基于狀態(tài)反饋控制的磁懸浮球系統(tǒng)

劉翊馨,鐘志賢,祁雁英,王家園,段一戩

(桂林理工大學(xué) 機(jī)械與控制工程學(xué)院,廣西 桂林 541006)

0 引 言

磁懸浮技術(shù)在很多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。磁懸浮球控制系統(tǒng)是研究磁懸浮技術(shù)的一個(gè)基本平臺(tái),已有眾多學(xué)者對(duì)磁懸浮球的控制方法進(jìn)行了研究[1-4]。張井崗等[5]對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)進(jìn)行了分?jǐn)?shù)階滑膜控制,仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法有效地解決了滑膜控制方法中易于出現(xiàn)的抖振問題,并且在跟蹤性能、魯棒性等方面優(yōu)于滑膜控制方法。邵雪卷等[6]提出了一種模糊自適應(yīng)預(yù)測(cè)函數(shù)的控制方法,結(jié)果表明該方法能使小球?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定懸浮,且有更好的性能指標(biāo)。李群明等[7]對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)進(jìn)行了H∞控制,設(shè)計(jì)了一個(gè)魯棒控制器,對(duì)磁懸浮球的攝動(dòng)及外界擾動(dòng)具有較好的魯棒性。朱堅(jiān)民等[8]設(shè)計(jì)了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反饋補(bǔ)償?shù)目刂破?極大地提高了對(duì)系統(tǒng)的控制精度。陳亞棟等[9]對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)的二自由度PID控制進(jìn)行了研究,設(shè)計(jì)了2-DOF PID控制器,分析表明該控制器能使系統(tǒng)具有較好的抗干擾性。

現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)反饋控制法不需要全面了解系統(tǒng)的內(nèi)部構(gòu)造,僅是通過狀態(tài)變量就能展現(xiàn)出系統(tǒng)的品質(zhì)指標(biāo)和內(nèi)部特性,相比輸出反饋控制方法,狀態(tài)反饋控制法具有更好的操作性和優(yōu)越性,因而在電力電子、機(jī)械、化工等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[10-13]。湯潔等[14]對(duì)系統(tǒng)引入誤差積分的控制,結(jié)果表明系統(tǒng)能達(dá)到穩(wěn)態(tài)無靜差的預(yù)期設(shè)定要求。陳亮亮等[15]在研究對(duì)電磁軸承的高速飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制算法時(shí),在其中應(yīng)用了一個(gè)狀態(tài)反饋模塊,仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該控制方法能夠使飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮，并具有很好的魯棒性。白龍等[16]設(shè)計(jì)了一種混合整流全狀態(tài)反饋控制器,來穩(wěn)定直流供電輸出,與傳統(tǒng)方法相比,不僅穩(wěn)定了電壓，還更節(jié)省能源。徐和飛等[17]對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)引入了一個(gè)γ-次優(yōu)H∞靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器,仿真結(jié)果表明使用該控制器的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。李賓等[18]在研究三階LCL濾波器中引入狀態(tài)變量反饋,改進(jìn)觀測(cè)器極點(diǎn)配置,使整個(gè)系統(tǒng)獲得最好的性能,并在一臺(tái)試驗(yàn)樣機(jī)上驗(yàn)證了該方法的有效性。

鑒于此， 本文將磁懸浮球控制系統(tǒng)作為研究對(duì)象, 結(jié)合固高GML2001磁懸浮球?qū)嶒?yàn)臺(tái)，運(yùn)用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)出一種基于跟蹤的狀態(tài)反饋控制器。

1 磁懸浮球系統(tǒng)的組成及數(shù)學(xué)模型

磁懸浮球控制系統(tǒng)由電磁鐵繞組、激光位移傳感器、功率放大器、控制器及一個(gè)小鋼球組成。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of magnetic system

在理想狀態(tài)下,小球豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程描述為

(1)

式中:x—鋼球質(zhì)心與電磁鐵磁極之間的氣隙長(zhǎng)度(以磁極面為零點(diǎn)),m;m—鋼球的質(zhì)量,kg;F(i,x)—電磁吸力,N;i—電磁鐵繞組電流，A；g—重力加速度, m/s2。

當(dāng)鋼球受到向上的電磁力與自身的重力相等時(shí),鋼球處于平衡狀態(tài)，表示為

mg+F(i0,x0)=0，

(2)

用微分方程來描述系統(tǒng),則有

(3)

將式(3)進(jìn)行拉普拉斯變換,有

(4)

把邊界方程mg=-K(i0/x0)2代入式(4)得到系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

(5)

定義系統(tǒng)對(duì)象輸出量x反映出的輸出電壓為Uout, 其同時(shí)也是傳感器后處理電路的輸出電壓,則該系統(tǒng)的控制對(duì)象模型可表示為

(6)

式中: 系數(shù)A=i0/2g, 系數(shù)B=i0/x0。將表1中的部分參數(shù)值代入式(6),有

(7)

表1 磁懸浮球主要物理參數(shù)值Table 1 Main physical parameters of the maglev ball

2 狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

將狀態(tài)反饋增益矩陣K引入該系統(tǒng),閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為

(8)

其傳遞函數(shù)為

Gk(s)=C[sI-(A-BK)]-1B。

(9)

根據(jù)預(yù)期性能, 引入合適的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間, 采用Matlab仿真得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線, 如圖2所示。 系統(tǒng)出現(xiàn)了較大的穩(wěn)態(tài)誤差, 且不能及時(shí)跟蹤階躍輸入。 為改善控制器的跟蹤性能, 選擇采用偏差積分來抑制或消除單輸入單輸出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 向原系統(tǒng)引入一個(gè)偏差向量積分q(t),有：

圖2 初定程序的狀態(tài)反饋階躍響應(yīng)曲線Fig.2 State feedback step response curve of initial program

(10)

式中:K1、K2為狀態(tài)反饋矩陣；K1x是原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋；K2q是為了提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)而加上的偏差向量積分控制。 這是一個(gè)由被控對(duì)象的狀態(tài)反饋和偏差向量組成的復(fù)合控制, 也相當(dāng)于是一個(gè)比例積分控制器。 將q作為附加狀態(tài)向量后, 此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為式(11), 結(jié)構(gòu)見圖3。

圖3 基于跟蹤的狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Tracking-based state feedback structure diagram

(11)

所設(shè)計(jì)控制器的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

f(s)=s[sI-(A-BK1)]

=s3+k1bb21s2+(k1ab21a12-a21a12)s,

(13)

其中,a3=1,a2=k1bb21,a1=k1ab21a12-a21a12,a0=0。

根據(jù)Routh判據(jù),若要使系統(tǒng)穩(wěn)定,則需ai>0(i=1,2,3), 且c13>0。

即

(14)

解得

(15)

3 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器的仿真Fig.4 Simulation of system state feedback controller

圖5所示為狀態(tài)反饋控制器與PID控制器階躍響應(yīng)的對(duì)比,建立的狀態(tài)反饋仿真控制器與PID仿真控制器均能使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定狀態(tài),能跟上階躍輸入,但在應(yīng)用狀態(tài)反饋控制器時(shí),并無明顯穩(wěn)態(tài)誤差。

圖5 狀態(tài)反饋控制器與PID程序階躍響應(yīng)曲線Fig.5 Step response curves of PID controller program and state feedback

在Simulink中建立磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器如圖6所示,鋼球處于穩(wěn)定懸浮狀態(tài)下的輸出波形如圖7所示,鋼球在系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的工作狀態(tài)見圖8。

由圖7可知,位移標(biāo)定基本穩(wěn)定在6×10-5mm處,根據(jù)該系統(tǒng)電壓、位移和位置標(biāo)定值的比例關(guān)系,有6×10-5/(-0.03/5)=-0.01,與最初的位移標(biāo)定相等,即小球達(dá)到實(shí)驗(yàn)預(yù)期目標(biāo)。

根據(jù)Routh判據(jù), 需同時(shí)滿足式(15)中2個(gè)關(guān)系式系統(tǒng)才趨于穩(wěn)定狀態(tài)。k1a的值為356.94>256.66, 同時(shí)a1、a2和a3均大于0。綜上所述,此時(shí)磁懸浮小球系統(tǒng)符合ts<2 s,δp≤15%, 小球懸浮于10 mm處的預(yù)期性能指標(biāo)。 在實(shí)際的操作中, 狀態(tài)反饋增益矩陣K值過大反而會(huì)影響懸浮的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。 故在選擇K值的時(shí)候, 既要考慮系統(tǒng)的性能問題, 也要綜合考慮系統(tǒng)的現(xiàn)實(shí)操作問題。

圖6 狀態(tài)反饋控制器的實(shí)時(shí)控制程序Fig.6 Real-time control program of state feedback controller

圖7 狀態(tài)反饋控制程序?qū)崟r(shí)控制輸出波形圖Fig.7 Real-time control of output waveform by state feedback control program

圖8 鋼球在系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的懸浮圖Fig.8 Maglev ball in suspension

由于狀態(tài)反饋控制器與PID控制器的兩種控制方法位置標(biāo)定值不同而缺乏可比性,為了提高對(duì)比實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性,將兩種方法所得的位移標(biāo)定比取對(duì)數(shù)進(jìn)行比較,結(jié)果如圖9所示。PID控制與狀態(tài)反饋控制相比,波動(dòng)幅度相對(duì)較大,仿真也表明,PID控制對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善較為困難,而進(jìn)行狀態(tài)反饋控制時(shí),能在減小了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差及反饋矩陣參數(shù)上下改變的同時(shí)保持系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

圖9 狀態(tài)反饋控制與PID控制位移標(biāo)定對(duì)數(shù)比較Fig.9 Logarithmic diagram comparison between displacement calibration of PID control and state feedback control

4 結(jié) 論

本文建立了磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,提出了一種基于跟蹤的狀態(tài)反饋控制方法, 設(shè)計(jì)出相應(yīng)的控制器, 能使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)達(dá)到預(yù)期設(shè)定, 且穩(wěn)態(tài)誤差小。 實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于該系統(tǒng), 提出的控制方法易于實(shí)現(xiàn)。 將設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器與PID控制器進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn), PID控制需要反復(fù)整定試湊參數(shù), 直至出現(xiàn)滿意的響應(yīng)結(jié)果, 以此來確定控制的參數(shù), 而狀態(tài)反饋控制能夠較為容易地調(diào)試出需要的參數(shù), 對(duì)系統(tǒng)的適應(yīng)性相對(duì)較好。 但是為了減少狀態(tài)反饋控制器的穩(wěn)態(tài)誤差而加入積分器時(shí), 其響應(yīng)速度變慢。 對(duì)于此類問題, 可以在之后的研究中根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)過渡矩陣過程要求，按極點(diǎn)配置法確定引入積分控制后的狀態(tài)反饋增益矩陣進(jìn)行分析與仿真實(shí)驗(yàn)。