注重概念生成 提升數(shù)學(xué)理解

摘 要：新頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)指出：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握。在教學(xué)的始終，要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)一些核心概念的理解和深化。本文擬以《導(dǎo)數(shù)的概念》為例，闡述在概念教學(xué)中注重其生成過程，提升數(shù)學(xué)理解。

關(guān)鍵詞：概念；教學(xué)；導(dǎo)數(shù)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生掌握和理解數(shù)學(xué)概念的程度，直接影響到其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。這就需要教師在高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)中抓住數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，積極為學(xué)生創(chuàng)設(shè)各種情境，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

一、 教學(xué)過程分析

注重?cái)?shù)學(xué)概念的形成過程，重視學(xué)生的思維發(fā)展。本節(jié)課采取“情境—探究—體會(huì)—形成概念”的過程學(xué)習(xí)，以恰當(dāng)?shù)膯栴}為橋梁，引導(dǎo)學(xué)生類比探究形成導(dǎo)數(shù)概念。

（一） 創(chuàng)設(shè)情境，自主探究

1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的探究

問題1 鐵球從50 m高的天臺(tái)落下，請(qǐng)問在鐵球落下2 s 時(shí)距離地面還有多高？這個(gè)時(shí)刻的速度是多少？此處教師可以借助Excel表的快速計(jì)算功能并展示給學(xué)生看。（設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生熟悉的自由落體運(yùn)動(dòng)為例，借助多媒體技術(shù)和教學(xué)軟件計(jì)算數(shù)據(jù)，學(xué)生通過數(shù)據(jù)分析，直觀感受和認(rèn)識(shí)瞬時(shí)速度的形成過程。）

問題2 上述表格你有什么發(fā)現(xiàn)？如何刻畫鐵球落下2 s 時(shí)速度？（設(shè)計(jì)意圖：通過具體情境，借助數(shù)據(jù)讓學(xué)生對(duì)瞬時(shí)變化率有直觀而清晰的認(rèn)識(shí)，是可以觸摸的抽象概念。讓學(xué)生感受平均速度的變化，用平均速度逼近瞬時(shí)速度，領(lǐng)悟極限思想。）

問題3 鐵球在落下的每一時(shí)刻t0的運(yùn)動(dòng)快慢都是不同的，在每一時(shí)刻t0都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)來描述這一時(shí)刻的快慢程度，如何求出這個(gè)數(shù)？（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)瞬時(shí)速度的認(rèn)識(shí)從具體時(shí)刻到一般時(shí)刻，通過類比達(dá)到一般化。）

2. 曲線上一點(diǎn)處切線的探究

問題4 上述的物理背景能抽象出來變成數(shù)學(xué)模型嗎？ 提煉數(shù)學(xué)模型：y=4.9x2。

問題5 借助幾何畫板演示，點(diǎn)P是函數(shù)y=4.9x2曲線上一個(gè)定點(diǎn)P（xp=2），點(diǎn)Q是該圖像上點(diǎn)P附近的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試觀察：當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時(shí)，這條割線PQ有怎樣的變化趨勢(shì)？（設(shè)計(jì)意圖：借助數(shù)學(xué)軟件，通過運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來分析問題，讓學(xué)生體會(huì)割線逼近切線的過程，發(fā)展直觀想象能力。）

問題6 如何計(jì)算曲線上一點(diǎn)P（xp=2）處切線的斜率？

（二） 歸納類比，形成概念

問題7 （1）對(duì)瞬時(shí)速度和切線的斜率兩個(gè)具體問題，解決方法上有什么共同之處？以上兩個(gè)問題，雖然背景不同，但數(shù)學(xué)模型相同，歸結(jié)為函數(shù)在某一點(diǎn)處函數(shù)值的增量與自變量的增量的比值的極限問題。（2）更一般地，如何求一般函數(shù)y=f（x）在x=x0處的變化率？（設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境，讓學(xué)生找到概念的現(xiàn)實(shí)原型，體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系。從具體到抽象，特殊到一般，利用瞬時(shí)速度進(jìn)行類比遷移，引出導(dǎo)數(shù)概念的形式化定義，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。）

定義1：函數(shù)在x=x0處可導(dǎo)及其導(dǎo)數(shù)

問題8 函數(shù)y=f（x）在x=x0處導(dǎo)數(shù)是什么？（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用三種語(yǔ)言：文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言來理解和把握概念的內(nèi)涵與外延。）

問題9 求函數(shù)y=f（x）在x=x0處導(dǎo)數(shù)的方法是什么？

（三） 數(shù)學(xué)運(yùn)用，深化理解

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+2。（1）求f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)；（2）求f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：滲透算法思想，加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

問題10 由例1讓學(xué)生思考y=f（x）在x=1處可導(dǎo)，那么在x=-1，x=2，x=3，x=4處可導(dǎo)嗎？若可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)是多少？（a，b）內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)嗎？（由特殊到一般引出導(dǎo)函數(shù)的概念）

定義2 函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)

問題11 怎樣求導(dǎo)函數(shù)的解析式？

運(yùn)用函數(shù)思想，只要把求一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)x0替換成x，就可以求出導(dǎo)函數(shù)的解析式。

例2 已知函數(shù)f（x）=x3。分別求（1）f′（1）；（2）f′（x）。（設(shè)計(jì)意圖：兩問雖是求導(dǎo)數(shù)，但有本質(zhì)上的不同！通過此例讓學(xué)生分清“函數(shù)f（x）在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”與“函數(shù)f（x）在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)”的關(guān)系。）

問題12 f′（x0）與f′（x）的含義有什么不同？

二、 教學(xué)感悟

根據(jù)奧蘇貝爾的學(xué)習(xí)理論，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念有兩種最基本的形式。一是概念的形成；二是概念的同化。本節(jié)導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)是概念的形成，從大量具體例子出發(fā)，從學(xué)生熟悉的例子中，觀察、分析、抽象、歸納出一類事物的本質(zhì)屬性。以“問題串”形式將導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)按內(nèi)容的深度性和連貫性呈現(xiàn)出來，從具體的生活情境入手，逐步抽象到一般的數(shù)學(xué)模型，便于學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解難度的突破。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書：數(shù)學(xué)選修2-2[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012.

[2]徐波.高中新課程“導(dǎo)數(shù)的概念”教學(xué)分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（1-2）.

作者簡(jiǎn)介：

張弟，江蘇省常州市，江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué)。