基于橋聯(lián)模型預(yù)測層合板分層萌生載荷

顧嘉杰, 黃爭鳴

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

復(fù)合材料因比強(qiáng)度和比剛度高、可設(shè)計(jì)性好等特點(diǎn)，在航空結(jié)構(gòu)中廣泛使用，用量可占飛機(jī)總重的50%以上[1]。而層合板的分層破壞是復(fù)合材料中最常見的破壞形式之一[2-4]，其原因是層合板受載時(shí)，各單層板的泊松比和拉剪耦合系數(shù)不匹配，自由邊會(huì)產(chǎn)生很高的層間應(yīng)力，導(dǎo)致層合板提前破壞[5-6]，因此，對(duì)層合板的分層研究具有重要意義。

預(yù)測層合板的分層萌生的方法目前主要有兩種：強(qiáng)度方法[7-12]和能量方法[13-17]。強(qiáng)度方法是計(jì)算出層間應(yīng)力，與層間強(qiáng)度進(jìn)行比較，該方法需引入特征長度來解決層間應(yīng)力的奇異性問題[18-19]，但對(duì)于特征長度還沒有統(tǒng)一確定方法。Kim等[7]假設(shè)特征長度為一個(gè)單層板厚度，層間強(qiáng)度為單層板的橫向強(qiáng)度，這種確定方法也被其他學(xué)者使用[8]。Sun等[9]則選擇了6個(gè)特征長度來預(yù)測分層萌生，確定特征長度為兩個(gè)單層板厚度最合適。Brewer等[10]認(rèn)為特征長度應(yīng)通過實(shí)驗(yàn)測得，與單層板厚度無關(guān)。Lorriot[11-12]提出了一個(gè)確定特征長度和層間強(qiáng)度的方法，通過一種層合板的分層實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的臨界長度和層間強(qiáng)度，再應(yīng)用到其他角度層合板的分層預(yù)測中。能量方法是根據(jù)層間能量釋放率來判斷分層是否發(fā)生，需要臨界能量釋放率和有效裂紋長度[13]。Martin等[14]將強(qiáng)度和能量兩種方法結(jié)合起來，認(rèn)為只有兩個(gè)條件同時(shí)滿足分層才會(huì)發(fā)生。此外內(nèi)聚力單元（cohesive element）也用來模擬層合板分層的萌生和擴(kuò)展，需要層間的剛度、強(qiáng)度和臨界能量釋放率等參數(shù)。Turon[15]等對(duì)層間剛度提出了一個(gè)顯示公式，認(rèn)為當(dāng)層間上某一點(diǎn)不再承受應(yīng)力時(shí)，則分層發(fā)生。Uguen[16]等分析了這三種參數(shù)對(duì)分層萌生的影響，預(yù)測了層合板[±θn]s的分層載荷，最大誤差27.3%。Mohammadi等[17]用有厚度的界面單元來模擬分層萌生，認(rèn)為當(dāng)界面上某一點(diǎn)的應(yīng)力達(dá)到層間強(qiáng)度時(shí)，則分層出現(xiàn)。

層合板本質(zhì)上由基體樹脂將單層板粘在一起，其分層萌生一定由基體樹脂控制，基體樹脂性能對(duì)層合板的分層有很大影響[20]。本工作對(duì)層合板的分層萌生提出一個(gè)基于細(xì)觀力學(xué)橋聯(lián)模型的分析方法。由組分材料預(yù)測出單層板的性能，然后通過有限元計(jì)算層合板的應(yīng)力場，用橋聯(lián)模型計(jì)算纖維和基體樹脂的應(yīng)力，并通過Mohr判據(jù)來判斷基體樹脂的破壞，最后對(duì)T800/914層合板[±θn]s進(jìn)行預(yù)測。

1 有限元模型

1.1 材料參數(shù)

Lorriot[11]對(duì)T800/914層合板[±θn]s進(jìn)行了分層萌生的實(shí)驗(yàn)測定，文中只給出了單層板的彈性常數(shù)，但根據(jù)文獻(xiàn)[21]由橋聯(lián)模型預(yù)測的IM7/914-C單層板的性能與T800/914單層板相匹配，見表1，因此用IM7/914-C中組分材料的性能來代替T800/914，見表2。

表1 單層板的力學(xué)性能Table1 Mechanical properties of UD composites

表2 組分材料IM7和914-C的力學(xué)性能[21]Table2 Original mechanical properties on IM7 fiber and 914-C matrix[21]

通過表2中組分材料預(yù)測單層板的性能時(shí)，纖維體積含量Vf調(diào)整為0.55來使兩種單層板的性能一致。從分層實(shí)驗(yàn)[22]中看出，分層萌生之前層合板的應(yīng)力應(yīng)變曲線保持線性，因此本工作也沒考慮組分材料的非線性。

1.2 層合板離散

層合板[±θ]s的尺寸如下：長度L = 40 mm、寬度b = 15 mm、總厚度h = 4t，單層板厚度t = 0.125 mm。如圖1所示，坐標(biāo)X、Y、Z分別對(duì)應(yīng)層合板的長度、寬度和厚度。一個(gè)均勻的拉伸應(yīng)力σ作用在表面X = L。由于對(duì)稱性，實(shí)際建模只取層合板的上半部分，邊界條件為：

式中，u，v，w為對(duì)應(yīng)著X、Y、Z方向的位移。

圖1 層合板[±θ]sFig.1 Geometry of a [±θ]s laminate

以ABAQUS軟件為平臺(tái)，對(duì)每個(gè)單層賦予預(yù)測的單層板性能和相應(yīng)的角度，用8節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元（C3D8R）劃分網(wǎng)格，在X-Y平面，寬度方向劃分136個(gè)單元，長度方向107個(gè)單元，并且越靠近自由邊網(wǎng)格越密，如圖2所示。每個(gè)單元在局部坐標(biāo)下可看成是單層板的一個(gè)特征體元（RVE）。

圖2 層合板X-Y平面的網(wǎng)格劃分Fig.2 Meshing of X-Y plane of a laminated plate

2 內(nèi)應(yīng)力計(jì)算

2.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

求特征體元中纖維和基體的應(yīng)力之前，有限元計(jì)算的各單元應(yīng)力{σ}G= {σxx，σyy，σzz，σyz，σxz，σxy}T需通過式（2）轉(zhuǎn)化成局部坐標(biāo)下的應(yīng)力{σ} = {σ11，σ22，σ33，σ23，σ13，σ12}T，如圖3所示，x、y、z對(duì)應(yīng)整體坐標(biāo)，x1、x2、x3對(duì)應(yīng)局部坐標(biāo)。

式中，[Tij]c是坐標(biāo)變換矩陣，可見參考文獻(xiàn)[23]。

圖3 層合板局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)示意圖Fig.3 Global coordinates and local coordinates

2.2 橋聯(lián)模型

橋聯(lián)模型[24]基本思路是：復(fù)合材料受外載作用且沒有破壞時(shí)，其組分材料（纖維和基體樹脂）內(nèi)應(yīng)力之間必存在一個(gè)系數(shù)矩陣，使兩者之間互為函數(shù)關(guān)系。設(shè){σm}為樹脂應(yīng)力，{σf}為纖維應(yīng)力，則有：

且任何復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)理論模型都必須滿足基本方程：

結(jié)合式（3）和式（4）確定纖維和基體樹脂的應(yīng)力：

三維橋聯(lián)矩陣[A]可用以下形式表達(dá)：

其中[I]為6階單位矩陣；{σij}為單元的應(yīng)力向量；α和β為橋聯(lián)參數(shù)。文獻(xiàn)[24]通過對(duì)18種單向板的剛度預(yù)測，發(fā)現(xiàn)橋聯(lián)參數(shù)α和β均取0.3時(shí)與測量值綜合吻合最好，因此，將橋聯(lián)參數(shù)均取0.3。Em為基體樹脂的彈性模量；Gm為基體樹脂的剪切模量；νm是基體樹脂的泊松比； Ef,11為纖維軸向的彈性模量； Ef,22為纖維橫向的彈性模量， νf,12是纖維面內(nèi)的泊松比；Gf,12為纖維的面內(nèi)剪切模量。

2.3 分層判據(jù)

如前所述，分層萌生源自基體樹脂破壞，本研究采用Mohr判據(jù)[25]來檢測基體樹脂的破壞情況。Mohr認(rèn)為在各種應(yīng)力狀態(tài)下材料發(fā)生破壞時(shí)，由主應(yīng)力σ1和σ3所作的所有應(yīng)力圓有一條公共的包絡(luò)線，如果材料某一應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力圓與該包絡(luò)線內(nèi)切，材料就破壞。本研究用基體樹脂的單軸拉伸實(shí)驗(yàn)和純剪切實(shí)驗(yàn)破壞時(shí)的應(yīng)力圓的二次曲線公切線，來近似該包絡(luò)線，如圖4所示，σu,t是樹脂的拉伸強(qiáng)度，σu,s是樹脂的剪切強(qiáng)度。

基體的應(yīng)力狀態(tài){σ} = {σ11，σ22，σ33，σ23，σ13，σ12}T用{，，，，，}T= δ{σ11，σ22，σ33，σ23，σ13，σ12}T替代，假設(shè)二次曲線和應(yīng)力圓的方程分別為：

圖4 由純剪切和單軸拉伸實(shí)驗(yàn)近似的Mohr包絡(luò)線Fig.4 Mohr envelope approximated by pure shear and uniaxial tensile tests

當(dāng)材料破壞時(shí)，二次曲線和應(yīng)力圓相切且只有一個(gè)切點(diǎn)，其充分必要條件是：

當(dāng)從式（14)中解出0 ＜ δ ≤ 1，意味著材料發(fā)生破壞，否則材料將不會(huì)破壞。若基體樹脂產(chǎn)生了拉伸破壞（σn＞ 0），認(rèn)為層合板萌生了分層。

3 結(jié)果與討論

3.1 有限元模擬結(jié)果

層合板[±θn]s受軸向拉應(yīng)力時(shí)，（+θ/-θ）層間應(yīng)力σzz和σyz非常小。若層合板發(fā)生分層， 必然由層間應(yīng)力σxz引起[11]。通過在各個(gè)單層板厚度方向上劃分不同數(shù)目的單元來研究自由邊層間應(yīng)力分布。

以層合板[±10]s為例，圖5為單層板厚度方向上劃分不同單元數(shù)（m = 2、4、6、8、10）計(jì)算出的層間應(yīng)力σxz在層間（+10/-10）上沿寬度方向的分布，橫坐標(biāo)是自由邊沿內(nèi)寬度方向的距離，縱坐標(biāo)是層間應(yīng)力大小，m代表單層板厚度方向的單元數(shù)，Lorriot[11]計(jì)算的層間應(yīng)力也列于圖5中。從圖5中可知，層間應(yīng)力σxz只存在于自由邊很小區(qū)域中，其寬度是一個(gè)層合板厚度h。當(dāng)單層板厚度方向上劃分不同數(shù)目單元時(shí)，在自由邊y = 0處有限元計(jì)算的層間應(yīng)力σxz不同，即自由邊緣處的層間應(yīng)力σxz不收斂，這種情況早已發(fā)現(xiàn)[18-19]。這是由單層板性能的不連續(xù)造成的，因?yàn)閼?yīng)力奇異性只出現(xiàn)在層間（+θ/-θ）上，在性能連續(xù)的中面則沒有出現(xiàn)[19]。

圖5 厚度上劃分不同數(shù)目單元時(shí)T800/914層合板[±10]s在界面（+10/-10）z = t上層間應(yīng)力 σxz沿y方向的應(yīng)力分布Fig.5 Interlaminar stress σxz at interface (+10/-10) z = t in T800/914 [±10]s laminate versus y for different numbers of elements along thickness of each layer

圖6 為單層板厚度方向上劃分不同單元數(shù)（m = 2、4、6、8、10）計(jì)算出的層間應(yīng)力 σxz在自由邊y = 0沿厚度方向的分布，并與文獻(xiàn)[12]進(jìn)行了對(duì)比，橫坐標(biāo)是對(duì)稱面沿厚度方向的距離，縱坐標(biāo)是層間應(yīng)力大小，在層合板上表面z = 0.5h和對(duì)稱面z = 0處，層間應(yīng)力σxz等于0，而在層間（+10/-10）z= 0.25h處，層間應(yīng)力σxz達(dá)到最大值，與實(shí)驗(yàn)觀察到的分層位置一致[12]，同樣能觀察到應(yīng)力奇異性。

圖6 厚度上劃分不同數(shù)目單元時(shí)層合板[±10]s在自由邊y = 0處層間應(yīng)力σxz沿z方向的應(yīng)力分布Fig.6 Interlaminar stress σxz at y = 0 in T800/914 [±10]s laminate versus z for different number of elements through thickness of each layer

對(duì)于應(yīng)力奇異性，可通過沿單層板厚度方向?qū)娱g應(yīng)力σxz平均來消除。假定單層板沿厚度方向上劃分m個(gè)單元，則在單層板中將x、y坐標(biāo)相同而z（厚度）坐標(biāo)不同的m個(gè)單元的應(yīng)力進(jìn)行算術(shù)平均。圖7為沿單層板厚度劃分不同單元數(shù)（m =2、4、6、8、10）時(shí)，厚度方向平均后的層間應(yīng)力σxz沿寬度方向的應(yīng)力分布。從圖7可知，當(dāng)單層板厚度方向上單元數(shù)m大于2時(shí)，平均后的層間應(yīng)力σxz在自由邊y = 0處是一個(gè)常數(shù)，與m無關(guān)。因此將單層板厚度方向平均后的應(yīng)力作為橋聯(lián)模型的輸入?yún)?shù)，計(jì)算該點(diǎn)處基體樹脂和纖維的應(yīng)力。

圖7 平均后層合板T800/914 [±10]s的層間應(yīng)力σxz沿y方向的應(yīng)力分布Fig.7 Average interlaminar stress σxz in T800/914 [±10]s laminate versus y

3.2 分層萌生預(yù)測

利用有限元方法、橋聯(lián)理論和基體樹脂的破壞判據(jù)，只需提供基體樹脂的原始強(qiáng)度即可預(yù)測層合板分層萌生載荷，T800/914層合板[±10n]s, [±20n]s和 [±30n]s（n = 1～5）的分層萌生載荷的實(shí)驗(yàn)值[11]和預(yù)測值見表3。

從表3可知，除了層合板[±304]s的誤差是21.5%，其他層合板的預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值的誤差都在20%之內(nèi)，平均誤差是10.3%，與文獻(xiàn)[14]用內(nèi)聚力單元預(yù)測出的分層載荷的最大誤差27.3%相比要低。預(yù)測值表明：相同角度的單層板的層數(shù)n越多，分層萌生的載荷就越小；層數(shù)n相同時(shí)，角度θ越大，分層萌生的載荷越小，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。除了層合板[±105]s外，其他層合板的預(yù)測值都偏大，這可能是沒有考慮纖維和基體樹脂的界面脫粘造成的。雖然分層由基體樹脂的破壞所控制，但纖維和基體樹脂之間界面脫粘往往更早出現(xiàn)[26]，一旦界面發(fā)生脫粘，就會(huì)導(dǎo)致基體樹脂提前破壞。

結(jié)果顯示，橋聯(lián)理論預(yù)測的單層板性能與文獻(xiàn)[11]一致，結(jié)合有限元計(jì)算出層合板的應(yīng)力場也與文獻(xiàn)[11]吻合。在此基礎(chǔ)上，橋聯(lián)模型計(jì)算出的基體樹脂應(yīng)力場在自由邊附近很復(fù)雜，以層合板[±10]s為例，如圖8所示，在局部坐標(biāo)下，除基體樹脂的面外正應(yīng)力很小外，其他應(yīng)力都存在，用Mohr判據(jù)來判斷基體樹脂的破壞能夠綜合所有應(yīng)力的影響，而且只需基體樹脂的原始強(qiáng)度就能預(yù)測出層合板[±θn]s分層萌生載荷。

表3 T800/914層合板[±θn]s的預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值[11]對(duì)比Table3 Predicted and measured delamination initiation loads[11] for T800/914 angle-plied laminates

圖8 橋聯(lián)模型得到層合板[±10]s的基體應(yīng)力沿寬度方向的應(yīng)力分布Fig.8 Stresses of matrix determined by bridging model in T800/914 [±10]s versus y

4 結(jié)論

（1）有限元計(jì)算層合板[±θn]s的應(yīng)力時(shí)，自由邊層間應(yīng)力存在奇異性，可通過沿單層板厚度方向平均予以解決。

（2）研究層合板[±θn]s分層萌生問題時(shí)，通過基體樹脂的單軸拉伸強(qiáng)度和純剪切強(qiáng)度近似的破壞包絡(luò)線，可足夠精確地判斷基體樹脂在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的破壞情況。

（3）相比于依賴大量分層實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的宏觀方法，橋聯(lián)模型僅根據(jù)組分材料性能，就能預(yù)測出T800/914層合板[±θn]s的分層萌生載荷。