ξ2) f (b2)＜0。

如此重復(fù)上述計算過程，經(jīng)過k次這樣的二分以后，求得的有根ξk區(qū)間[ak,bk]的中點ξk=(ak+bk)/2。區(qū)間大小。顯然，如果無限二分下去，則

因而定義精度ε，當(dāng)k足夠大時，|ξξk-ak|≤（bk-ak）/2=（b-a）/2k〈ε，則ξk就是方程f (x)=0的一個滿足給定精度的近似根。

2 自動駕駛儀設(shè)計

阻尼-姿態(tài)角控制方法是經(jīng)典控制理論中經(jīng)常采用的一種方法。常見的俯仰通道阻尼-姿態(tài)角方案控制框圖如圖1所示。

圖1 俯仰通道方案控制框圖

2.1 傳統(tǒng)自動駕駛儀設(shè)計

經(jīng)典控制理論設(shè)計的自動駕駛儀是將系統(tǒng)簡化為單輸入單輸出結(jié)構(gòu)，用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)特性，通過根軌跡法、時域分析法、頻域分析法來設(shè)計系統(tǒng)。這種方法能夠直觀地了解所選特征點的時域及頻域特性，因此在工程實踐中，它是戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈自動駕駛儀設(shè)計的主要方法。但是這種方法需要花費大量的時間和精力調(diào)試，設(shè)計過程繁瑣，尤其當(dāng)氣動模型發(fā)生變化時，自動駕駛儀需要重新設(shè)計，所以找到一種快速的參數(shù)設(shè)計方法很有必要。

2.2 變結(jié)構(gòu)控制方法

變結(jié)構(gòu)控制是一種新興的控制系統(tǒng)設(shè)計方法，其非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性。從理論上說，由于滑動模態(tài)可以按需要設(shè)計，滑?？刂葡到y(tǒng)的魯棒性能比一般系統(tǒng)好。然而滑模控制中切換函數(shù)在不同滑動模態(tài)的切換會引起系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，為了克服滑?？刂频亩墩駟栴}，國內(nèi)外學(xué)者進行了許多不同的探討，其中比較有代表性的是準(zhǔn)滑動模態(tài)法、趨近律法及濾波法等。

2.2.1 基于變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)設(shè)計

以滾轉(zhuǎn)通道為例，設(shè)滾轉(zhuǎn)通道的狀態(tài)方程為：

滾轉(zhuǎn)通道姿態(tài)控制的目的是使?jié)L轉(zhuǎn)角趨向穩(wěn)定，因此定義誤差變量e = γ，定義滑動模態(tài)s為：

對s微分，得到：

定義趨近律為：

則控制律為：

2.2.2 頻域特性分析

將變結(jié)構(gòu)控制的非線性特性進行簡化，可實現(xiàn)線性控制。以滾轉(zhuǎn)通道為例，令k3＝0則控制律可以簡化為:

因此，變結(jié)構(gòu)控制在這種特定的情況下等效為1個PD控制器。

選取k1＝10，k2＝10得到10s時刻頻域響應(yīng)情況，如圖2所示。

圖2 10s時刻頻域響應(yīng)情況

2.2.3 總結(jié)分析

k1、k2經(jīng)過多次調(diào)試，滾動通道的幅值裕度在16.1dB左右，相位裕度在75.5°左右。變結(jié)構(gòu)控制存在的不足為：（1）滾動通道的響應(yīng)效果與k1、k2的選取有很大關(guān)系，當(dāng)k1、k2較小時，滾動通道的幅值裕度較大，響應(yīng)時間較慢；（2）對系統(tǒng)模型的要求較高，當(dāng)模型階次大于二階時，需要采用降階方法，會對模型的精確性產(chǎn)生影響。

2.3 基于二分法自動駕駛儀設(shè)計

與變結(jié)構(gòu)控制方法相同，基于二分法的自動駕駛儀同樣設(shè)置成一個PD控制器。以阻尼回路為例，阻尼回路的開環(huán)傳遞函數(shù)與阻尼回路參數(shù)相關(guān)，通過這個傳遞函數(shù)可以得到阻尼回路的幅值裕度、相位裕度、調(diào)節(jié)時間等頻域及時域指標(biāo)。

2.3.1 二分法逼近參數(shù)

將頻域指標(biāo)中的幅值裕度作為性能指標(biāo)函數(shù)F，那么F就能寫成與阻尼回路參數(shù)K 相關(guān)的函數(shù):F=f(K)。經(jīng)典控制理論設(shè)計中，對幅值裕度和相位裕度都有相應(yīng)的指標(biāo)要求,如要求幅值裕度不小于16dB。通過二分法可以迅速找到相應(yīng)的增益Km，使得特征點的幅值裕度為16dB。

二分法要求目標(biāo)函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)變化。對于靜穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)增益K ＞0時，系統(tǒng)穩(wěn)定。隨著增益K的增大，系統(tǒng)的幅值裕度減小，因此幅值裕度函數(shù)f (K)是一個單調(diào)遞減函數(shù)。但是當(dāng)增益K繼續(xù)增大時，系統(tǒng)有可能出現(xiàn)振蕩及失穩(wěn)現(xiàn)象，因此，應(yīng)用二分法時需要選擇合適的邊界范圍。

選取10s特征點進行頻域設(shè)計，找到幅值裕度分別為3dB和50dB的增益K2、K3。將[K2,K3]作為邊界范圍，采用二分法逼近得到幅值裕度為16dB的增益Km。

2.3.2 參數(shù)優(yōu)化

二分法逼近得到的增益Km滿足了控制系統(tǒng)對幅值裕度的要求，但是相位裕度、截止頻率、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等指標(biāo)未必能滿足要求。因為幅值裕度函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，增益K在(0,Km]范圍內(nèi)都能滿足幅值裕度要求。

取精度D=100，將增益Km分成100份，Ki= i/100×Km，i =1，2，…，100。

分別計算相應(yīng)增益的相位裕度、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等，剔除相位裕度及超調(diào)量不滿足要求的情況，選出其中調(diào)節(jié)時間最優(yōu)的增益。

10s時刻頻域響應(yīng)情況如圖3所示。

2.3.3 數(shù)學(xué)仿真分析

為了驗證基于二分法的自動駕駛儀設(shè)計的有效性，將設(shè)計的參數(shù)代入數(shù)學(xué)仿真進行驗證，滾動通道初始加入姿態(tài)角和姿態(tài)角速度偏差，全程加入風(fēng)干擾及結(jié)構(gòu)干擾，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 10s時刻頻域響應(yīng)情況

圖4 滾動姿態(tài)角偏差

分析圖4可以看出，滾動通道在5s左右將初始姿態(tài)角偏差控制到零附近，由于干擾的存在，滾動姿態(tài)角在后續(xù)也存在一定程度的變化，這說明設(shè)計的自動駕駛儀具有較好的魯棒性。

2.3.4 總結(jié)分析

通過二分法逼近得到增益Km，使得滾動通道的幅值裕度為16dB，對得到的參數(shù)進行優(yōu)化，得到的幅值裕度在16dB左右，相位裕度在70.1°左右。最終的幅值裕度與二分法逼近得到的幅值裕度基本相同，這是因為二分法逼近得到的增益滿足相位裕度、截止頻率、超調(diào)量等指標(biāo)要求，調(diào)節(jié)時間是最快的。

通過數(shù)學(xué)仿真分析結(jié)果可以看出，二分法逼近設(shè)計得到的自動駕駛儀能夠讓控制系統(tǒng)穩(wěn)定，具有良好的魯棒性。其優(yōu)點在于：（1）可以根據(jù)不同的頻域、時域需求，設(shè)計不同的增益，使人為調(diào)參轉(zhuǎn)換為計算機運算，極大地降低了系統(tǒng)設(shè)計的工作量；（2）當(dāng)系統(tǒng)模型階次較高時，二分法不會受到影響。

3 結(jié)束語

傳統(tǒng)的自動駕駛儀控制系統(tǒng)設(shè)計需要花費大量的時間和精力，本文提出的基于二分法的自動駕駛儀參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法，將人為調(diào)參轉(zhuǎn)換為計算機運算，極大地提高了系統(tǒng)設(shè)計的工作效率。針對二分法的參數(shù)進行優(yōu)化，能夠保證控制系統(tǒng)相應(yīng)的頻域和時域指標(biāo)滿足約束要求。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果證明了設(shè)計得到的自動駕駛儀的有效性。