質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的路程計(jì)算方法

黃濤 李光才 王紅

摘 要：質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的路程的計(jì)算問(wèn)題，是考試考查的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)。如何正確計(jì)算質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的路程？筆者對(duì)此做系統(tǒng)的總結(jié)。

關(guān)鍵詞：質(zhì)點(diǎn)；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；路程

質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)一段路程，必然經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，按運(yùn)動(dòng)時(shí)間對(duì)路程計(jì)算進(jìn)行分類。設(shè)質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T，振幅為A，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Δt，相應(yīng)的路程為s，則：

一、 當(dāng)Δt=NT2（N=1，2，3……）時(shí)，則s=2NA。

因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)每經(jīng)歷一個(gè)周期，就完成一次全振動(dòng)，路程為4倍的振幅，而質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期，路程為完成一次全振動(dòng)路程的一半的即2倍的振幅。所以，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)Δt=NT2（N=1，2，3……），對(duì)應(yīng)路程s=2NA。

例1 周期為2 s的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在半分鐘內(nèi)通過(guò)的路程是60 cm，則在此時(shí)間內(nèi)振子經(jīng)過(guò)平衡位置的次數(shù)和振子的振幅分別為（ ）

A. 15次，2 cm

B. 30次，1 cm

C. 15次，1 cm

D. 60次，2 cm

解析：每周期內(nèi)二次通過(guò)平衡位置，則半分鐘內(nèi)通過(guò)平衡位置的次數(shù)2×302次=30次，半分鐘是15個(gè)周期，每周期通過(guò)的路程為4A，則60A=60 cm，A=1 cm，B選項(xiàng)正確。

例2 一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象如下圖1所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)頻率是4 Hz

B. 在10 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程是20 cm

C. 第4 s末質(zhì)點(diǎn)的速度是零

D. 在t=1 s和t=3 s兩時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位移大小相等，方向相同

解析：由振動(dòng)圖象可知，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為4 s，頻率為0.25 Hz，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；振幅為2 cm，每半個(gè)周期質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為2A，10 s為5/2個(gè)周期，經(jīng)過(guò)的路程為5×2A=20（cm），B選項(xiàng)正確。第4 s末質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，速度最大，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤。在t=1 s和t=3 s兩時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)分別在正最大位移和負(fù)最大位移處，大小相等、方向相反，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

二、 當(dāng)Δt≠NT2（N=1.2.3……）時(shí)，則s可采用路程的定義來(lái)計(jì)算。路程的定義是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，據(jù)此我們可以利用位移-時(shí)間函數(shù)關(guān)系式計(jì)算質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初、末位置，畫出質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的情景圖，從而確定其運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而算出路程。

例3 試判斷下列說(shuō)法正誤：質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷14周期，運(yùn)動(dòng)的路程為1倍振幅。

解析：設(shè)質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T，振幅為A，相對(duì)平衡位置的位移為x，路程為s。如下圖2的1、2所示：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從平衡位置或最大位移處出發(fā)，經(jīng)歷14周期，運(yùn)動(dòng)的路程為一次全振動(dòng)路程的14，即為1倍振幅。但是，質(zhì)點(diǎn)不從這兩個(gè)位置出發(fā)時(shí)，路程可能比1倍振幅大，也可能比1倍振幅小。如下圖3的3所示：質(zhì)點(diǎn)從x=22A出發(fā)，經(jīng)過(guò)14T，路程為s=2A>A；如下圖3的4所示，質(zhì)點(diǎn)仍從x=22A出發(fā)，經(jīng)過(guò)14T，路程為s=（2-2A）

例4 如下圖4所示是彈簧振子的振動(dòng)圖象，請(qǐng)回答下列問(wèn)題。

（一） 振子的振幅、周期、頻率分別為多少？

（二） 根據(jù)振動(dòng)圖象寫出該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。

（三） 當(dāng)t=23s時(shí)，物體的位移是多少？物體通過(guò)的路程是多少？

解析：（1）由振動(dòng)圖象可知振幅A=2 cm，周期T=0.8 s，頻率f=1.25 Hz。

（2） 由圖象可知，振子的圓頻率ω=2πT=2.5πrad/s，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相φ=0，則簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式x=Asin（ωt+φ）=2sin（2.5πt）cm。

（3） 把t=23s代入x=2sin（2.5πt），得x=-3cm。畫出其運(yùn)動(dòng)情境圖，確定運(yùn)動(dòng)軌跡，如下圖，故s=（4+3）cm.

例5 一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振動(dòng)圖象如下圖6所示，求t=0.6 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程是多少？

解析：現(xiàn)根據(jù)圖象，寫出該質(zhì)點(diǎn)的位移—時(shí)間函數(shù)式：x=-4sin（2.5πt+16π）cm。把t=0.6 s代入x=-4sin（2.5πt+16π）cm，得x=23。畫出運(yùn)動(dòng)情境圖，確定運(yùn)動(dòng)軌跡，如下圖7所示，則s=（6+23）cm。

總而言之，做周期為T、振幅為A簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的路程可根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間特點(diǎn)進(jìn)行區(qū)別性處理：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間Δt=NT2（N=1，2，3……）時(shí)，則路程s=2NA；當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間Δt≠NT2（N=1，2，3……）時(shí)，需畫出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)路程定義來(lái)計(jì)算。這是筆者的一點(diǎn)淺薄之見(jiàn)，希望各位讀者批評(píng)指正，不吝賜教！

作者簡(jiǎn)介：

黃濤，李光才，王紅，河南省信陽(yáng)市，河南省息縣第一高級(jí)中學(xué)。