考慮記憶性質(zhì)與時間滯后效應的非線性經(jīng)濟周期模型分析

林子飛，徐 偉

(1.西安財經(jīng)大學 統(tǒng)計學院，陜西 西安 710100；2.西北工業(yè)大學 理學院，陜西 西安 710072)

一、引 言

Goodwin經(jīng)濟周期模型中自發(fā)函數(shù)的形式主要有三種類型：常數(shù)、周期函數(shù)、隨機函數(shù)[1-2]。Goodwin的研究中將自發(fā)函數(shù)設為常數(shù)零，并且經(jīng)過動力學分析可以得到一個穩(wěn)定的極限環(huán)[3]。Strotz和Lorenz等都研究了自發(fā)函數(shù)為正弦函數(shù)形式的周期作用力，其對應了經(jīng)濟系統(tǒng)中如氣候、政治、物價等周期性的變動[4-5]。許多學者也研究了隨機函數(shù)形式的自發(fā)函數(shù)[6-8]，如：李佼瑞等計算得到了寬帶噪聲激勵下的Goodwin模型的首次穿越失敗的概率[6]；李爽等研究了隨機噪聲作用下的Goodwin模型的混動預測與控制問題[8]。

將Goodwin模型中的自發(fā)函數(shù)設為周期函數(shù)和隨機函數(shù)相結合的自發(fā)函數(shù)形式，可以同時將周期作用力和隨機擾動對經(jīng)濟周期波動的影響加以研究。對于窄帶噪聲激勵的動力系統(tǒng)的研究，戎海武等通過多尺度方法，研究了窄帶噪聲激勵下的非線性動力系統(tǒng)的響應[9]；Xu等利用攝動法與多尺度方法相結合研究了含有分數(shù)階、粘彈阻尼的隨機非線性動力系統(tǒng)的響應問題[10-12]；李佼瑞等研究了隨機周期作用激勵下非線性Goodwin模型的隨機響應問題，得到了時間滯后現(xiàn)象對經(jīng)濟周期波動振幅的具體影響[7]；林子飛等研究了隨機周期作用下含有分數(shù)階導數(shù)的Goodwin模型的隨機響應問題[13]。

在實際的系統(tǒng)當中，經(jīng)濟變量的時間記憶性質(zhì)是不能忽視的，在筆者之前的文章中，分數(shù)階導數(shù)描述了宏觀經(jīng)濟政策制定過程中產(chǎn)生的時間記憶性質(zhì)，即決策者制定經(jīng)濟政策時會參考以前的經(jīng)濟政策與政策實施效果來制定新的經(jīng)濟政策。Machado等分析了來自32個國家2000—2009年的日內(nèi)股票市場數(shù)據(jù)，結果表明股票價格的波動含有明顯的時間記憶性質(zhì)[14]。許多學者針對分數(shù)階金融系統(tǒng)也展開了研究[15]。同樣地，經(jīng)濟變量存在著時間滯后現(xiàn)象，比如投資決策到實際的投資行為之間存在一定的時間滯后，經(jīng)濟政策的制定到實施存在著時間上的滯后[16-17]；牛江川等研究了達芬振子的分數(shù)階時滯PID控制問題[18]；Gori等研究了帶有時滯的Keynesian模型的非均衡動力學行為[19]；Vliet等研究了金融市場中支付與利率的時間滯后現(xiàn)象[20]；Matsumoto等考慮了?？怂鼓Ｐ椭型顿Y與消費的時間滯后現(xiàn)象對系統(tǒng)局部和全局穩(wěn)定性的影響[21]。在經(jīng)濟系統(tǒng)中，利用分數(shù)階導數(shù)可以刻畫經(jīng)濟變量的這種記憶性質(zhì)，而經(jīng)濟系統(tǒng)中的記憶性質(zhì)體現(xiàn)在宏觀調(diào)控中制定的經(jīng)濟政策上，宏觀經(jīng)濟的經(jīng)濟政策在制定之時必然參考了之前的經(jīng)濟政策的執(zhí)行效果以及政策的制定過程。也就是說，過去的經(jīng)濟政策對目前的經(jīng)濟政策是有影響的，這就體現(xiàn)了經(jīng)濟政策制定時的記憶性質(zhì)，這種記憶性質(zhì)也體現(xiàn)在固定資產(chǎn)投資、投資決策中。林子飛等研究了高斯白噪聲激勵下的含有分數(shù)階時滯的Goodwin模型中關于國民收入的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)[22]。許多學者針對含有時滯的Goodwin模型也進行了深入的研究[23-24]。

本文在以上文獻的基礎上，考慮了經(jīng)濟系統(tǒng)中的時間記憶性質(zhì)和時間滯后現(xiàn)象，建立了具有分數(shù)階時滯的經(jīng)濟周期模型，并且考慮了周期函數(shù)與隨機函數(shù)相結合的自發(fā)函數(shù)，利用多尺度方法來研究經(jīng)濟變量的記憶性質(zhì)以及時滯現(xiàn)象對系統(tǒng)動力學特征的影響。

二、模型分析

考慮一個廣義的窄帶噪聲激勵下的分數(shù)階時滯Goodwin型經(jīng)濟周期模型的一般方程：

(1)

ξ(t)=hcos(Ωt+γW(t))

(2)

其中h代表隨機激勵的振幅，Ω是隨機激勵的頻率，W(t)表示標準的高斯過程，γ≥0。本文中，設h為小的正參數(shù)，所以ξ(t)表示窄帶過程，其譜密度為：

(3)

選取Caputo定義分數(shù)階導數(shù)：

(4)

利用多尺度方法，方程(1)的一致逼近解可以寫成：

x(t)=x0(T0，T1)+εx1(T0，T)+…

(5)

(6)

將方程(5)和方程(6)代入到方程(1)，分離對比參數(shù)ε的同次冪，可以得到下式：

(7)

f(x0，D0x0)+ξ(t)

(8)

方程(7)解的一般形式為：

x0=A(T1)exp(iwT0)+cc

(9)

其中cc代表復數(shù)項，A(T1)是關于時間的慢變量函數(shù)。將方程(9)代入到方程(8)的右邊，可以得到如下方程：

f(A(T1)exp(iωT0)+cc，

iwAexp(iωT0)+cc)+

(10)

對于分數(shù)階微分，當T0較大時，方程(10)的右邊第二項可以寫作：

=(iω)αA(T1)exp(iω(T0-τ))+cc

(11)

在下面的研究中，只考慮系統(tǒng)的主共振響應，記Ω=ω+εσ，(Ω-ω)T0=σT1，并消去久期項，可以得到：

(12)

為了化簡方程(12)，設：

(13)

另一方面由一個基本公式：

(14)

將方程(13)、(14)代入方程(12)，得到：

(15)

求解方程(15)，可以得到振幅a和相位η的解，因此可以得到方程(1)的近似解析解，振幅代表了國民收入在經(jīng)濟系統(tǒng)中周期性波動的幅度，得到振幅即可得到經(jīng)濟系統(tǒng)的周期性波動特征：

x(t)=a(εt)cos(Ωt-η(εt))+O(ε)

(16)

(17)

可以得到頻率響應方程：

(18)

a=a0+a1，η=η0+η1

(19)

其中a0和η0是方程(18)的解，a1、η1視作穩(wěn)態(tài)解附近微小的擾動。

將方程(19)帶入到方程(15)，可以得到(a0，η0)的線性化方程，并得到隨機微分方程：

(20)

利用矩方法，a1和η1的穩(wěn)態(tài)一階矩和二階矩滿足：

(21)

可以得到a1的一階穩(wěn)態(tài)矩和二階穩(wěn)態(tài)矩：

Ea1=0，

(22)

其中

(23)

因此可以得到方程(15)的一階和二階穩(wěn)態(tài)矩：

Ea=E(a0+a1)=a0，

(24)

三、具有非線性投資函數(shù)的經(jīng)濟周期模型分析

考慮一個帶有非線性投資函數(shù)的Goodwin型經(jīng)濟周期波動模型：

=εhcos(Ωt+γW(t))

(25)

其中x代表國民收入，β、κ、v代表經(jīng)濟系統(tǒng)的宏觀調(diào)控強度和投資函數(shù)系數(shù)。根據(jù)方程(15)，可以得到方程(25)的關于振幅和相位方程，振幅表示經(jīng)濟系統(tǒng)發(fā)生經(jīng)濟周期波動時國民收入的波動幅度：

(26)

由此可以得到方程(26)的一階和二階穩(wěn)態(tài)矩：

Ea=E(a0+a1)=a0，

(27)

其中

(28)

對方程(25)中的參數(shù)進行賦值，進行數(shù)值模擬以此來證明上述解析方法的有效性。在圖1(a)和圖1(b)中，可以看出解析結果和數(shù)值結果可以很好地吻合，這證明了解析方法的有效性；在圖1(a)中，可以得到宏觀經(jīng)濟波動的振幅有不穩(wěn)定的解，由圖1可以得到時滯現(xiàn)象對系統(tǒng)振幅的影響；由圖1(a)和圖1(c)可以看出，當不考慮系統(tǒng)的時滯現(xiàn)象時，在特定的頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)會出現(xiàn)三個穩(wěn)態(tài)解，其中只有一個是穩(wěn)定的。當考慮系統(tǒng)的時滯現(xiàn)象時，系統(tǒng)在同樣特定的頻率范圍內(nèi)只有兩個穩(wěn)態(tài)解，同樣其中只有一個是穩(wěn)定的，而系統(tǒng)的頻率島現(xiàn)象消除了，這表明時滯現(xiàn)象對宏觀經(jīng)濟波動的影響是顯著的，經(jīng)濟決策過程中必須要考慮到時滯現(xiàn)象的影響。同樣地，由圖1(c)和圖1(d)可以得到分數(shù)階導數(shù)階數(shù)對于宏觀經(jīng)濟波動幅度的影響，與時滯現(xiàn)象對系統(tǒng)波動幅度的影響是類似的。圖2是隨機強度對于經(jīng)濟波動幅度的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的影響，從圖中可以看出，隨著隨機因素的增強，經(jīng)濟波動幅度的穩(wěn)態(tài)概率密度的峰值變小了，說明隨機因素增強了經(jīng)濟系統(tǒng)的波動性，降低了經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

注：圖中實線為解析結果，菱形為數(shù)值結果：ω=1，ε=0.1，β=0.1，κ=0.5，v=0.1，h=0.5，γ=0.01；(a)α=1，τ=0；(b)α=1，τ=2；(c)α=0.2，τ=0；(d)α=0.2，τ=0.5；(e)α=0.5，τ=0.5。

圖1系統(tǒng)(25)考慮時滯與時間記憶性質(zhì)變化的頻率響應曲線圖

注：ω=1，ε=0.1，β=0.1，κ=0.5，v=0.1，α=0.5，τ=0.5，h=0.5，Ω=1.1；(a)γ=0.075；(b)γ=0.2；(c)γ=0.45。

圖2系統(tǒng)(25)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖

四、具有非線性消費函數(shù)的經(jīng)濟周期模型分析

下面將研究窄帶噪聲激勵下的含有非線性消費函數(shù)的分數(shù)階時滯經(jīng)濟周期波動模型：

=εhcos(Ωt+γW(t))

(29)

根據(jù)方程(15)，得到方程(29)的振幅和相位的微分方程，振幅表示經(jīng)濟系統(tǒng)發(fā)生經(jīng)濟周期波動時國民收入的波動幅度：

(30)

由此可以得到方程(30)的一階和二階穩(wěn)態(tài)矩：

(31)

其中

(32)

對方程(29)中的參數(shù)進行賦值，進行數(shù)值模擬以此來證明上述解析方法的有效性。在圖3中，可以看到解析結果和數(shù)值結果可以很好地吻合，這證明了解析方法的有效性；由圖4(a)和圖4(b)可以看出，當考慮宏觀經(jīng)濟調(diào)控中時滯現(xiàn)象時系統(tǒng)會發(fā)生跳躍現(xiàn)象，也就是說當消費函數(shù)為非線性函數(shù)時，當宏觀經(jīng)濟調(diào)控中存在時滯現(xiàn)象時，經(jīng)濟系統(tǒng)會發(fā)生狀態(tài)的突變，這解釋了經(jīng)濟運行中的突變現(xiàn)象；同樣地，由圖4(a)和圖4(c)可以看出，當考慮經(jīng)濟系統(tǒng)的時間記憶特性時同樣可以引發(fā)經(jīng)濟系統(tǒng)的突變，即隨機跳現(xiàn)象，也就是說宏觀經(jīng)濟調(diào)控中的記憶特性可以引發(fā)系統(tǒng)的突變，這對經(jīng)濟政策的制定具有十分重要的理論價值；圖4(e)給出了周期作用力振幅大小對系統(tǒng)波動幅度的影響，可以看出，外部的周期作用振幅越大時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解的振幅也越大，并且出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象的頻率范圍也會隨著外部的周期作用振幅的增大而增大。所以，根據(jù)圖4可以得到如下的結論：宏觀經(jīng)濟調(diào)控中的時間滯后現(xiàn)象以及宏觀經(jīng)濟調(diào)控中存在的時間記憶性都可以引發(fā)經(jīng)濟運行的狀態(tài)突變，所以計算宏觀經(jīng)濟調(diào)控記憶性質(zhì)和時間滯后現(xiàn)象對系統(tǒng)的影響對于經(jīng)濟平穩(wěn)運行是至關重要的。圖5是振幅的穩(wěn)態(tài)概率函數(shù)，從中我們可以看出隨機因素的強弱對于經(jīng)濟系統(tǒng)運行狀態(tài)的影響，當隨機強度逐漸增大，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)峰值變小，說明隨機因素減小了經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加了系統(tǒng)的波動性。而且，當隨機強度變化時，穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)由單峰變?yōu)殡p峰，出現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的分岔現(xiàn)象。

注：實線為解析結果，菱形為數(shù)值結果；ω=1，ε=0.1，β=0.5，δ=0.5，α=0.8，τ=0.1，h=0.5，γ=0.01。

圖3系統(tǒng)(29)頻率響應曲線圖

注：ω=1，ε=0.1，β=0.5，δ=0.5，h=0.5，γ=0.01；(a)α=1，τ=0；(b)α=1，τ=1.3；(c)α=0.2，τ=0；(d)α=0.5，τ=0.5。

圖4系統(tǒng)(29)考慮時滯與時間記憶性質(zhì)變化的頻率響應曲線圖

注：ω=1，ε=0.1，β=0.5，δ=0.5，α=0.5，τ=0.5，h=0.5，Ω=1.1；(a)γ=0.075；(b)γ=0.2；(c)γ=0.45。

圖5系統(tǒng)(29)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖

五、結 論

本文建立了窄帶噪聲激勵下的分數(shù)階時滯經(jīng)濟周期波動模型。利用多尺度方法得到了一般宏觀經(jīng)濟波動模型的解析解，同時得到了非平凡解的一階和二階穩(wěn)態(tài)矩。通過對具有非線性投資函數(shù)和非線性消費函數(shù)的宏觀經(jīng)濟波動模型進行分析，可以得到分數(shù)階導數(shù)階數(shù)與宏觀經(jīng)濟調(diào)控中時滯現(xiàn)象對于宏觀經(jīng)濟波動的影響。當經(jīng)濟系統(tǒng)含有非線性投資函數(shù)時，經(jīng)濟系統(tǒng)的記憶性質(zhì)和時間滯后現(xiàn)象都可以改變系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的個數(shù)，而且可以消除頻率島現(xiàn)象，這意味著經(jīng)濟系統(tǒng)的波動性質(zhì)也發(fā)生改變；當經(jīng)濟系統(tǒng)含有非線性的消費函數(shù)時，宏觀經(jīng)濟調(diào)控中的時滯現(xiàn)象以及宏觀經(jīng)濟調(diào)控中存在的時間記憶性都可以引發(fā)經(jīng)濟運行的狀態(tài)突變。外部的隨機擾動減小了經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加了系統(tǒng)的波動性，而且在含有非線性消費函數(shù)的經(jīng)濟系統(tǒng)中，隨機擾動可以引發(fā)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)發(fā)生分岔現(xiàn)象。