由《三體》到鋸齒波有效值

王浩文

摘 要：中學(xué)教材中著重講述了正弦交流電的有效值規(guī)律，而其它有效值的計(jì)算需用微積分求得。本文通過對(duì)劉慈欣三體小說的一番研究，發(fā)現(xiàn)其與交流電有效值有一定的關(guān)聯(lián)。通過該研究，發(fā)現(xiàn)鋸齒波有效值可以利用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算。這里介紹兩種方法，即代數(shù)法和幾何法。

關(guān)鍵詞：鋸齒波交電流;有效值;三體

1 引言

通過對(duì)劉慈欣三體小說的仔細(xì)翻閱，不難發(fā)現(xiàn)書中有一段話大致是這樣記載的：“無線細(xì)節(jié)不管何時(shí)都是他們必須去面對(duì)的一種視覺上現(xiàn)象。世界是多維的，從三維來看，人類在視覺上就不會(huì)面對(duì)無線細(xì)節(jié)，而是有限細(xì)節(jié)。這也不難理解，例如你所研究的現(xiàn)象極其復(fù)雜和繁瑣，但只要你研究的夠仔細(xì)，夠認(rèn)真，且時(shí)間上合理利用，就能把大部分的現(xiàn)象研究透徹，也就是大部分的細(xì)節(jié)會(huì)被展示出來。然而如果站在四維的角度來看，其實(shí)三維事物不管在哪個(gè)層次的思維視野中都是暴露的，導(dǎo)致原來封閉和看不見的一切都將平行并列出來?！比欢@種現(xiàn)象正是莫沃維奇與關(guān)一凡博士在“萬有引力”號(hào)上第一次進(jìn)入四維世界時(shí)所看到。于以上的片段我產(chǎn)生了思考：既然三維事物在四維可以將無限細(xì)節(jié)盡收眼底，那么在解決品面問題時(shí)，能否轉(zhuǎn)化成三維空間中的問題呢？于是，我便聯(lián)想到了求解鋸齒波電流的有效值的問題。

2 有效值定義

人教版教材選修3-2指出：當(dāng)交流電與恒定直流電通過等值電阻時(shí)，且該電阻在交流電的一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量相同，設(shè)定恒定電流用I表示，電壓用U表示，那么該恒定直流的電流I和電壓U可稱作交流電的有效值[1]。這種定義是有前提的，那就是保持通過相等電阻的時(shí)間相同，并且產(chǎn)生的熱量也一樣。這便說明有效值是平均值，代表著交流電產(chǎn)生的結(jié)果。因?yàn)殡娮璋l(fā)熱與電流方向并無關(guān)系，因此計(jì)算整個(gè)周期的有效值并無必要，這種情況下可考慮半周期計(jì)算。然而生成的電流圖像呈規(guī)律性變化，也就是軸對(duì)稱圖像。因此有效值的計(jì)算可取其中的四分之一周期[2]。

3 代數(shù)法

如圖1所示，已知鋸齒波電流用I表示，最大值為，其中周期為，請(qǐng)通過代數(shù)法計(jì)算其有效值。

思路：剛剛看到這倒題時(shí)，我采用的是將其轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)與坐標(biāo)所圍成的面積問題。

即W=（注為所有的實(shí)數(shù)）所以W可看成函數(shù)，時(shí)與x軸所圍成的坐標(biāo)，但隨后便發(fā)現(xiàn)，這種方法要使用定積分的方法，且要求的值，在暫未學(xué)習(xí)的情況下，求知的心忍不住嘗試其他的方法，于是我開始了尋找初等數(shù)學(xué)解法的道路。最后經(jīng)過一段時(shí)間的努力，找出了方法如下：

1）將（）分為n份，每一份長度為。

2）計(jì)算每一個(gè)內(nèi)做的功為：

3）可拆分為I2和的乘積，其中I2可表示正方形的面積（邊長為I），可表示為一段長度，因此其乘積便立體圖形（正方體或長方體）的體積，用V表示。如圖2所示。

4）將所有小長方體累加可得下圖（如圖3），所有長方體累加起來的體積可近似看作一四棱錐。（如圖4）

最終由四棱錐的體積公式得：（一個(gè)周期內(nèi)的焦耳熱）

將上述問題的方法進(jìn)行總結(jié)，我提煉出了一數(shù)學(xué)計(jì)算方法，如下一題：

4 幾何法

5 總結(jié)

通過本次探究獲得了許多的收獲，在對(duì)于用常規(guī)方法不能輕松求解時(shí)，應(yīng)該從它角度尋找解題方法，每一個(gè)角度都有可能是解題的關(guān)鍵之處。從以上可知，有時(shí)候利用簡(jiǎn)單的初等初等數(shù)學(xué)方法也能去解答復(fù)雜的難題及繁瑣的計(jì)算。正如計(jì)算上述有效值一樣，通過計(jì)算利用的對(duì)稱知識(shí)、分割與逼近、數(shù)列求和、極限和數(shù)形結(jié)合等思想對(duì)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題有一定的啟發(fā)和借鑒作用。

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理（選修3-2）[M].北京：人民教育出版社，2007：39.

[2]張軍.交流電有效值有巧解[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2013，39（11）：23.