基于模糊決策的非即時衰減品動態(tài)定價

王永昭

(1.安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 安陽 455000;2.天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟學(xué)部,天津 300072)

0 引言

隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展,顧客自我意識的不斷提高,需求越來越趨于個性化。同時,市場的激烈競爭使得產(chǎn)品更新?lián)Q代越來越快,產(chǎn)品的生命周期越來越短。銷售市場中把這種容易腐爛變質(zhì)或者消費者消費偏好變化而引起銷售周期縮短的產(chǎn)品稱之為易逝品。易逝品具有較強時效性和需求波動性,已成為供應(yīng)鏈管理研究的熱門話題。然而,在實際生活中,有很多易逝品在庫存初始時期(保鮮期)價值保持不變,之后才會發(fā)生衰減,稱之為非即時衰減品[1]。例如某些果蔬,會在初始的一段時間內(nèi)保持較高的新鮮度。如果忽略了產(chǎn)品非即時衰減的特性,會導(dǎo)致成本高估,使得零售商做出錯誤決策,非即時衰減品吸引了越來越多學(xué)者的關(guān)注和研究[2-4]。

定價問題是非即時衰減品的一個重要研究領(lǐng)域。定價作為現(xiàn)代企業(yè)最重要的策略之一,是企業(yè)增加收益的主要手段[5]。因此,合理定價是現(xiàn)代公司追求高投資回報的普遍方式。動態(tài)定價有別于傳統(tǒng)的靜態(tài)定價,是指經(jīng)營者敏感地感受市場需求的波動及時調(diào)整銷售價格以達到收益最大化目的。科技的飛速發(fā)展為動態(tài)定價提供了技術(shù)便利和成本優(yōu)勢,推動了動態(tài)定價的實踐與應(yīng)用。 Kincaid和Darling[6]早在1963年就開始研究易逝品連續(xù)時間的動態(tài)定價問題。Wang等[7]運用極大值原理把動態(tài)定價問題擴展到了非即時衰減品中。近年來,越來越多的研究展示了動態(tài)定價的有效性和優(yōu)越性[8-9]。

企業(yè)在銷售過程中往往面臨著市場和消費者需求的高度不確定性,以及消費者的消費行為的復(fù)雜性,因此把這些因素考慮到定價模型中非常有必要。以往的動態(tài)定價研究中往往假設(shè)消費者滿足理性人假設(shè),例如文獻[10-11],然而在實際的生活中,存在大量的非理性消費者這些很大程度上影響了企業(yè)的定價策略制定。本文參考文獻[12]引入模糊函數(shù)來刻畫消費者購買產(chǎn)品的可能性,更符合實際情況。

考慮到產(chǎn)品非即時衰減的特性,本文構(gòu)造了基于消費者購買決策的模糊函數(shù),針對價值判斷異性的消費者,建立銷售周期和初始庫存確定的非即時衰減品動態(tài)定價模型。在零售商收益最大化的目標(biāo)下,運用變分法求解模型,得到最優(yōu)動態(tài)定價函數(shù)。最后進行了數(shù)值模擬和主要參數(shù)的靈敏度分析,得到了一些重要的管理學(xué)啟示。

1 動態(tài)定價模型

1.1 模型描述

在本文考慮一個壟斷的零售商在一定時間段[0,T]內(nèi)銷售單一非即時衰減品(如水果、農(nóng)蔬產(chǎn)品等)的動態(tài)定價問題。此時,非即時衰減品是指在保險期內(nèi)價值不變,之后隨著時間價值發(fā)生衰減的產(chǎn)品,保鮮期td為確定常量。

為保證模型的合理性及正確性,做出如下假設(shè):

假設(shè)1:初始庫存I。在整個銷售期內(nèi),零售商不存在補貨行為,該批次的產(chǎn)品剩余量為0時即銷售期結(jié)束。不同于別的商品,非即時衰減品生命周期較短,銷售期末殘值很小,幾乎為零,所以零售商一般采取庫存清空策略。

假設(shè)2:產(chǎn)品的成本為固定常數(shù)。為簡化模型不失一般性,整個銷售周期不考慮銷售價格的菜單成本。非即時衰減品采摘或生產(chǎn)流程固定,庫存運營管理體系成熟,產(chǎn)品成本短期內(nèi)受外界影響較小,故刻畫為固定常數(shù)。

假設(shè)3:參考文獻[12],在整個銷售期內(nèi)顧客以泊松過程到達商店,平均到達率為λ(t)。

假設(shè)4:銷售市場被充分細化,消費者對產(chǎn)品價值判斷異性。假設(shè)消費者對非即時衰減品價值判斷V(t)滿足

(1)

其中,V為消費者保留價值,服從區(qū)間[a,b]上的既定連續(xù)分布F,密度函數(shù)為f。在[0,td]內(nèi)產(chǎn)品價值保持不變,消費者對產(chǎn)品價值判斷異性。在[td,T]內(nèi)可以從兩方面解釋,一方面忽略時間因素,消費者價值判斷和前一階段一致;另一方面非即時衰減品對時間的敏感性,消費者的保留價值是隨時間遞減的,此處假設(shè)為指數(shù)遞減[7],α為價值衰減因子,用來描述價值衰減速度。

假設(shè)5:以往研究主要集中在理性消費者做出購買決策當(dāng)且僅當(dāng)其能獲得最大的剩余價值。然而,在實際生活中有很多非理性消費者[13]:商品的最大剩余價值大于消費者價值判斷時不一定購買,只是購買的可能性會增大。為了刻畫這種情況,本文參考文獻[12]引入模糊函數(shù)如下,

(2)

上式刻畫了消費購買產(chǎn)品的概率,描述了消費者的決策過程,其中p(t)為產(chǎn)品t時刻的價格。

1.2 模型建立

考慮消費者模糊決策過程和價值判斷異性特點,在銷售初期[0,td]產(chǎn)品銷售量為

(3)

在銷售第二階段[td,T],產(chǎn)品銷售量為

(4)

為保證庫存和銷售價格的非負性,需滿足如下約束

Q1(t)+Q2(t)≤I，

p(t)≥0.

(5)

基于上述假設(shè)和分析,構(gòu)建初始庫存水平和銷售周期給定情況下零售商利潤J最大的最優(yōu)控制模型:

(6)

1.3 模型求解

為了得到更多的管理學(xué)啟示,下面假設(shè)整個銷售期消費者的平均到達率為常數(shù)λ。原問題的求解可看作泛函求極值問題,由于原問題可分為[0,td]和[td,T]時間段定價問題,且這兩個階段定價相互獨立,因此原問題轉(zhuǎn)換為這兩個階段的約束條件不變的最優(yōu)控制問題。

(7a)

(7b)

利用變分法,分別構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

(8a)

(8b)

其中,μ1,μ2為拉格朗日乘子。因此,歐拉方程可表示為

(9)

(10)

分別計算得

(11)

(12)

為了求解最優(yōu)定價,可將原始不等約束簡化為

Q1(t)=w,Q2(t)=I0-w.

(13)

其中,w為待定的第一階段銷售量。I0滿足下式

(14)

將式(9)、(10)代入以上約束條件可得

(15)

(16)

其中,A=(eα(T-td)-1)/α.

將上式代入式(11)和(12),易得

(17)

(18)

以上可以看出,在第一階段由于產(chǎn)品處于保鮮期,零售商采取了靜態(tài)定價策略;然而,當(dāng)?shù)诙A段產(chǎn)品價值開始衰減,則采用動態(tài)定價策略來保持利潤。

同時注意到,第一階段的銷售量w取不同值,產(chǎn)品在兩個階段的價格是不一樣的。因此,為了求解最優(yōu)的w,將式(17),(18)代入式(6),并求導(dǎo)可得

(19)

結(jié)合上式和式(17)、(18)代入總利潤函數(shù),并對其求導(dǎo),可得

(20)

將上式代入式(17)、(18),得到最優(yōu)定價策略:

當(dāng)I<λT/2時

(21)

當(dāng)I≥λT/2時

(22)

以上可以看出,在第一階段產(chǎn)品的非即時衰減的特性使得第一階段采取靜態(tài)定價策略,而第二階段采取動態(tài)定價策略,結(jié)合(21)和(22)式可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品定價遵循閾值策略,當(dāng)初始庫存較低時,定價與顧客平均到達率、衰減因子、保鮮期長度和銷售周期有關(guān);而當(dāng)初始庫存很高時,定價僅與衰減因子、保鮮期長度有關(guān)。

2 數(shù)值分析

通過數(shù)值算例對價值衰減因子α,產(chǎn)品保鮮期td,初始庫存量I,產(chǎn)品銷售周期T等主要參數(shù)進行靈敏度分析。

參考文獻[5]將該定價模型的基本參數(shù)設(shè)定為:I=100;λ=10;a=110;α=0.05;b=90;td=20;T=90;

考慮價值衰減因子的變化,得到如圖1所示的連續(xù)價格曲線?？梢钥闯?在保鮮期內(nèi)零售商采取靜態(tài)定價策略,這是由于在庫存容量相對充足的條件下,產(chǎn)品價值并未發(fā)生變化使得顧客對產(chǎn)品的價值期望不變,為了增加銷量,零售商不會輕易變動價格。而保鮮期過后,產(chǎn)品價值成指數(shù)下降趨勢,為了使價格合理地匹配不斷衰減的產(chǎn)品價值,滿足消費者預(yù)期,零售商采取了動態(tài)的降價銷售策略。隨著衰減因子的不斷變大,產(chǎn)品的衰減速度逐漸加快,產(chǎn)品在整個銷售期內(nèi)的價格越來越低,容易發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品的銷售總利潤也將會降低。因此,企業(yè)可以通過增加產(chǎn)品保鮮方面的投入,如建設(shè)冷庫,改用冷鏈運輸?shù)却胧?降低產(chǎn)品衰減速度來提高利潤。

圖2描述了保鮮期的變化對產(chǎn)品定價的影響,從圖中容易發(fā)現(xiàn)隨著保鮮期的延長,兩階段的價格均有所上升,這是由于隨著產(chǎn)品保持初始價值的時間變長,零售商進行高價銷售的時間延長,進而銷售利潤提高,這在計算結(jié)果里也得到了驗證。因此,對于采購非即時衰減品時,如水果等,應(yīng)該選擇品相和新鮮度較好的產(chǎn)品,這與實際情況吻合。

Fig.1 Optimal pricing changes with different attenuation factor圖1 最優(yōu)定價隨衰減因子變化圖

Fig.2 Optimal pricing changes with different fresh time圖2 最優(yōu)定價隨保鮮期變化圖

圖3展示了不同的初始庫存情況下零售商的定價策略,隨著初始庫存的增大,企業(yè)面臨有限期內(nèi)銷售完產(chǎn)品的壓力,采取了撇脂定價策略以保證利潤最大化。但是當(dāng)庫存滿足I≥λT/2時,即大于等于450時,零售商的定價策略不變,這時產(chǎn)品到銷售期末會有部分剩余,這是因為如果要把所有產(chǎn)品銷售完就必須進一步降低價格,進而總利潤將會下降。

Fig.3 Optimal pricing changes with different inventory圖3 最優(yōu)定價隨庫存變化圖

Fig.4 Optimal pricing changes with different sales cycle圖4 最優(yōu)定價隨銷售周期變化圖

圖4是零售商定價策略隨銷售周期變化圖。從圖中可以看出,隨著銷售周期的延長,整個周期的價格呈現(xiàn)整體下降趨勢,這是因為零售商有了更大的定價空間。當(dāng)銷售周期較短,且滿足I≥λT/2時,即使銷售周期改變,第一階段的定價策略完全一致,第二階段定價也相同,只是銷售時間不同。

3 結(jié)論

針對產(chǎn)品價值判斷異性且購買產(chǎn)品時采取模糊決策的消費者,本文研究了非即時衰減品的最優(yōu)定價問題?？紤]到銷售量存在的約束,建立了以零售商總利潤最大化為目標(biāo)的最優(yōu)控制模型,并運用變分法求得產(chǎn)品的最優(yōu)動態(tài)定價策略。結(jié)果表明:由于產(chǎn)品的非即時衰減特性,零售商會采取兩階段的定價模式,其中第一階段是靜態(tài)定價,第二階段采取動態(tài)定價策略;由于產(chǎn)品價值的衰減,價格函數(shù)為遞減函數(shù),與實際情況相符;隨著衰減因子的增大或保鮮期的縮短,最優(yōu)定價都會相應(yīng)下降,這就要求零售商要加大保鮮投入延緩產(chǎn)品價值衰減速度。

為了使模型更貼近實際情況,本文考慮了產(chǎn)品價值非即時衰減特性對定價的影響,在之后的研究中還可以引入更多的實際因素,如:企業(yè)的保鮮努力水平[14]、消費者對產(chǎn)品的偏好[15-16]、品牌忠誠度對產(chǎn)品定價的影響[17-18]等,以及考慮供應(yīng)商補貨的多周期銷售問題同樣值得深入探討。