泊松分布與復(fù)合泊松分布的性質(zhì)

于子涵

摘要：本文主要講述了泊松分布和復(fù)合泊松分布的各種性質(zhì)。本文在第一部分主要講述了泊松分布和二項分布的關(guān)系以及泊松分布的數(shù)學期望和方差的計算;在第二部分推導了復(fù)合泊松分布的概率分布及其數(shù)字特征，并闡述了復(fù)合泊松分布在非壽險精算中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：二項分布;泊松分布;復(fù)合泊松分布;全概率公式

一、泊松分布

（一）二項分布的極限情形為泊松分布

設(shè)隨機變量序列，并且隨機變量，即

若假設(shè) ，則有

下面給出證明。

記

對于固定的k有，

因此，

若隨機變量X的可能取值為所有非負整數(shù)，并且

則我們稱隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記作X～P（λ）.

隨機變量所有可能取值之和必定為1，關(guān)于泊松分布的所有可能取值之和我們有，

（二）泊松分布的含義

泊松分布是計數(shù)分布的一種，通常用來描述單位時間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)，比如可以用來描述某銀行柜臺某時間段內(nèi)來辦業(yè)務(wù)的顧客數(shù)。

（三）泊松分布的數(shù)學期望和方差

泊松分布的數(shù)學期望和方差都是λ，下面給出證明，

為計算泊松分布的方差，首先給出一般隨機變量的方差計算公式，

利用上述方差計算公式，我們可以給出泊松分布的方差，

二、復(fù)合泊松分布

（一）復(fù)合泊松分布的定義

稱隨機變量 為參數(shù)為λ復(fù)合泊松分布，若滿足，

（1）X1，X2，…，N獨立的;（2）X1，X2，…是同分布的;（3）N～P（λ）.

復(fù)合泊松分布在保險中是常用的概率分布，隨機變量N可看成 N 個保險保單組合，Xi（i=1，2，…）是第i個保單可能的索賠額，則S是這N個保單組合的總索賠額。因此探討S的概率分布及數(shù)學期望和方差對保險公司來說有著重要的意義。

（二）復(fù)合泊松分布概率分布的算法

復(fù)合泊松分布的概率分布的計算需要用到全概率公式，下面敘述該公式。

設(shè)事件A1， A2， …， An， …是樣本空間Ω的一個分割，亦稱為完備事件組，即Ai（i=1， 2， …， n， …）兩兩互不相交，而且

假設(shè)樣本空間中有另外一個事件B，這樣一來

這樣我們可以得到全概率公式，

由全概率公式，復(fù)合泊松分布的概率分布可以寫成，

的計算需要用到卷積公式，這里可以舉個例子說明這個公式的計算。假設(shè)隨機變量ξ1～B（n1，p），ξ2～B（n2，p），并且互相獨立，我們可以給出ξ=ξ1+ξ2的概率分布。首先ξ的可能取值為0，1，2，…，n1+n2.

其實我們發(fā)現(xiàn)ξ～B（n1+n2，p），該結(jié)論很容易推廣到多個獨立二項分布和的情形。

在復(fù)合泊松分布中若假設(shè)Xi～B（1， p）（i=1， 2， …），即在保險中每次索賠額要么是1，要么是0.這種假設(shè)下，的可能取值非負整數(shù)值，其概率分布為，

也即在該特殊情形下，S～P（λp）.

（三）復(fù)合泊松分布的數(shù)學期望

復(fù)合泊松分布的數(shù)學期望要用到全期望公式，首先介紹一下該公式，對任意的隨機變量X，Y，我們有

由全期望公式，我們可以給出復(fù)合泊松分布的數(shù)學期望，

在保險中，復(fù)合泊松分布的數(shù)學期望意義也很清晰，E（N）表示保單組合的平均個數(shù)，E（X1）表示每個保單賠付的平均額，所以總的索賠額為E（N）E（X1）.

在復(fù)合泊松分布中若假設(shè)Xi～B（1， p）（i=1， 2， …），該種特殊情形下，其數(shù)學期望為E（S）=λp，方差為D（S）=λp.

三、小節(jié)

復(fù)合泊松分布在非壽險精算中有著非常重要的意義，在非壽險精算中，我們往往假設(shè)保險公司的總索賠額度服從復(fù)合泊松分布，因此對復(fù)合泊松分布的研究顯得非常重要，包括對復(fù)合泊松分布的概率分布及其數(shù)字特征的研究。

參考文獻：

[1]李賢平.概率論基礎(chǔ)（第二版）[M].高等教育出版社，1997.

[2]唐玲，徐懷.復(fù)合泊松分布和泊松過程的可加性[J].安徽建筑大學學報，2007，15 （5）：80-81.

[3]田國華.高校經(jīng)典教材同步輔導 數(shù)學分析 華東師大第三版 上冊[M].人民日報出版社，2004.