茫茫題海，問解何處覓*
——從一道教材例題啟航

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(鎮(zhèn)海中學,浙江 寧波 315200)

1 教學現狀及思考

在高三復習階段，一線數學教師普遍的感受就是心“累”.這個累主要有兩方面：1)身體累——忙于備課、改作業(yè)，還得做海量練習，尋找并設計專題，而于學生而言只是過眼云煙，教學目標是否達成有待商榷；2)心累——“炒冷飯”，正因為學生沒有形成技能，能力達不到要求，就需要不斷重復，復習計劃無法如期落實，心里很急卻又無可奈何.如何提高高三的復習效率，在緊張的教學實踐中提高學生的數學核心素養(yǎng)、發(fā)展學生的能力，似乎是一線教師亟待解決的問題.

波利亞認為：“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的教學內容和大量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目去幫助學生深入發(fā)掘題目的各個側面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”那么備好一堂課，選題就顯得非常重要了，它是切入課堂的契機，也是達成教學目標的重要載體[1].因此，與其翻閱大量模擬卷找那些看上去“高大上”的題目，不如從教材例題中尋找一些學生感覺親切、同時又有意義并值得挖掘的題目.高中教材中的例題是專家、前輩們集體智慧的結晶，一些看似平淡無奇的例題，卻隱藏著深遠的背景，也有著意想不到的功能.同時，高考題源于課本又高于課本，即在課本中能找到高考題的題源.因此，在高三復習課中，應當抓住教材例題的生長點，深入挖掘，達到讓學生觸類旁通的目的.

2 教學過程

2.1 例題呈現

筆者開設了一節(jié)解析幾何的綜合復習課，選用了以下例題：

圖1

(人教A版《數學(選修2-1)》第41頁例3)

由學生自主解答.

2.2 合作探究

引導學生進行發(fā)散式探究，遵循從特殊到一般的方式，推廣得到命題：

教學離不開數學探究，但全靠學生獨立探究是不可取的，教師應當扮演好領路人的角色，在必要的時候加以點撥，指明方向[2].筆者提示：既然由此可得到橢圓方程，那么橢圓是否有這樣的性質呢？學生進一步深入探索，不難得到結論，即上述命題的逆命題：

筆者追問：點A，B是否只能是橢圓的左、右頂點，能否再作拓展呢？

學生提出設想，師生共同完善命題：

證明設A(x1,y1)，B(-x1,-y1),M(x0,y0),則

而點A，B，M在橢圓上，從而

2.3 類比探究

筆者：同學們由兩斜率之積為定值的形式聯想到了什么？

希望以此啟發(fā)學生將“橢圓的這個性質”與“圓的直徑所對圓周角為90°產生的k1k2=-1”聯系起來(如圖2).

圖2

接著筆者提出新的探究方向：圓內是否還有類似的性質可類比到橢圓？

在這里給學生足夠的探索時間，為學生提供足夠的展示和交流的機會.由點差法的引領，學生對圓的垂徑定理作類比獲得了一個探究成果，并給出了以下命題的幾何證明：

圖3

證明如圖3，直線OB交橢圓于另一點B′，由中位線的性質知

(代數角度的證明：點差法不再贅述.)

學生未能在課堂上探究出新的命題，筆者提示學生由圓的切線與半徑垂直，將直線AB進一步平移至與橢圓相切于點M(如圖4)，進一步探索kOMk切線得到新命題：

圖4

此命題留待學生自己證明.

2.4 習題示范

學生震驚于探究所得的結論，此時的情緒異?？簥^.筆者抓住時機，告誡學生數學學習要充分感受知識的發(fā)生發(fā)展，不但要知其然，還要知其所以然，更要做到何由以知其所以然，點出解析幾何問題要胸懷“e2-1情結”，準確地抓住題目的條件特征，這將對解題大有裨益.接著筆者給出一道高考題讓學生體驗，例題的示范讓學生切實感受“e2-1情結”的強大，讓學生在受困于解析幾何客觀題小題大做之時，有一種柳暗花明的感覺.

(2014年浙江省數學高考理科試題第15題)

(9b2-a2)y2-6mb2y+b2m2=0，

從而

解得

a2=4b2,

故

故

2.5 作業(yè)布置

在布置課后作業(yè)環(huán)節(jié)，筆者讓學生繼續(xù)探究橢圓中與斜率之積相關的性質，收獲令人驚艷！

3 教學感悟

3.1 充分尊重教材

在高三復習教學中，教師應充分尊重教材，不被模擬題牽著鼻子，帶偏復習的方向，應以教材為本，以知識為舟，以思維為槳，乘風破浪，挖掘課本教材例題的背景及立意，創(chuàng)造性地使用教材，精耕細作，使數學知識的展開不再是無本之木，無水之源.讓每個學生都能獲得良好的數學教育，都能獲得數學思維上的提升，提升數學核心素養(yǎng).茫茫題海，尋根悟法方是岸,從課本尋根，從課本探源，盡覽眾山小.

3.2 充分體現學生的學習主體性

高三復習課同樣應該將課堂還給學生，而不是教師一言堂灌入式教學.學生應當成為課堂的主人，但絕非放縱他們“肆意妄為”，教師需要扮演好導演和領路人的角色，將時間交還學生，讓學生在問題的引領下，通過合作探究參與到知識的發(fā)生與發(fā)展中來，厘清知識脈絡，建構知識體系[3].在此過程中，與學生共同探究得出結論，這樣不但培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識，還激發(fā)了學生的數學學習興趣，樹立了學好數學的信心，符合《普通高中數學課程標準(2017年版)》的要求.

3.3 充分給予學生展示自我的機會和勇氣

數學教育家弗賴登塔爾認為：數學學習的唯一正確方法是讓學生進行“再創(chuàng)造”，就是由學生本人把學習的東西實現或創(chuàng)造出來，教師的任務是為學生的發(fā)展創(chuàng)造條件、引導探索.因此在教學中，教師應當充分考慮學生的最近發(fā)展區(qū)，鼓勵學生大膽猜測，嚴謹證明，從而在后續(xù)的自主探究中實現知識的升華，并創(chuàng)建平臺讓學生勇于展示自己的研究成果，努力做到讓學生通過一道題目的學習，就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地.