利用月掩星現(xiàn)象測(cè)量月球公轉(zhuǎn)周期

李壯壯，崔士舉

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院, 吉林 長春 130024)

月亮在天空自西向東移動(dòng)，有時(shí)候會(huì)把天上的星星遮蔽起來，這種現(xiàn)象叫做“月掩星”[1]. 觀測(cè)月掩星能幫助我們研究月亮上有無大氣，利用月掩星光電觀測(cè)還可以測(cè)定恒星的角直徑[2]、多顆恒星的分離[3]及測(cè)量地球自轉(zhuǎn)的長期變化[4]等. 所以世界各國天文臺(tái)都很重視觀測(cè)月掩星的現(xiàn)象[1].

在月掩星現(xiàn)象即將開始階段(可以不考慮邊緣衍射[5])，通過觀測(cè)月球相對(duì)遙遠(yuǎn)恒星的相對(duì)視角隨時(shí)間的變化，加上地球自轉(zhuǎn)的影響，結(jié)合電腦軟件處理，在短時(shí)間內(nèi)得到月球公轉(zhuǎn)周期. 由于時(shí)間短，現(xiàn)象普遍，該實(shí)驗(yàn)可以用作科普實(shí)驗(yàn)，也可用作培養(yǎng)學(xué)生興趣和動(dòng)手能力的教學(xué)實(shí)驗(yàn). 長期觀測(cè)，則可以研究月球公轉(zhuǎn)角速率的變化.

1 實(shí)驗(yàn)研究

該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了2次觀測(cè)，第1次在2018年3月25日19:10，第2次在2018年7月23日21:00，2次均在東北師范大學(xué)物理學(xué)院天文臺(tái)觀測(cè).

1.1 實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)使用了Sky-Watcher 150PDS望遠(yuǎn)鏡(D=150 mm,F=750 mm)[圖1(a)]，ZWO ASI120MC攝像頭[圖1(b)示]、數(shù)據(jù)線、雙軸電跟、聯(lián)想牌筆記本電腦.

(a)望遠(yuǎn)鏡

(b)攝像頭圖1 實(shí)驗(yàn)儀器

1.2 實(shí)驗(yàn)觀測(cè)

1.2.1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

圖2是第1次觀測(cè)的圖片，圖3是第2次觀測(cè)的圖片，箭頭指向恒星. 由于拍攝的照片不易觀測(cè)，圖2～3均使用了Photoshop cs8.01軟件進(jìn)行反相，調(diào)節(jié)對(duì)比度為40%，亮度為40%，及調(diào)節(jié)色階處理，最后對(duì)星點(diǎn)進(jìn)行了顏色加深處理.

(a)開始觀測(cè)時(shí)

(b)大約6 min后圖2 第1次觀測(cè)

(a)開始觀測(cè)時(shí)

(b)大約6 min后圖3 第2次觀測(cè)

1.2.2 數(shù)據(jù)測(cè)量及處理

月球公轉(zhuǎn)軌道參量和物理參量如下[6]：近地點(diǎn)距離362 570 km,遠(yuǎn)地點(diǎn)距離405 410 km,半長軸s為384 399 km(本文以半長軸為月球軌道半徑計(jì)算)，軌道周期為27.321 582 d,平均半徑1 737.10 km,質(zhì)量7.347 7×1022kg. 2次觀測(cè)處理方法相似，以第1次處理方法為例.

1)定標(biāo)

將視頻中的某一幀圖片提取出來并保存為圖片格式(此次提取最后一幀)，用Photoshop調(diào)整亮度和對(duì)比度并進(jìn)行usm銳化處理，使之更清晰，再將此圖片導(dǎo)入到迅捷CAD編輯器，利用該軟件作圖和測(cè)量的功能進(jìn)行定標(biāo)，步驟為：

a. 在圖片上顯示的部分月面的邊緣部分標(biāo)記3個(gè)點(diǎn)，并用線段連接相鄰的2個(gè)點(diǎn)；

b. 畫出這2條線段的中垂線，2條中垂線的交點(diǎn)即為月球在此平面投影出的圓的圓心；

c. 利用該軟件的測(cè)量功能，測(cè)量圓面的邊緣到圓心的距離，得到1個(gè)數(shù)值，在測(cè)量數(shù)據(jù)窗口設(shè)置尺寸中填入月球平均半徑，會(huì)自動(dòng)生成相應(yīng)的比例；

d. 在該比例下，測(cè)量出此圖像畫面的長，得到的數(shù)據(jù)記錄下來，定標(biāo)結(jié)束. 如圖4(a)所示.

(a)定標(biāo)

(b)建立坐標(biāo)圖4 定標(biāo)建系

2)跟蹤測(cè)量

打開Tracker軟件，將完整視頻導(dǎo)入，利用Tracker軟件進(jìn)行月球和恒星相對(duì)位置的跟蹤和測(cè)量，步驟為：

a.建立坐標(biāo)軸，選圖片左下角作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)如圖4(b)所示；

b.建立定標(biāo)尺，將定標(biāo)尺與視頻畫面的長重合，將用CAD編輯器測(cè)出的定標(biāo)數(shù)據(jù)填入，回車鍵確認(rèn)；

c.建立矢量B，將視頻調(diào)到第1幀，記下月球某點(diǎn)在圖中位置及恒星在圖中位置，之后找到月球恰好要遮到恒星的那幀圖像，設(shè)置視頻只播放到此位置，并記錄此時(shí)恒星和月球某點(diǎn)(遮到恒星處)相對(duì)于圖像的位置；

d.利用矢量B畫出恒星相對(duì)圖像(建立的坐標(biāo)系)的位矢B0，月球相對(duì)圖像的位矢B1，找到月球相對(duì)于恒星的相對(duì)位矢B2，如圖5所示；

e.建立矢量A，設(shè)置視頻每次間隔10幀顯示1次畫面，將每次畫面中的月球某固定點(diǎn)(月球遮到恒星的點(diǎn))與恒星點(diǎn)用矢量A連接，并保持矢量Ai平行于位矢B1，畫出若干位矢，即A1，A2，A3…，如圖5所示；

圖5 跟蹤測(cè)量

f.將測(cè)量的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel表格，并將幀數(shù)換成對(duì)應(yīng)時(shí)間，在Origin軟件中畫出位矢A的長度隨時(shí)間的變化曲線，即月球相對(duì)于恒星的距離在月球公轉(zhuǎn)軌道切面(月球直徑遠(yuǎn)小于地月距離，近似認(rèn)為在公轉(zhuǎn)軌道切面上)的投影長度隨時(shí)間的變化曲線，如圖6所示；

g.利用線性擬合得到月球相對(duì)恒星在運(yùn)行軌道切面投影的速度，通過近似計(jì)算得到月球公轉(zhuǎn)軌道周期. 根據(jù)圖6所示線性擬合方程

l=-0.700 5t+460.5 ，

圖6 月球和恒星平面投影相對(duì)距離l隨時(shí)間t變化

2 理論修正

2.1 恒星認(rèn)為不動(dòng)的解釋

第1次拍攝時(shí)間在2018年3月25日 19:10分，通過Star Walk確定視頻中的移動(dòng)的亮點(diǎn)為HIP 34243星，距離太陽的平均距離為3 545.254 ly，并假設(shè)此星移動(dòng)速度為光速(實(shí)際遠(yuǎn)小于光速)，觀測(cè)時(shí)間約為642 s，則移動(dòng)視角為β=5.742×10-9rad,遠(yuǎn)小于10-6量級(jí)，而恒星運(yùn)動(dòng)速率實(shí)際是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速的，故更可以認(rèn)為恒星是靜止不動(dòng)的.

2.2 修正地球自轉(zhuǎn)影響

以上計(jì)算結(jié)果和實(shí)際月球軌道周期對(duì)比相差很大，主要原因是地球自轉(zhuǎn)的影響，對(duì)于月球自轉(zhuǎn)，由于自轉(zhuǎn)周期和地球基本同步，在較短的時(shí)間內(nèi)其影響可忽略不計(jì). 如圖7所示，其中r是圖8中的r，不是地球半徑；對(duì)于圖8，開始觀測(cè)時(shí)觀測(cè)者在C位置，一段時(shí)間后，到D位置，月球從藍(lán)色位置到白色位置，其中是CE長度，近似等于地月距離s(r?s,故r+d≈d≈s),而地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響主要在于CD，故可以簡(jiǎn)化模型，變成如圖7所示，其中h為觀測(cè)者認(rèn)為月球移動(dòng)的距離，h+x為月球?qū)嶋H運(yùn)動(dòng)的距離,s為地月距離，r為如圖2中r，θ為觀測(cè)時(shí)間內(nèi)地球轉(zhuǎn)過的角度(很小)，l為恒星距離地球的距離(l?s)，α為觀察者的地理緯度.

其中地球自轉(zhuǎn)角速度為

月球繞地公轉(zhuǎn)半長軸為[6]：

s=384 399 km.

圖7 簡(jiǎn)化模型

圖8 三維模型

在計(jì)算中可以簡(jiǎn)單地把地球作為圓球，半徑約為[7]R=6 371 km，觀測(cè)地的緯度α=43°51′，則

算得周期為

與實(shí)際軌道周期：27.322 d相差少于1 d，相對(duì)偏差為η=1.09%. 可見此方法還是可行的.

圖9為第2次測(cè)量的數(shù)據(jù)處理，同上的處理方法及加上地球的自轉(zhuǎn)的影響，使用Star Walk軟件確定第2次觀測(cè)對(duì)應(yīng)的亮星為HIP82465星，到太陽的平均距離為982.42 ly，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于地月距離，在短時(shí)間觀測(cè)可以近似認(rèn)為亮星位置保持不變. 最終求得3次計(jì)算的公轉(zhuǎn)周期分別為：27.351 d，27.205 d，27.091 d，平均約為27.216 d，接近實(shí)際運(yùn)行周期27.322 d.

(a)星月地夾角θ隨時(shí)間t變化

(b)星月地夾角θ隨時(shí)間t變化

(c)星月地夾角θ隨時(shí)間t變化圖9 第2次觀測(cè)結(jié)果

3 誤差來源及分析

誤差產(chǎn)生來源于主要有：

1)實(shí)際軌道為橢圓軌道，而本實(shí)驗(yàn)近似為簡(jiǎn)單的圓軌道；

2)跟蹤月球和恒星距離變化過程中不能完全跟準(zhǔn)在月球上的固定點(diǎn)，采用多次跟蹤測(cè)量求平均值(如第2次觀測(cè)處理)，但還會(huì)存在誤差；

3)修正地球自轉(zhuǎn)影響時(shí)為方便采用了近似.

以第1次觀測(cè)為例，由于月球繞地球運(yùn)動(dòng)是橢圓軌道，而本文按圓形軌道計(jì)算，實(shí)際月球繞地球公轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)有近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，在不同的位置月球公轉(zhuǎn)的線速度是不同的，而這里采用的方法測(cè)得的是觀測(cè)時(shí)間內(nèi)的月球平均公轉(zhuǎn)線速度，相對(duì)于月球運(yùn)轉(zhuǎn)軌道周期來說可以認(rèn)為是瞬時(shí)速度大小，此速度應(yīng)該是在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)速度大小之間，通過以上觀測(cè)和計(jì)算得到第一次觀測(cè)時(shí)月球在該時(shí)間內(nèi)的平均公轉(zhuǎn)線速度大小為

v=ω實(shí)s=1 036.17 m/s.

月球在遠(yuǎn)地點(diǎn)的瞬時(shí)速度大小為

可見實(shí)際觀察的瞬時(shí)速度大小在其范圍內(nèi)，可認(rèn)為是可行的.

4 結(jié)果與討論

通過以上的處理和計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)用月掩星現(xiàn)象測(cè)量月球公轉(zhuǎn)周期的方法是可行的，由于月掩星現(xiàn)象相比于月食現(xiàn)象更普遍，而且觀測(cè)時(shí)間較短，使用儀器簡(jiǎn)單. 雖然會(huì)產(chǎn)生一定誤差，但用于天文學(xué)教學(xué)、科普教學(xué)還是可行的. 改進(jìn)更精準(zhǔn)的方法和應(yīng)用更全面的理論則可以用于科學(xué)研究，長期觀測(cè)以考察地球自轉(zhuǎn)和月球公轉(zhuǎn)的變化[4]等都具有實(shí)際意義.