非平穩(wěn)地震作用下高墩橋梁體間隙需求分析

李蘭平 ，卜一之 ，賈宏宇 ,2，張 明 ，李 晰

（1. 西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川 成都 610031；2. 北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

歷次地震（如2008年汶川地震、2010年Chile地震和2011年Christchurch地震等）災(zāi)后調(diào)查表明，地震作用下橋梁相鄰梁體間的碰撞被認(rèn)為是引起橋梁上部結(jié)構(gòu)震害最為主要的原因之一[1-3]. 地震作用下相鄰梁體間的碰撞會導(dǎo)致梁體局部嚴(yán)重?fù)p壞甚至落梁，進(jìn)而中斷交通生命線，影響抗震救災(zāi)的順利進(jìn)行，對生命財(cái)產(chǎn)造成不可估量的損失. 因此，重視碰撞引起的橋梁震害，研究防止碰撞的措施有著極其重要的意義.

地震誘發(fā)橋梁相鄰結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞的原因有多方面. 究其內(nèi)因而言，相鄰結(jié)構(gòu)動力特性差異過大以及相鄰梁體間隙寬度過小是最為主要的原因[4]. 其中，因地形等因素的限制，相鄰結(jié)構(gòu)動力特性差異過大的現(xiàn)象較為普遍. 因此，防止碰撞最為直接有效的措施是設(shè)置合理的梁體間隙寬度. 許多學(xué)者對此做了大量的研究，其中，Hao[5]基于隨機(jī)振動理論，研究了多點(diǎn)激勵(lì)下橋梁的跨度、場地效應(yīng)和阻尼比等對兩跨簡支梁相鄰梁體間相對位移的影響，表明相鄰結(jié)構(gòu)的基頻接近時(shí)，地震動空間效應(yīng)是引起相鄰結(jié)構(gòu)相對位移最為主要的因素；Ruangrassamee等[6]等將相鄰梁體簡化為兩單自由度體系，并利用該簡化模型研究了碰撞對相鄰梁體間最大相對位移的影響，建立了碰撞作用下相對位移反應(yīng)譜，但忽略了地震動空間變化效應(yīng)的影響；白鳳龍[7]利用簡化的單自由度體系，建立了空間變化地震動作用下相鄰結(jié)構(gòu)間的相對位移反應(yīng)譜，該相對位移反應(yīng)譜可為判斷簡單橋梁結(jié)構(gòu)梁體防撞間隙寬度設(shè)置是否合理提供依據(jù)；Chouw等[8-9]考慮碰撞情況下，空間場地效應(yīng)以及土-結(jié)構(gòu)相互作用效應(yīng)對傳統(tǒng)伸縮縫及模數(shù)式伸縮縫寬度設(shè)置的影響；李忠獻(xiàn)等[10-11]基于隨機(jī)振動理論，以隔震橋梁為對象，建立了碰撞作用下臨界間隙寬度的計(jì)算方法，該方法考慮了空間場地變化效應(yīng)以及土-基礎(chǔ)相互作用效應(yīng)對臨界碰撞間隙寬度的影響；Bi等[12]研究了場地效應(yīng)以及土-結(jié)構(gòu)相互作用共同作用時(shí)，對碰撞間隙需求量的影響，結(jié)果表明：場地條件對碰撞影響明顯，場地條件不可忽略；與硬土場地條件相比，軟土場地條件下土-結(jié)構(gòu)相互作用效應(yīng)對碰撞相對位移影響更為明顯；賈宏宇等[13]根據(jù)隨機(jī)振動理論，利用振型疊加法在頻域范圍內(nèi)推導(dǎo)了烈度-間隙寬度計(jì)算方法，研究了地震作用下橋梁結(jié)構(gòu)在一致場地和非一致場地（實(shí)際場地）條件下的碰撞間隙需求量. 綜上所述，以上研究均未考慮地震動的非平穩(wěn)性. 而真實(shí)地震動具有明顯的強(qiáng)度非平穩(wěn)性和頻率分量非平穩(wěn)性，忽略地震動的非平穩(wěn)性會高估橋梁結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，在設(shè)計(jì)地震作用下不能充分發(fā)揮橋梁結(jié)構(gòu)的抗震性能[14]. 因此，研究非平穩(wěn)地震作用下高墩橋梁體間隙寬度需求有著極其重要的意義.

本文基于隨機(jī)振動理論及虛擬激勵(lì)法，在線彈性范圍內(nèi)，利用振型疊加法推導(dǎo)了非平穩(wěn)地震作用下相鄰梁體相對位移需求與烈度間的數(shù)學(xué)關(guān)系；建立了通過梁體間最大相對位移確定碰撞間隙寬度需求的計(jì)算方法；并以某大跨度連續(xù)剛構(gòu)-連續(xù)梁體系為實(shí)際工程背景，建立有限元模型，分析對比了非平穩(wěn)地震作用下橋梁結(jié)構(gòu)在一致場地和非一致場地（實(shí)際場地）條件下的碰撞間隙需求量，建立了不同烈度下碰撞間隙需求譜. 本文所述方法可充分發(fā)揮橋梁的抗震性能，也可為評估既有橋梁間隙寬度是否滿足防碰撞需求提供依據(jù).

1 非平穩(wěn)地震動空間效應(yīng)模擬

假設(shè)大跨度橋梁結(jié)構(gòu)遭受多點(diǎn)非平穩(wěn)地震動激勵(lì)，大跨度橋梁結(jié)構(gòu)m個(gè)地面支承點(diǎn)處的加速度功率譜密度函數(shù)矩陣可表示為[14]

式中： k =1,2,···,m ； ω 為 頻率； G (t) 為均勻調(diào)制函數(shù)，其表達(dá)式見式（3）； Skk(ω) 、 Sll(ω) 為第 k、l地面支承點(diǎn)處自功率譜密度函數(shù)，其表達(dá)式見式（4）；ρkl(ω)為 第k、l地面支承點(diǎn)間的相干函數(shù)， ρkl(ω) =0 完全不相干， ρkl(ω) =1完全相干，0 ＜ ρkl(ω) ＜1部分相干.

式中： t1、 t2、 c 為均勻調(diào)制函數(shù)形狀控制參數(shù)，本文中 t1=7．1 s ， t2=19．5 s ， c =0．16 ，地震動持時(shí) t =25 s.

式中： Hfkk(ω) 為 與中心頻率 ωf和阻尼比 ξf有關(guān)的高通濾波函數(shù)； S0(ω) 為Tajimi-Kanai地面加速度功率譜密度函數(shù)； ωg和 ξg為Tajimi-Kanai功率譜密度函數(shù)的中心頻率和阻尼比，二者取值與場地條件有關(guān)； Γ 為與地震動強(qiáng)度有關(guān)的比例因子； ωf、 ξf、ωg及 ξg取值參見文獻(xiàn)[13]，詳見表 1； Γ 取值參見文獻(xiàn)[13]，詳見表2.

表1 3類場地類型參數(shù)Tab.1 Type parameters for three sites

表2 地震動強(qiáng)度比例因子Tab.2 Scale factor of ground motion intensity cm2/s

地震記錄表明，地面運(yùn)動最初從靜止開始逐漸增強(qiáng)，之后進(jìn)入相對穩(wěn)定階段，最后振幅逐漸衰減至0，呈現(xiàn)明顯的非平穩(wěn)性，如果將非平穩(wěn)激勵(lì)按照平穩(wěn)激勵(lì)處理，那么結(jié)構(gòu)輸出響應(yīng)相對保守. 因此，考慮地震動的非平穩(wěn)性是非常必要的. 本文采用均勻調(diào)制函數(shù)模擬地震動的非平穩(wěn)性[14].

為了構(gòu)造式（1）來模擬地震動場，本文采用修正的Clough-Penzien模型[15]模擬自功率譜密度函數(shù)skk(ω)構(gòu)成式（1）中對角線單元. 該模型具有抑制低頻地震動分量的作用，不同的模型參數(shù)可反應(yīng)場地特性及地震動強(qiáng)度特性.

由結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理可知，一致激勵(lì)與多點(diǎn)激勵(lì)相比較，一致激勵(lì)會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生對稱振型，多點(diǎn)激勵(lì)作用下會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生對稱振型以及反對稱振型. 而考慮完全不相干（ ρkl(iω) = 0）時(shí)，更易引發(fā)結(jié)構(gòu)對稱振型和反對稱振型，此時(shí)結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)達(dá)到最大. 因此，為了考慮更多振型參與，得到結(jié)構(gòu)的最大動力響應(yīng)值，便于抗震設(shè)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用，本文考慮各地面支承處完全不相干，即僅考慮場地效應(yīng).

將 ρkl(iω) = 0 及式（2）～（4）代入式（1）可得

基于式（7）的矩陣分解，構(gòu)造任意點(diǎn)k 處地面支承處 虛 擬 加 速 度(ω,t)=G(t)Hfkk(ω). 由ω,t)組成的虛擬加速度矩陣 U?¨ (ω,t) 直接作為動力振動方程的確定性外荷載，便于在通用有限元中利用瞬態(tài)分析模塊求解.

2 非平穩(wěn)相對位移響應(yīng)求解

2.1 運(yùn)動方程

對于有m個(gè)地面支承，n個(gè)節(jié)點(diǎn)的離散線性結(jié)構(gòu)，地震多點(diǎn)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程為[16]

式中：下標(biāo)s為非地面支承節(jié)點(diǎn)，下標(biāo)b為地面支承節(jié)點(diǎn)；Mss、Css、Kss分別為 n × n 維的非支承節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Mbb、Cbb、Kbb分別為 m × m 維的支承節(jié)點(diǎn)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Kbs、Ksb分別為支撐節(jié)點(diǎn)和非支撐節(jié)點(diǎn)的耦合剛度矩陣；Xb、、為m維列向量，代表地面支承節(jié)點(diǎn)強(qiáng)迫位移、速度、加速度；Xs、、為 n 維列向量，代表結(jié)構(gòu)非地面支承節(jié)點(diǎn)位移、速度、加速度；Pb為地面支承節(jié)點(diǎn)受到地面地震力.

式中： Hf=[Hf11(ω)Hf22(ω) ···Hfmm(ω)]T.

將式（8）按第二項(xiàng)展開并將式（9）代入可得

采 用大質(zhì) 量 法，令 Mbb→ ∞ ， 則 Mbb-1→0 ，式（10）左右兩邊同時(shí)左乘 Mbb-1并整理可得

因 G (t) 是隨時(shí)間慢變的確定性函數(shù)，故對初始靜止的結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的虛擬地面位移為[17]

將式（8）按第一項(xiàng)展開并整理可得

假定 Css為比例阻尼矩陣，則式（10）可分解q個(gè)相互獨(dú)立的單自由度方程，即

式中： μj、 μ ˙j、分別為第 j階模態(tài)響應(yīng)、模態(tài)速度、模態(tài)加速度； ξj為 第j階阻尼比； ωj第j階圓頻率； φj為第 j階振型.

將式（12）代入式（14），求解可得

式 中 ： Ij(ω,t)=0thj(t-τ)G(τ)eiωτdτ ； hj(t-τ) 為 與第j階振型相應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)； τ 為積分變量.

因此，非支撐節(jié)點(diǎn)處虛擬位移響應(yīng)為

任意兩節(jié)點(diǎn)處虛擬相對位移響應(yīng)為

式中：Xs1、Xs2和 φj1、 φj2分別為任意兩位置處的虛擬位移響應(yīng)和第j階陣陣型.

任意兩節(jié)點(diǎn)處相對位移功率譜密度函數(shù)為

式中： Iy(ω,t) 為 第y階杜哈梅爾積分； φy為第y階陣型； φy1、 φy2分別為任意兩位置處的第y階陣型.

2.2 峰值響應(yīng)

基于隨機(jī)振動理論，線性結(jié)構(gòu)體系在平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下，任意響應(yīng)的第i階譜矩為

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下反應(yīng)峰值的均值 y 以及均方差 σ 可表示為

式中：q、p為均值、均方差的峰值因子；υy為平均頻率；λ0和λ2為平穩(wěn)響應(yīng)0階和2階譜矩.

在非平穩(wěn)地震激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均值和均方值是隨時(shí)間變化的，為了便于分析對比，對其進(jìn)行簡化，將非平穩(wěn)相對位移響應(yīng)進(jìn)行平穩(wěn)化處理[19]，即將時(shí)變均方差σz(t) 、時(shí)變0階譜矩陣λ0(t) 和時(shí)變2階譜矩陣λ2(t) 在地震動持時(shí)上取平均值，得到等效平穩(wěn)化均方反應(yīng)σz、等效平穩(wěn)化0階譜矩 λ0及2階譜矩λ2.

將平穩(wěn)化的σz、λ0和λ2代替σy、λ0和λ2，并利用式（22）可求得非平穩(wěn)相對位移的峰值反應(yīng)，進(jìn)而求得非平穩(wěn)地震作用下相鄰梁體間隙寬度需求量.

3 數(shù)值算例

3.1 有限元模型及工況

本文基于文獻(xiàn)[13]，研究擴(kuò)展到了非平穩(wěn)地震激勵(lì)下梁體間隙寬度需求分析. 在有限元軟件ANSYS中建立全橋有限元數(shù)值分析模型，模型詳細(xì)參數(shù)見文獻(xiàn)[13]. 采用墩底施加大質(zhì)量，將加速度轉(zhuǎn)化為確定性外荷載施加到大質(zhì)量上，以實(shí)現(xiàn)非平穩(wěn)地震動的多點(diǎn)輸入，并在通用有限元中利用瞬態(tài)分析模塊求解. 橋墩編號從左到右依次為 1#、2#、3#、4#、5#，橋梁碰撞點(diǎn)位于梁體-梁體（D2）和梁體-橋臺（D1和D3）處，見圖1. 本文未考慮橋臺處的非平穩(wěn)地震激勵(lì)，而重點(diǎn)關(guān)注非平穩(wěn)地震動作用下D2處相對位移響應(yīng). 因橋臺的碰撞會對梁體有限制作用，則本文的D2是相對保守的，對于工程應(yīng)用也是偏安全.

圖1 鐵路橋梁結(jié)構(gòu)示意（單位：m）Fig.1 Schematic view of the railway bridge （unit：m）

為研究非平穩(wěn)地震動作用下橋梁結(jié)構(gòu)在一致場地和非一致場地（實(shí)際場地）條件下的碰撞間隙需求量，本文考慮不同烈度下相同場地條件、相同烈度下不同場地條件，共設(shè)置20個(gè)工況，工況設(shè)置詳見表3. 3種場地土類型分別為軟土場（S）、中土場（M）和硬土場（F）. 實(shí)際場地分布為1#墩底處于中土場（M）、2#墩底處于軟土場（S）、3#墩底處于硬土場（F）、4#墩底處于中土場（M）和5#墩底處于軟土場（S）. 本文中結(jié)構(gòu)阻尼比均取0.05，有效頻率積分區(qū)間取ω ∈ [0．1,50．0]，單位rad/s，積分步長取0.1 rad/s.

3.2 計(jì)算結(jié)果及分析

為研究非平穩(wěn)地震動對梁體間隙寬度設(shè)置的影響，本文分析計(jì)算了不同烈度下一致場地和非一致場地（實(shí)際場地）條件下非平穩(wěn)相對位移響應(yīng)，并對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比，獲得了不同烈度下碰撞間隙需求譜.

基于大質(zhì)量法并利用式（25）求得了各烈度下非平穩(wěn)相對位移時(shí)變均方差（見圖2、3）. 從圖2、3可以看出，相對位移均方差具有隨時(shí)間變化的特征，這特征和分段函數(shù)類似，即經(jīng)歷了3個(gè)階段：先上升、后平穩(wěn)、隨后下降，表現(xiàn)出了強(qiáng)非平穩(wěn)性特征. 因此，考慮地震動的非平穩(wěn)性對相對位移響應(yīng)的影響是非常必要的. 另外，將各烈度下不同場地條件的相對位移時(shí)變均方差的峰值歸一化，實(shí)際場地、軟土場地、中土場地和硬土場地的峰值比為4.36∶2.47∶1.77∶1.00. 結(jié)果表明僅考慮一致場地時(shí)，場地越軟，相對位移響應(yīng)越大. 相比于一致場地，實(shí)際場地對相對位移響應(yīng)具有放大作用，其原因在于實(shí)際場地為多點(diǎn)激勵(lì)，更容易激起更多結(jié)構(gòu)的對稱振型和反對稱振型. 因此，忽略實(shí)際場地條件會嚴(yán)重低估梁體間的相對位移響應(yīng)，分析計(jì)算梁體間的相對位移響應(yīng)時(shí)，必須考慮場地土類型的實(shí)際分布.

表3 墩底工況分析Tab.3 Analysis of pier bottom condition

將非平穩(wěn)相對位移響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行平穩(wěn)化處理，利用式（22）可求得非平穩(wěn)相對位移的峰值反應(yīng)，即：各烈度不同場地條件下間隙寬度需求量的均值和均方差（圖4和圖5）. 據(jù)圖4、5可知，在實(shí)際場地分布條件下（非一致激勵(lì)），每個(gè)烈度下間隙寬度需求峰值的均值和均方差均大于一致場地條件（一致激勵(lì)）. 非一致場地情況時(shí)（實(shí)際場地），非平穩(wěn)間隙寬度需求峰值的均值比軟土場地、中土場地和硬土場地分別大36%、69%和73%，均方差分別大45%、74%和78%. 此計(jì)算結(jié)果表明，實(shí)際場地條件對梁體間隙寬度的設(shè)置有較大影響，在橋梁抗震分析時(shí)考慮非一致激勵(lì)是必要的，如采用一致激勵(lì)會導(dǎo)致梁體間隙寬度不夠，不能滿足地震作用下梁體碰撞間隙需求，從而導(dǎo)致梁體碰撞，進(jìn)而使得橋梁發(fā)生破壞.

為了對比平穩(wěn)和非平穩(wěn)地震激勵(lì)下間隙寬度需求量，本文還計(jì)算了烈度為8度時(shí)平穩(wěn)間隙寬度需求量，軟土場地、中土場地、硬土場地和實(shí)際場地條件下計(jì)算結(jié)果分別是0.30、0.14、0.12 m和0.49 m.平穩(wěn)和非平穩(wěn)間隙寬度需求量的比值分別為1.27、1.26、1.26和1.32. 計(jì)算結(jié)果表明，平穩(wěn)地震激勵(lì)比非平穩(wěn)地震激勵(lì)時(shí)碰撞間隙需求量大20%～30%.平穩(wěn)時(shí)結(jié)果偏于保守，但是不能真實(shí)且合理的反應(yīng)地震設(shè)計(jì)荷載，更不能充分發(fā)揮橋梁結(jié)構(gòu)的抗震性能. 因此，考慮非平穩(wěn)地震激勵(lì)能客觀反映真實(shí)地震動，也更能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)本身的動力響應(yīng).

4 結(jié) 論

本文基于隨機(jī)振動理論及虛擬激勵(lì)法，研究了非平穩(wěn)地震動對梁體碰撞間隙寬度設(shè)置的影響. 主要結(jié)論如下：

（1） 建立了非平穩(wěn)地震動作用下烈度-間隙寬度需求間的數(shù)學(xué)關(guān)系，獲得了空間場地條件下非平穩(wěn)碰撞間隙寬度需求譜，可為新建橋梁抗震設(shè)計(jì)提供參考，也可為評估既有橋梁間隙寬度是否滿足防碰撞需求提供依據(jù)；

圖2 相對位移時(shí)變均方差（7～9度）Fig.2 Time-dependent mean square deviation of relative displacement (7-9度)

圖3 相對位移時(shí)變均方差（10度）Fig.3 Time-dependent mean square deviation of relative displacement (10度)

（2） 非平穩(wěn)比平穩(wěn)地震激勵(lì)使結(jié)構(gòu)響應(yīng)減小20%～30%，既體現(xiàn)地震動本身特征，又能真實(shí)地反映梁體間碰撞間隙需求量；

（3） 非平穩(wěn)地震激勵(lì)時(shí)，非一致場地（實(shí)際場地）條件下梁體間隙寬度需求的均值比軟土場地、中土場地和硬土場地分別大36%、69%和73%，均方差分別大45%、74%和78%.

圖4 間隙寬度需求量均值Fig.4 Mean of required separation distance

圖5 間隙寬度需求均方差Fig.5 Mean square deviation of required separation distance