基于層合參數(shù)的工字型加筋壁板穩(wěn)定性設(shè)計(jì)

王佩艷，岳春霞，耿小亮，楊白鳳，岳珠峰

(西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院 飛行器結(jié)構(gòu)完整性技術(shù)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710129)

1 前 言

復(fù)合材料具有比強(qiáng)度高、比剛度大、可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在航空、航天、軍事、機(jī)械等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]。而復(fù)合材料加筋壁板是一種典型的承載結(jié)構(gòu)，具有較高的抗彎剛度和較小的結(jié)構(gòu)重量，顯著提高了結(jié)構(gòu)的使用效率，因此，廣泛應(yīng)用于對剛度和強(qiáng)度要求較大的平板或曲殼結(jié)構(gòu)中，例如機(jī)翼、尾翼的翼面，梁腹板和機(jī)身上的蒙皮、隔框，以及火箭艙體等部位。加筋壁板的結(jié)構(gòu)性能分析和設(shè)計(jì)技術(shù)是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵[4]。

為了充分發(fā)揮復(fù)合材料加筋壁板的應(yīng)用潛力，需要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，近幾十年來很多學(xué)者開展了復(fù)合材料方面的優(yōu)化設(shè)計(jì)工作[5-6]。復(fù)合材料層合板的設(shè)計(jì)變量包括鋪層厚度和鋪層順序，如果直接以鋪層順序?yàn)樵O(shè)計(jì)變量進(jìn)行包括強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性和頻率等約束條件下的優(yōu)化設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)變量多，單次運(yùn)行時(shí)間長，優(yōu)化設(shè)計(jì)所需的運(yùn)行時(shí)間幾乎是不可接受的。為了解決優(yōu)化效率的問題，在復(fù)合材料層合板的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通常將層合板厚度當(dāng)作連續(xù)變量，采用分級(jí)優(yōu)化策略進(jìn)行鋪層順序的優(yōu)化。分級(jí)優(yōu)化的基本思路是首先開展以鋪層厚度、鋪層角、層合參數(shù)為設(shè)計(jì)變量的輕量化設(shè)計(jì)，然后以層合參數(shù)(主要是彎曲剛度系數(shù))為目標(biāo)，進(jìn)行鋪層順序的優(yōu)化。Cezar[7]等忽略耦合參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，以面內(nèi)剛度系數(shù)和彎曲剛度系數(shù)為設(shè)計(jì)變量對復(fù)合材料板進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，然后以最優(yōu)層合參數(shù)為目標(biāo)采用數(shù)學(xué)準(zhǔn)則法進(jìn)行層合板的鋪層順序優(yōu)化。J.Enrique Herencia[8-9]和Todoroki[10]將兩級(jí)優(yōu)化方法應(yīng)用于加筋壁板的設(shè)計(jì)中，首先對蒙皮、筋條緣條和腹板的鋪層厚度及層合參數(shù)(面內(nèi)剛度系數(shù)和彎曲剛度系數(shù))進(jìn)行優(yōu)化，然后以彎曲剛度系數(shù)為目標(biāo)，進(jìn)行鋪層順序優(yōu)化。國內(nèi)很多研究者也采用了分級(jí)優(yōu)化。飛機(jī)強(qiáng)度研究所[11]采用COMPASS 優(yōu)化軟件，提出了以層合板分層為基本單位，用滿應(yīng)變準(zhǔn)則設(shè)計(jì)層板厚度，以應(yīng)變能調(diào)整分層比例的二級(jí)優(yōu)化策略。李為吉[12]提出了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化的多級(jí)優(yōu)化方法，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化采用優(yōu)化準(zhǔn)則法得到最優(yōu)鋪層厚度，在元件級(jí)優(yōu)化中用線性規(guī)劃技術(shù)提高結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，從而得到最優(yōu)的分層厚度。修英姝、崔德剛[13]等人首先用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型確定鋪層數(shù)，然后采用遺傳算法優(yōu)化得到鋪層順序，董永朋[14]等采用beam 單元模擬復(fù)合材料加筋壁板，并進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

近些年來，國內(nèi)在復(fù)合材料優(yōu)化設(shè)計(jì)方面取得了較為豐碩的成果，更多的優(yōu)化方法將應(yīng)用于復(fù)合材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。但是多級(jí)優(yōu)化方法的計(jì)算過程較為復(fù)雜，而且在兩級(jí)之間有可能因?yàn)槿狈Ρ匾s束造成多級(jí)優(yōu)化無法進(jìn)行。復(fù)合材料層合板鋪層順序優(yōu)化是典型的離散變量優(yōu)化問題，無法采用常規(guī)的準(zhǔn)則法或梯度法。Todoroki[10]應(yīng)用分枝界限法對復(fù)合材料機(jī)翼進(jìn)行了鋪層順序優(yōu)化研究，但只適用于鋪層層數(shù)比較少的情況。Cezar[7]采用BSGS中的黃金分割方法，以面內(nèi)剛度系數(shù)和彎曲剛度系數(shù)為目標(biāo)，進(jìn)行了鋪層順序優(yōu)化。A.Rama[15]采用蟻群優(yōu)化算法進(jìn)行了鋪層順序優(yōu)化。穆朋剛[16]等將蟻群算法引入復(fù)合材料層合板鋪層順序的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，采用遺傳算法的整數(shù)編碼方法，將層合板的鋪層順序優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解旅行商(TSP)問題，然后采用改進(jìn)后的蟻群算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。王偉[17]采用蟻群算法進(jìn)行了T 形加筋壁板的優(yōu)化設(shè)計(jì)。國內(nèi)外對復(fù)合材料加筋壁板的優(yōu)化設(shè)計(jì)多采用二級(jí)優(yōu)化方法，集中研究鋪層順序的最優(yōu)化問題，均未考慮加工工藝特征。本研究針對復(fù)合材料工字型加筋壁板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了考慮工藝特征的仿真模型，然后采用二級(jí)優(yōu)化策略對復(fù)合材料工字型加筋壁板進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，在第二級(jí)優(yōu)化過程中采用改進(jìn)的遺傳算法進(jìn)行了離散變量的復(fù)合材料鋪層順序優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 層合參數(shù)定義

在單向板材料性能確定的情況下，層合板的性能僅與鋪層角度和鋪層厚度有關(guān)。為了直觀起見，可將面內(nèi)剛度、耦合剛度和彎曲剛度等剛度性能以材料不變量和層合參數(shù)的形式表示。層合參數(shù)完全反映該層合板的面內(nèi)、彎曲和耦合性能，一般將層合參數(shù)作為中間變量進(jìn)行層合板的鋪層優(yōu)化設(shè)計(jì)。

層合板的偏軸剛度矩陣為

其中，[Q]為正軸剛度矩陣，[T]為轉(zhuǎn)換矩陣，[R]為路透矩陣。 將層合板鋪層角度代入公式(1)并展開，得到公式(2)。層合板的偏軸剛度矩陣僅與鋪層角度和材料不變量有關(guān)。

其中：U為材料不變量，僅與單向板剛度有關(guān)，如式(3)所示。

層合板內(nèi)力與應(yīng)變關(guān)系如式(4)所示。

式中，{N}為層合板中面合力列陣；{M}為層合板中面合力矩列陣；{ε0}為層合板中面應(yīng)變列陣；{κ}為層合板中面曲率列陣；[A]為層合板面內(nèi)剛度矩陣；[B]為層合板拉彎耦合矩陣。

將式(2)代入式(4)，得到層合板的面內(nèi)剛度列陣、耦合剛度列陣和彎曲剛度列陣，如式(5)～式(7)所示。

為簡單起見，將式(5)～式(7)中的求和公式用單一符號(hào)表示，分別得到層合參數(shù)，即面內(nèi)剛度系數(shù)耦 合 參 數(shù)彎 曲 剛 度系數(shù)如式(8)～(10)所示。

從式(8)～(10)可以看出：

①面內(nèi)剛度系數(shù)V*i僅與層合板的厚度、鋪層角度和鋪層比例相關(guān)，與鋪層順序沒有關(guān)系，面內(nèi)剛度系數(shù)代表層合板的面內(nèi)性能。

②耦合剛度系數(shù)ξ*i和彎曲剛度系數(shù)W*i不僅與層合板的厚度和鋪層百分比有關(guān)，而且與鋪層順序有關(guān)。一個(gè)特定鋪層的層合板具有唯一的面內(nèi)剛度系數(shù)、彎曲剛度系數(shù)和耦合剛度系數(shù)。

③當(dāng)鋪層角θ局限在0°、90°、45°和-45°四種鋪層角度時(shí)，sin4θ=0，所以V*4=ξ*4=W*4=0，此時(shí)僅有9個(gè)層合系數(shù)來表征層合板；當(dāng)鋪層角θ等于0°和90°時(shí)，sin2θ=0，由式(10)可以看出W*3僅與45°和-45°鋪層的厚度及其鋪層位置有關(guān)，而且隨著45°和-45°鋪層距離越近及層合板厚度越厚，W*3越小，因此對層數(shù)較多的均衡對稱層合板可將W*3作為0處理。

④面內(nèi)剛度系數(shù)V*i和彎曲剛度系數(shù)W*i是鋪層角位置的奇函數(shù)，而耦合參數(shù)是鋪層角位置的偶函數(shù)，所以當(dāng)層合板為對稱鋪層時(shí)，耦合參數(shù)均為0，不為零的可變參數(shù)僅為面內(nèi)剛度系數(shù)和彎曲剛度系數(shù)。

3 工字型加筋壁板有限元模型

工字型加筋壁板由于穩(wěn)定性好，被廣泛應(yīng)用于機(jī)翼蒙皮、加筋圓筒等結(jié)構(gòu)中。近幾年來，開展了很多以減重為目的的工字型加筋壁板優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化方法也很多，但是大多數(shù)方法由于沒有充分考慮工字型筋條鋪設(shè)特點(diǎn)，優(yōu)化結(jié)果不能直接應(yīng)用于工程實(shí)際。本研究充分考慮工字型筋條鋪設(shè)特點(diǎn)，提出了一種針對工字型加筋壁板的有限元建模方法。

工字型加筋結(jié)構(gòu)的鋪設(shè)簡圖如圖1所示。從圖可見，工字型筋條在鋪設(shè)中呈C 形鋪設(shè)，主要包括三個(gè)基本層合板：[形腹板、凸緣頂板和凸緣底板。如果按照上凸緣、下凸緣和腹板3個(gè)層合板進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)則不能完全反映實(shí)際鋪層方式，其結(jié)果無法直接應(yīng)用于工程實(shí)際中。因此有必要針對工字型筋條的鋪設(shè)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)建模方法。現(xiàn)根據(jù)工字型加筋壁板鋪設(shè)特點(diǎn)，將工字型加筋壁板簡化分為凸緣頂板、[形腹板、凸緣底板、以及基本蒙皮四個(gè)層合板，有限元模型的簡圖如圖1(b)。該建模方式考慮了工字型筋條的鋪設(shè)方式，根據(jù)該模型所得的優(yōu)化結(jié)果可以直接用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。

圖1 工字型筋條鋪設(shè)構(gòu)型及簡化模型 (a)鋪設(shè)構(gòu)型；(b)簡化模型Fig.1 Layup configuration and Simplified model of reinforced panel with I-stiffener (a)Layup configuration；(b)Simplified model

設(shè)某一工字型復(fù)合材料加筋壁板長700mm，寬為670mm，筋條之間的距離為200mm。加筋壁板的初始幾何外形尺寸如圖2所示，材料為T300/QY8911。

圖2 工字型筋條的幾何尺寸Fig.2 Size of I-shaped stiffener

有限元模型采用CQUAD4單元，通過PSHELL屬性卡定義各層合板的屬性：薄膜材料和彎曲材料。凸緣頂板和上腹板單元采用共節(jié)點(diǎn)的雙層單元模擬，二者之間的位置關(guān)系通過板單元的偏置來實(shí)現(xiàn)，凸緣底板和下腹板同樣采取共節(jié)點(diǎn)的雙層單元實(shí)現(xiàn)。模型的材料采用等效剛度模型，將面內(nèi)剛度系數(shù)、彎曲剛度系數(shù)等加入材料的參數(shù)定義中。

加筋壁板的邊界為四邊簡支，X 方向均布軸壓載荷，軸壓載荷為4746N/mm。具體約束如下：

蒙皮固定端：u=v=w=θx=θz=0

筋條固定端：u=v=w=θx=0

蒙皮加載端：v=w=θx=θz=0

筋條加載端：v=w=θx=0

壁板側(cè)邊：w=θy=θz=0

有限元模型及其邊界條件如圖3所示。

圖3 工字型加筋壁板的有限元模型及邊界條件Fig.3 Finite element model and boundary condition of reinforced panel

4 加筋壁板二級(jí)優(yōu)化方法

4.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

層合板的鋪層優(yōu)化采用兩級(jí)優(yōu)化策略：第一級(jí)優(yōu)化確定層合板的鋪層厚度、鋪層百分比和彎曲剛度系數(shù)；第二級(jí)優(yōu)化則是以最優(yōu)彎曲剛度系數(shù)和為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行鋪層順序的設(shè)計(jì)。

第一級(jí)優(yōu)化一般為連續(xù)變量優(yōu)化問題，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法或規(guī)劃法(NLPQL)。在第一級(jí)優(yōu)化中，工字型加筋壁板的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要包含4個(gè)層合板，分別為蒙皮A、凸緣底板B、凸緣頂板C和[形腹板D，每個(gè)層板包括7個(gè)設(shè)計(jì)變量，則總共有28個(gè)變量，如表1所示。目標(biāo)函數(shù)是整體加筋壁板重量最輕。約束條件包括強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性、鋪層比例約束等。局部屈曲載荷系數(shù)大于0.67，整體屈曲載荷系數(shù)大于1.0，最大軸向應(yīng)變不大于4000με，最大位移小于1.5mm，而且彎曲剛度系數(shù)在設(shè)計(jì)空間內(nèi)。

表1 工字型加筋壁板的一級(jí)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量Table 1 Design variable of first level optimization

式中，θi是層合板的鋪層角，一般由0°，±45°和90°四種標(biāo)準(zhǔn)鋪層角度組成。作者根據(jù)Srinvivas和徐小平等[18，19]自適應(yīng)算法的優(yōu)點(diǎn)給出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法，通過自編Matlab程序?qū)崿F(xiàn)，大量對比算例證明，本文提出的自適應(yīng)遺傳算法具有良好的穩(wěn)健性和收斂性。

4.2 優(yōu)化結(jié)果

經(jīng)過優(yōu)化計(jì)算，第一級(jí)優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果如表2所示。從表中可以看出，復(fù)合材料工字型加筋壁板蒙皮主要采用0°和±45°鋪層，凸緣底板和凸緣頂板以0°鋪層為主，而[形腹板則以±45°鋪層為主。

一級(jí)優(yōu)化采用的層合板厚度為實(shí)數(shù)，由于單層板為確定值，t=0.125mm，因此需要對各個(gè)層合板厚度進(jìn)行圓整，圓整后各層合板的厚度如表3所示。由于在優(yōu)化中設(shè)置45°和-45°鋪層厚度相等，優(yōu)化得到的層合板為均衡層合板。由于未對層合板的對稱性進(jìn)行特殊處理，所以層合板不一定是對稱的。

根據(jù)表3中各層合板的層數(shù)，以各層合板的彎曲剛度系數(shù)為目標(biāo)，進(jìn)行鋪層順序優(yōu)化設(shè)計(jì)，對優(yōu)化后的鋪層順序重新計(jì)算了彎曲剛度系數(shù)，列于表4。從表中可以看到：①鋪層為均衡非對稱層合板，均衡非對稱層合板可以提高結(jié)果的穩(wěn)定性。②通過鋪層順序優(yōu)化可以找到與一級(jí)優(yōu)化幾乎一致的彎曲剛度參數(shù)，該二級(jí)優(yōu)化方法是切實(shí)可行的。

優(yōu)化前后的結(jié)果如表5所示。從表中可以看出，與優(yōu)化前相比，工字型加筋壁板的穩(wěn)定性和最大應(yīng)變值均有增加，但重量減少了13.13%。工字型加筋壁板優(yōu)化后的整體失穩(wěn)圖和局部失穩(wěn)如圖4和圖5 所示。優(yōu)化后加筋壁板的局部穩(wěn)定性略有提高，而整體穩(wěn)定性則明顯下降。主要原因是因?yàn)閮?yōu)化提高了蒙皮的局部剛度，但是由于結(jié)構(gòu)重量的明顯降低，充分發(fā)揮了材料的應(yīng)用潛力，對結(jié)構(gòu)承載能力有一定的影響。

表2 工字型加筋壁板一級(jí)優(yōu)化結(jié)果 Table 2 Results of first level optimization

表3 圓整后的鋪層厚度和鋪層層數(shù) Table 3 Thickness and layer of laminates after rounding number

表4 工字型加筋壁板的鋪層順序優(yōu)化結(jié)果 Table 4 Result of layup sequence optimization of reinforced panel

表5 約束條件和目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化前后結(jié)果對比Table 5 Constraints and object before and after optimization

圖4 工字型加筋壁板的整體屈曲模態(tài)圖Fig.4 Global buckling mode

圖5 工字型加筋壁板的局部屈曲模態(tài)圖Fig.5 Local buckling mode

5 結(jié) 論

根據(jù)復(fù)合材料工字型筋條的鋪設(shè)特點(diǎn)，本文提出了一種特殊的建模方法，并采用二級(jí)優(yōu)化策略對工字型加筋壁板進(jìn)行了以強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性為約束的輕量化設(shè)計(jì)，通過本文的研究工作得到如下結(jié)論：

1.針對工字型加筋壁板的鋪層特點(diǎn)，有限元建模過程中將加筋壁板簡化為[形腹板、凸緣頂板、凸緣底板和蒙皮四個(gè)層合板，充分考慮了筋條的加工工藝，所得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果可以直接應(yīng)用于復(fù)合材料加筋壁板的制造中。

2.采用二級(jí)優(yōu)化策略開展復(fù)合材料加筋壁板的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可有效解決變量多、鋪層角度離散等問題。利用自適應(yīng)遺傳算法提高優(yōu)化算法的收斂性和穩(wěn)健性，從而能找到與彎曲剛度系數(shù)最為接近的鋪層順序。