基于PSO-SVM精化QP模型的短期衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)

肖 陽,唐詩華,黃昶程,李宗婉,肖 燕

(桂林理工大學(xué) a.廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.測繪地理信息學(xué)院,廣西 桂林 541006)

0 引 言

星載原子鐘的鐘差預(yù)報(bào)在衛(wèi)星導(dǎo)航定位中起著重要作用,其可靠程度直接影響導(dǎo)航定位精度[1]。精確位置測量本質(zhì)上也可視作精確時(shí)間的測量,高精度的衛(wèi)星導(dǎo)航定位必須有高精度和高穩(wěn)定度的時(shí)間系統(tǒng)來支撐,但星載原子鐘不同于地面原子鐘,在其入軌后,由于其本身的敏感性和外太空的不確定性,極易使其變化規(guī)律變得復(fù)雜[2]。且導(dǎo)航衛(wèi)星的任意時(shí)刻鐘差是由參數(shù)外推得到的,研究鐘差預(yù)報(bào)有利于提高參數(shù)預(yù)報(bào)的可靠性與準(zhǔn)確性,同時(shí),在實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位中需要采用鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果參與計(jì)算來實(shí)現(xiàn)高精度定位[3]。因此,建立高精度鐘差預(yù)報(bào)模型顯得尤為重要,這使得許多不同種類的預(yù)報(bào)模型算法應(yīng)運(yùn)而生,其中二次多項(xiàng)式(quadratic polynomial, QP)模型,灰色GM(1, 1)模型以及卡爾曼濾波模型是較為常用的預(yù)報(bào)模型[4]。而隨著人工智能以及機(jī)器學(xué)習(xí)等方法的不斷完善,人們也將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入鐘差預(yù)報(bào)領(lǐng)域并取得成功。但灰色模型在建模時(shí)要求原函數(shù)光滑且呈指數(shù)規(guī)律變化;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報(bào)樣本需求量大,算法效率低，且若模型參數(shù)選擇不當(dāng)易收斂于局部極值;而QP模型因其物理意義明確、模型簡單,且在短期預(yù)報(bào)中精度較高而得到廣泛的應(yīng)用,但其在建模時(shí)把噪聲看作是服從正態(tài)分布的誤差,從而導(dǎo)致預(yù)報(bào)精度隨時(shí)間的增加而降低[5-8]。針對(duì)此,許多學(xué)者從不同角度對(duì)其進(jìn)行改進(jìn):文獻(xiàn)[9]采用譜分析法, 提取鐘差序列中的周期項(xiàng), 構(gòu)建附帶周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型, 在短期預(yù)報(bào)中取得了較好的成果; 文獻(xiàn)[10]用二次多項(xiàng)式進(jìn)行建模, 并采用ARIMA模型對(duì)殘差進(jìn)行預(yù)報(bào), 在一定程度上改善了ARIMA模型識(shí)別與定階的問題, 提高了預(yù)報(bào)精度。

基于此,本文提出一種新的算法模型:將鐘差視為一個(gè)趨勢項(xiàng)與隨機(jī)誤差項(xiàng)構(gòu)成的時(shí)間序列,使用QP模型對(duì)其建模預(yù)報(bào)以提取趨勢項(xiàng),將擬合殘差視作隨機(jī)誤差項(xiàng),利用在非線性預(yù)報(bào)方面具有顯著優(yōu)勢的支持向量機(jī)(SVM)對(duì)隨機(jī)項(xiàng)建模預(yù)報(bào),其所得結(jié)果視作QP模型預(yù)報(bào)結(jié)果的補(bǔ)償項(xiàng)進(jìn)行改正得到最終預(yù)報(bào)結(jié)果。針對(duì)SVM現(xiàn)有的參數(shù)搜索方法,使用PSO優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化,避免SVM陷入局部極值進(jìn)而發(fā)生過擬合現(xiàn)象。以IGS提供的15 min的精密鐘差數(shù)據(jù)為例,并與QP模型、灰色GM(1,1)模型以及PSO-SVM進(jìn)行對(duì)比分析,探討新方法在不同類型原子鐘及不同建模方法下的可行性與普適性。

1 模型原理

1.1 SVM

1995年,Vapnik等基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論,提出一種新的學(xué)習(xí)方法,即SVM。該方法以結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則為基本準(zhǔn)則,通過核函數(shù)將輸入變量非線性映射到一個(gè)高維空間中,于高維空間中構(gòu)造線性優(yōu)化函數(shù)并加以求解,其模型表達(dá)式為

(1)

式中:ai,ai′為非負(fù)的Lagrange乘子;K(xi,xj)為核函數(shù);b∈R為閾值。其詳細(xì)的模型方法與表達(dá)式原理參見文獻(xiàn)[11]。

1.2 PSO-SVM

1995年, Kennedy與Eberhart基于鳥群捕食行為的啟發(fā), 提出一種智能優(yōu)化算法，即PSO-SVM, 該算法具有結(jié)構(gòu)簡單、 易于實(shí)現(xiàn)、 對(duì)被優(yōu)化函數(shù)要求不高的特點(diǎn), 能有效提高收斂速度。 文獻(xiàn)[12]詳細(xì)介紹了該算法的基本原理。 PSO-SVM基本思想是利用PSO算法高效強(qiáng)大的全局搜索能力對(duì)SVM的參數(shù)c、g進(jìn)行優(yōu)化處理, 以期克服SVM自身的網(wǎng)格搜索法可能帶來的局部最優(yōu)或過擬合的缺點(diǎn), 以獲得更高精度的SVM模型[13], 其模型基本流程見圖1。

1.3 QP模型

QP模型自使用以來,一直因其計(jì)算方便、簡單、物理意義明確而廣泛應(yīng)用于短期鐘差預(yù)報(bào),其表達(dá)式為

yi=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2,

(2)

式中:yi表示ti時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差值;t0為參考時(shí)刻;ti為對(duì)應(yīng)歷元時(shí)刻;i=1,2,…,n;a0、a1、a2為3個(gè)待估參數(shù)， 而在鐘差預(yù)報(bào)中, 其還有物理意義, 分別表示該衛(wèi)星鐘的鐘差、 鐘速以及頻漂[14]。

1.4 改進(jìn)模型

本文利用IGS提供的精密鐘差數(shù)據(jù),通過QP模型預(yù)報(bào)其鐘差值得到擬合階段差,采用PSO-SVM對(duì)殘差進(jìn)行建模預(yù)報(bào),再利用所得預(yù)報(bào)值對(duì)QP殘模型預(yù)報(bào)階段的鐘差值進(jìn)行改進(jìn),并以具體實(shí)驗(yàn)探討改進(jìn)模型的可行性。改進(jìn)模型公式為

圖1 PSO算法優(yōu)化SVM模型Fig.1 SVM model optimized PSO algorithm

(3)

式中:θi為擬合階段的殘差值;K(θi,θj)為所選SVM的核函數(shù);i=1,2,…,n。本文采用能較好反映模型復(fù)雜程度的徑向基核函數(shù)作為SVM的核函數(shù),其具體流程詳見圖2。

2 算例分析

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本文采用IGS提供的2017-08-27—28的15 min采樣率精密鐘差數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。 為體現(xiàn)本文算法的普適性, 擬采用不同種類的衛(wèi)星鐘作全面分析。 截至2017-08-28, GPS在軌衛(wèi)星32顆, 其搭載的星載原子鐘共有5種, 其中僅有PRN 04號(hào)衛(wèi)星搭載BlockⅡA Rb鐘,且目前處于維護(hù)中[15]。 基于此, 在其余4種類型原子鐘中各選擇一個(gè)衛(wèi)星鐘進(jìn)行實(shí)驗(yàn): BlockⅡF Rb鐘(PRN 03,以G03代指), BlockⅡR Rb鐘(PRN 13, 以G13代指), BlockⅡF Cs鐘(PRN 24, 以G24代指)以及BlockⅡR-M Rb鐘(PRN 31, 以G31代指)，其2天的鐘差序列如圖3所示。

圖2 改進(jìn)模型預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差Fig.2 Improved model predicting satellite clock bias

可知,本文所選鐘差數(shù)據(jù)具有普遍代表性,涵蓋了各種類型原子鐘且鐘差數(shù)據(jù)變化規(guī)律不同的鐘差序列。為驗(yàn)證本文算法的可行性,首先對(duì)該4組鐘差序列建模,以QP模型將1天的鐘差建模,預(yù)報(bào)1天的鐘差值,并將各組鐘差序列的擬合殘差與預(yù)報(bào)誤差匯編成圖4。

其中, 前96歷元為模型擬合殘差, 后96歷元為模型預(yù)報(bào)誤差。可見,QP模型具有明顯的誤差疊加性,G13號(hào)衛(wèi)星誤差疊加的雖不明顯,但仍能看出其誤差曲線隨時(shí)間呈增長趨勢,這是因?yàn)槠湓? d鐘差總增長量為118 ns,遠(yuǎn)低于另外兩顆Rb鐘,而G24搭載的是Cs鐘,其鐘差序列非平穩(wěn)性相較于Rb鐘更強(qiáng),因此預(yù)報(bào)效果最差。各衛(wèi)星鐘的殘差呈明顯的隨機(jī)性與非線性,證明本文所提出的新方法在理論上是可行的?；诖?本文以前96歷元的擬合殘差為訓(xùn)練樣本,使用PSO-SVM建模預(yù)報(bào),將所得預(yù)報(bào)值作為QP模型預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)的誤差補(bǔ)償對(duì)其加以改進(jìn)得到最后的預(yù)報(bào)值,驗(yàn)證其可行性,并將新方法與QP模型、灰色GM(1,1)模型以及PSO-SVM所得預(yù)報(bào)值作為對(duì)比,以驗(yàn)證其優(yōu)越性。

2.2 建模分析

2.2.1 實(shí)驗(yàn)一 以IGS提供的2017-08-27—28的15 min采樣率的精密鐘差數(shù)據(jù)提取共192歷元的鐘差數(shù)據(jù),建立4種預(yù)報(bào)方法進(jìn)行比對(duì)。其中：方法1，QP模型;方法2，灰色GM(1,1)模型;方法3，直接對(duì)鐘差序列使用PSO-SVM； 方法4， 基于PSO-SVM精化的QP模型。以為期1天的前96歷元為模型的訓(xùn)練樣本,后1天的96歷元為測試樣本,對(duì)比各方法的預(yù)報(bào)誤差。因SVM核函數(shù)的選擇對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的精確度有較大的影響,為方便比較,方法3、4中的SVM都采用相同的核函數(shù)類型,即RBF核函數(shù)[16]。將各預(yù)報(bào)方法所得結(jié)果繪制成圖5。

圖3 原始鐘差序列Fig.3 Original sequence of satellite clock bias

圖4 二次多項(xiàng)式模型擬合與預(yù)報(bào)殘差Fig.4 Fitting errors and prediction errors of QP model

可見,對(duì)于各類型原子鐘的鐘差預(yù)報(bào),方法1的預(yù)報(bào)效果較差,其預(yù)報(bào)誤差隨時(shí)間呈總體遞增或遞減趨勢,其中G03、G24、G31表現(xiàn)的尤其明顯,而作為Cs鐘的G24誤差波動(dòng)幅度明顯大于其他3顆Rb鐘,說明QP模型對(duì)Cs鐘鐘差序列的適應(yīng)度遜于Rb鐘鐘差,符合星載原子鐘自身的精度和性能特點(diǎn),即Cs鐘的自身穩(wěn)定度稍遜于Rb鐘,模型預(yù)報(bào)結(jié)果精度低于Cs鐘;方法2在精度方面較方法1稍有提高,3顆Rb鐘的預(yù)報(bào)誤差波動(dòng)幅度小于方法1,而Cs鐘鐘差仍稍顯不理想,這是因?yàn)榛疑獹M(1,1)模型在建模時(shí)要求數(shù)據(jù)光滑, 而G24本身的鐘差序列波動(dòng)較大, 并不適用于灰色GM(1,1)模型; 方法3的預(yù)報(bào)殘差優(yōu)于方法2, 尤其Cs鐘的預(yù)報(bào)殘差明顯比方法2大, 這可在一定程度上體現(xiàn)SVM在非線性預(yù)報(bào)方面的適用性; 而本文新方法的預(yù)報(bào)誤差最小, 3顆Rb鐘除極少數(shù)幾個(gè)值之外, 其他誤差都在-1～1 ns波動(dòng), 而Cs鐘的預(yù)報(bào)誤差也明顯優(yōu)于其他3種方法, 誤差浮動(dòng)于-2～2 ns。 相比其他3種方案的預(yù)報(bào)誤差值隨著歷元的增加呈增長趨勢, 而新方法誤差并未隨著時(shí)間有明顯的增長, 這是因?yàn)槠湓赒P模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn), 而PSO-SVM的預(yù)測結(jié)果能較好地反映殘差的變化規(guī)律對(duì)QP預(yù)報(bào)值加以修正, 使最終預(yù)報(bào)殘差有更好的收斂性, 展現(xiàn)出了其更好的預(yù)報(bào)穩(wěn)定性, 所以新方法是可行的。

圖5 4種方法的鐘差預(yù)報(bào)殘差圖Fig.5 Prediction error of satellite clock bias for four methods

2.2.2 實(shí)驗(yàn)二 為進(jìn)一步體現(xiàn)本文算法的適用性與探討不同建模方法的選擇對(duì)預(yù)報(bào)精度的影響,現(xiàn)以4種建模方案對(duì)以上實(shí)驗(yàn)4種預(yù)報(bào)方法進(jìn)行更加詳細(xì)的分析。方案1:以前1天的數(shù)據(jù)建模對(duì)后1天的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào);方案2:以12 h的數(shù)據(jù)建模對(duì)1天的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào);方案3:以1天的數(shù)據(jù)建模對(duì)12 h的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào);方案4:以12 h的數(shù)據(jù)建模對(duì)12 h的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)。結(jié)合實(shí)驗(yàn)一的結(jié)果,以均方根誤差(RMSE)為精度的度量標(biāo)準(zhǔn)

(4)

方案1即實(shí)驗(yàn)一,結(jié)合圖表能更清楚地看出無論是哪種預(yù)報(bào)方法和建模方案,Cs鐘的預(yù)報(bào)精度總是低于Rb鐘,其均方根誤差遠(yuǎn)大于另外3顆Rb鐘,這是由于其Cs原子鐘本身穩(wěn)定度較差，從而使得其可預(yù)測性相對(duì)較差[17]。但無論是Cs鐘還是Rb鐘,本文提出的新方法的預(yù)報(bào)精度都遠(yuǎn)優(yōu)于QP模型和GM(1,1)模型, 其均方根誤差均小于1 ns, 而對(duì)于某顆衛(wèi)星鐘而言, 直接使用PSO-SVM建模預(yù)報(bào)的所得預(yù)報(bào)值精度可能與新方法相當(dāng)。 這是因?yàn)镚13衛(wèi)星自身鐘差變化量小且變化率穩(wěn)定, 使得直接預(yù)測也能有較好的效果, 但對(duì)于絕大多數(shù)衛(wèi)星鐘而言, 新方法是要優(yōu)于PSO-SVM的。 這進(jìn)一步說明新方法是適用于大多數(shù)類型的衛(wèi)星鐘的, 具有更高的普適性。 而結(jié)合4種不同建模方案綜合分析,無論哪種方案,新方法的預(yù)報(bào)精度總是最好的,說明新方法能較好地反映鐘差變化特性,適用于各種類型建模的短期預(yù)報(bào)。但對(duì)比不同建模方案下的QP模型與新方法時(shí)可發(fā)現(xiàn):當(dāng)QP模型自身預(yù)報(bào)誤差精度較差時(shí),新方法的預(yù)報(bào)精度也會(huì)隨之減低。例如G03號(hào)衛(wèi)星以方案2建模時(shí),QP精度相比其他3種建模方案而言較差,而以新方法建立4種方案對(duì)G03作預(yù)報(bào),方案2的精度也是最差的。這是由于新方法自身建模時(shí)需要用到QP模型的擬合殘差,所以會(huì)受到其影響。同時(shí)結(jié)合方案1、3以及方案2、4之間的比較可發(fā)現(xiàn),在建模數(shù)據(jù)相同的情況下,新方法預(yù)報(bào)12 h的精度總是優(yōu)于預(yù)報(bào)1天的精度,反映出新算法隨著預(yù)報(bào)時(shí)長的增加，其預(yù)報(bào)精度和穩(wěn)定性亦有一定程度下降,可以看出新方法并不適用于鐘差的長期預(yù)報(bào)。

表1 衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的RMSE

Table 1RMSEof prediction results of for satellite clock bias ns

衛(wèi)星鐘類型預(yù)報(bào)方法建模方案方案1方案2方案3方案4G03BlockⅡF RbQP4.246.873.132.07 GM(1,1)1.740.890.840.76 PSO-SVM1.311.010.680.97 New-Model0.290.520.210.13G13BlockⅡR RbQP0.703.020.711.68 GM(1,1)2.351.771.601.22 PSO-SVM0.380.430.270.26 New-Model0.370.370.200.17 G24BlockⅡF CsQP5.3116.891.945.39 GM(1,1)5.232.204.751.98 PSO-SVM1.671.201.410.91 New-Model0.790.910.640.47G31BlockⅡR-M RbQP3.522.801.821.32 GM(1,1)1.300.950.810.62 PSO-SVM1.040.460.690.65 New-Model0.180.200.220.12

3 結(jié) 論

本文利用IGS中心提供的精密鐘差數(shù)據(jù),采用新方法對(duì)不同類型的GPS星載原子鐘進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)與分析,得到如下結(jié)論:

(1)采用PSO-SVM對(duì)QP模型預(yù)報(bào)鐘差時(shí)擬合階段的殘差值建模進(jìn)行滾動(dòng)預(yù)報(bào),利用預(yù)報(bào)所得值對(duì)QP模型預(yù)報(bào)階段的鐘差值進(jìn)行改進(jìn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可行有效。

(2)對(duì)于不同數(shù)據(jù)建模的預(yù)報(bào)精度優(yōu)于直接對(duì)原始鐘差進(jìn)行PSO-SVM、GM(1,1)以及QP模型預(yù)測所得的精度,相較于常用模型具有較強(qiáng)的預(yù)報(bào)能力以及較好的預(yù)報(bào)精度,且適用于不同種類的星載原子鐘,顯示其在鐘差預(yù)報(bào)方面的普適性以及優(yōu)越性。

(3)以QP模型建模時(shí)的擬合殘差為二次建模數(shù)據(jù),在一定程度上增加模型的復(fù)雜性,且該方法思路決定了其在一定程度上依賴于QP建模時(shí)的擬合效果,這使得本方法對(duì)于長期的鐘差預(yù)報(bào)仍然遜于常用的長期預(yù)報(bào)模型,因此該模型仍有待進(jìn)一步研究。