從斐波那契數(shù)列感受數(shù)學之美

吳翰舉

摘要：本文在第一部分推導了斐波那契數(shù)列的兩種通項公式，其中一種和組合數(shù)有很大的聯(lián)系，并探討了斐波那契數(shù)列前后兩項比值的極限和黃金分割比例的關系;在第二部分，將斐波那契數(shù)列前后兩項比值的極限推廣到了更一般遞歸數(shù)列的情形，并得到了相應的結論。

關鍵詞：斐波那契數(shù)列;黃金分割;概率模型;數(shù)列極限

一、斐波那契數(shù)性質(zhì)

（一）斐波那契數(shù)列通項公式

斐波那契數(shù)列：若數(shù)列{an}滿足，a0=1，a1=1，an+2=an+1+an，n∈N，則稱數(shù)列{an}為斐波那契數(shù)列。

利用組合數(shù)學中遞推關系的相關理論給出斐波那契數(shù)列的通項公式。斐波那契數(shù)列滿足的遞推方程有特征方程：x2=x+1，該特征方程有兩根x1=，x2=.

因此數(shù)列{an}通項公式必定為，

將首項a0=1，a1=1，帶入上式，可以解得φ，ψ，這樣我們可以得到數(shù)列{an}的通項公式，

（二）斐波那契數(shù)列與組合數(shù)

在本章節(jié)第（一）小節(jié)我們求得斐波那契數(shù)列{an}的通項公式，本小節(jié)主要我們通過概率的方法給出數(shù)列的另外一個通項公式。

首先給出一個簡單的概率模型：假設在一個箱子中一共有n個小球，每次可以從箱子取出1個或者2個小球，要從箱子中取出所有的小球，問一共有多少種取法。

為解決上述問題，假設箱子中有n小球時共有bn中取法，容易得到b1=1，b2=2，當n≥3時，若第一次從箱子中取出1個小球，剩下n-1個小球共有bn-1種取法，若第一次從箱子中取出2個小球，剩下n-2個小球共有bn-2種取法，因此我們得到bn=bn-1+bn-2.如果補充定義b0=1，我們可以得到an=bn，n∈N.

其實可以利用純概率的方法給出該概率模型的答案，假設恰好有k次從箱子中取出2個小球，一共有中取法，其中k的取值可以是0，1，2，…，.由分類加法，我們可以得到，

（三）斐波那契數(shù)列與黃金分割

黃金分割：在線段AB中有一點C，若 ，則稱線段AB滿足黃金分割，λ為黃金分割比例，可求得λ=。

斐波那契數(shù)列有一個重要的性質(zhì)。顯然，斐波那契數(shù)列的極限是不存在的，但是該數(shù)列的前一項與后一項的比值的極限是存在的，并且該極限值為黃金分割比例，下面給出證明。

其實該結論和首項取值是無關的，在下一章節(jié)我們將該結論推廣。

二、斐波那契數(shù)列的推廣及其和黃金分割的關系

（一）首項任意值的情形

數(shù)列{rn}中，

同樣地，利用組合數(shù)學的相關理論，數(shù)列{rn}的通項公式必定可以寫為，

其中，φ1，ψ1滿足，

可以解得，

下文探討數(shù)列{}極限的存在情況及其取值。

當.

當u，v全部為0 時，數(shù)列{rn}是每一項都為0的數(shù)列，此時數(shù)列{}無意義。

當 ，但 .

因此，當數(shù)列{rn}中，前兩項滿足時，數(shù)列{}的極限是存在的，并且該值為黃金分割比例。

（二）任意相鄰k項的比值極限情形

本小節(jié)將上一小節(jié)的比值極限推廣到相鄰k項，下文給出 極限的存在情況及其取值，這里k為任意固定正整數(shù)。

當 .

當u，v全部為0 時，數(shù)列{rn}是每一項都為0的數(shù)列，此時數(shù)列{}無意義。

當，但u2+v2≠0.

因此，當數(shù)列{rn}中，前兩項滿足時，數(shù)列{ }的極限是存在的，并且該值為黃金分割比例的k次方。

三、小結

本文主要得到了斐波那契數(shù)列的極限情況和黃金分割比例的關系，并且將該結論推廣到一般的遞歸數(shù)列，其實該結論可以推廣到更一般的遞歸數(shù)列，即若數(shù)列{hn}，滿足hn+2=phn+1+qhn，這里p，q為任意實數(shù)，這樣的數(shù)列前一項比后一項的極限在一定條件下也是存在的，但該極限并不一定等于黃金分割比例，而是和p，q有關系。

參考文獻：

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