關(guān)于分離參數(shù)法在解決函數(shù)方程實(shí)根問題的研究

摘 要：分離參數(shù)法：眾所周知，就是求誰的參數(shù)就把誰分離出來研究，我們知道這是在解決不等式問題時(shí)常用的方法。但是，其實(shí)利用它的原理，我們可以把它用來解決函數(shù)方程的實(shí)根問題。

關(guān)鍵詞：分離參數(shù)法；不等式問題；函數(shù)方程

一、 應(yīng)用舉例

讓我們看一看以下例題：

例1 （2017年山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f（x）=x2-（m-1）x，f2m在區(qū)間[0，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

解析：對于這類問題，一般解法：

（1） 當(dāng)方程x2-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，則

（2） 當(dāng)方程x2-（m-1）x+2m=0有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)

（a）有且只有一根在（0，1）上時(shí)，有f（0）f（1）<0即2m（m+2）<0，所以

m<0m+2>0或m>0m+2>0解得-2

（b）當(dāng)f（0）=0時(shí)，m=0，令f（x）=x2+x=0，解得x1=0，x2=-1符合題意。

（c）當(dāng)f（1）=0時(shí)，嗎，令f（x）=x2+3x-4=0，解得x1=1，x2=-4，符合題意。

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-2，0]。注：求解本題不僅應(yīng)注意到函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)用f（1）*f（0）<0，而且也應(yīng)該注意問題其他形式：（1）在[0，1]上有二重根；（2）端點(diǎn)函數(shù)值可能為0.。因此，我們由上述過程，不難看出：討論很復(fù)雜。盡管思路清晰，但仍避免不了大量的分類討論，易出錯(cuò)。

讓我們看一下如下巧解：

解：令f（x）=0得：x2-（m-1）x+2m=0

所以m=x2+xx-2

設(shè)y=x2+xx-2所以yx'=（x2+x）′（x-2）-（x2+x）（x-2）′（x-2）2

=（x-2）2-6（x-2）2

因?yàn)閤∈[0，1]

∴1≤（x-2）2≤4

∴-5≤（x-2）2-6≤-2

即（x-2）2-6<0

∴（x-2）2-6（x-2）2<0

∴y2x<0

故函數(shù)y=x2+xx-2在

[0，1]上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x=0時(shí)，ymax=0

當(dāng)x=1時(shí)，ymin=12+11-2=-2

∴y∈[-2，0]

即此時(shí)，m∈[-2，0]

我們不難從上例題看出，此做法十分簡單，不管它如何，我們只把參數(shù)分離開，用x表示參數(shù)。因?yàn)轭}目已給出了x的取值，再利用單調(diào)性及函數(shù)相關(guān)知識即可求出。

我們再來看一道例題：

例2 已知方程x2+3ax+4=0，在（1，2）有實(shí)根，求a的取值？

解析：方程在一個(gè)區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，我們知道可轉(zhuǎn)化成其對應(yīng)的方程的函數(shù)f（x）在這個(gè)區(qū)間有零點(diǎn)，這也就轉(zhuǎn)化成零點(diǎn)問題。但是零點(diǎn)問題，由上我們已得出可以利用分離參數(shù)函數(shù)來解決，所以解題如下：

解：∵x2+3ax+4=0，x∈（1，2）

∴-3a=x2+4x=x+4x

設(shè)y=x+4x，∴yx′=1-4x2

∵x∈（1，2）

∴1

∴12<1x2<1

∴2<4x2<4

∴4x2>1

∴1-4x2<0

即yx′<0，故函數(shù)y=x+4x在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1+41=5

當(dāng)x=2時(shí)，ymin=2+42=4

故函數(shù)y=x+4x在區(qū)間（1，2）上值為（4，5）

∴y∈（4，5）即-3a∈（4，5）

故a∈（-53，-43）

二、 總結(jié)

其實(shí)，對于普遍的一個(gè)零點(diǎn)問題，方程實(shí)根問題，都可以利用分離參數(shù)法來思考。因?yàn)轭}目已給出了實(shí)根、有零點(diǎn)，勢必分離出來的參數(shù)所對應(yīng)的關(guān)于x的方程在一個(gè)區(qū)間上是恒成立的。它的最后解集是將所有取值并起來。因?yàn)椴⒓旧硎侨≈捣秶蟮淖蛹?，而分離參數(shù)法則省去了中間求解，參數(shù)取值集合子集的步驟，直接求出大的集合。即不論用x表示出的方程所對應(yīng)的函數(shù)單調(diào)性如何，只要利用單調(diào)性求出值點(diǎn)，進(jìn)而推出最值點(diǎn)，便得取值范圍。

參考文獻(xiàn)：

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[3]潘承洞，潘承彪著.初等數(shù)論[M].北京大學(xué)出版社，1992.

[4]潘承洞，潘承彪著.解析數(shù)論基礎(chǔ)[M].科學(xué)出版社，1991.

作者簡介：

劉書岳，廣東省潮州市，饒平縣第二中學(xué)。