基于FFT的間諧波優(yōu)化檢測(cè)算法研究

荊雪君， 智澤英

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引 言

目前，各種新能源(風(fēng)電和光伏發(fā)電等)、沖擊性負(fù)荷(高鐵等)和電動(dòng)汽車快速發(fā)展，使得電網(wǎng)中諧波、間諧波成分不斷增加，進(jìn)而降低了電能質(zhì)量[1]?；诖?，研究間諧波檢測(cè)算法從而得到實(shí)時(shí)精確的數(shù)據(jù)，對(duì)電網(wǎng)的進(jìn)一步發(fā)展至關(guān)重要。

快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform)因其技術(shù)發(fā)展成熟、計(jì)算效率高[2]，在諧波檢測(cè)分析中有著廣泛的應(yīng)用。然而間諧波成分的增加導(dǎo)致采樣無(wú)法同步，需采用加窗插值對(duì)FFT算法進(jìn)行改進(jìn)，但前提條件又稍顯苛刻，需在無(wú)噪聲的條件下才能保證參數(shù)的檢測(cè)精度[3]。小波閾值去噪法擁有低熵性、選基靈活性、去相關(guān)性和多分辨率等多種優(yōu)點(diǎn)[4]，適合分析突變和非平穩(wěn)信號(hào)。本文將小波閾值去噪算法進(jìn)行改進(jìn)，并組合性能良好的加窗插值FFT算法，給出一種新的優(yōu)化檢測(cè)方案，保證對(duì)電網(wǎng)諧波、間諧波幅頻參數(shù)的精確檢測(cè)。并通過(guò)MATLAB仿真平臺(tái)，對(duì)比了算法改進(jìn)前后的去噪效果及檢測(cè)誤差，從而驗(yàn)證本文算法的可行性。

1 算法原理

1.1 小波閾值去噪法

小波閾值去噪法的原理是依據(jù)信號(hào)和噪聲在小波域內(nèi)的能量分布的差別來(lái)實(shí)現(xiàn)信噪分離。含噪信號(hào)經(jīng)小波分解后，得到的小波系數(shù)幅值各不相同。通常信號(hào)的幅值比噪聲大，由此便可以通過(guò)設(shè)定一個(gè)閾值來(lái)決定不同信號(hào)的取舍以實(shí)現(xiàn)去噪。其過(guò)程如下所述：

圖1 小波分解示意圖

選定合理的小波基和分解層數(shù)。圖1為四層小波分解過(guò)程。ca1為近似信號(hào)，cd1、cd2、cd3、cd4為細(xì)節(jié)信號(hào)。s=ca4+cd1+cd2+cd3+cd4。近似信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)分別為原始信號(hào)的低頻和高頻部分，也就是信號(hào)的主要成分和高頻噪聲成分。一個(gè)合理小波基的選擇能夠使有用信號(hào)在小波分解后的能量集中分布在幾個(gè)主要基底上。

在處理過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)噪聲含量的不同來(lái)適時(shí)更改小波變換的尺度。首先保留小波變換后的近似信號(hào)，再對(duì)每一層細(xì)節(jié)信號(hào)的高頻系數(shù)選擇對(duì)應(yīng)合理的閾值，并利用閾值函數(shù)進(jìn)行具體的量化處理。

最后依據(jù)小波分解后的各種系數(shù)完成真實(shí)信號(hào)的小波重構(gòu)工作，從而得到去噪之后的信號(hào)波形。

小波閾值去噪法中兩個(gè)最關(guān)鍵的問(wèn)題就是如何求取合適的閾值和閾值函數(shù)。閾值的大小影響到信號(hào)的重要信息是否能完整保留。閾值函數(shù)的彎折程度則會(huì)對(duì)采樣信號(hào)整體的去噪結(jié)果產(chǎn)生影響。

1.1.1改進(jìn)的閾值選取方法

通用閾值能根據(jù)采樣信號(hào)中噪聲的強(qiáng)弱而改變，其選取方式簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛[5]。通用閾值的表達(dá)式如下：

(1)

式中:T為閾值;σ=median(WHH)/0.647 5(噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差)，其中WHH為噪聲圖在高頻子帶HH的正交小波系數(shù)，median為取中值;N為信號(hào)長(zhǎng)度。

通用閾值在小波求解時(shí)，小波系數(shù)隨分解尺度的增加而減少，但閾值卻是不變的，這樣得到結(jié)果會(huì)存在較大的偏差[6]。本文在此基礎(chǔ)上增加其與分解尺度的關(guān)系。所得關(guān)系式如下：

(2)

式中：j為分解尺度。此時(shí)閾值的選取因小波分解層數(shù)的不同而變化，這樣就能夠?qū)?yīng)分解后每層噪聲的具體分布情況。假設(shè)分解尺度增大，噪聲信號(hào)的能量就會(huì)隨之減小，則閾值也會(huì)相應(yīng)減小。與傳統(tǒng)的通用閾值相比，新的閾值選取方法具有良好的自適應(yīng)性，能配合噪聲在分解后各層的不同分布。

1.1.2改進(jìn)的閾值函數(shù)

閾值函數(shù)就是對(duì)采樣信號(hào)中的高頻部分進(jìn)一步作閾值處理，是對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行去噪處理的一種方法。硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)是傳統(tǒng)閾值函數(shù)的兩大類別。其表達(dá)式分別如下：

(3)

(4)

硬閾值函數(shù)就是將大于閾值的小波系數(shù)原樣保留，將小于閾值的部分全部置零。這樣雖能夠完整保留原始信號(hào)的特征值，但在不連續(xù)點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。軟閾值函數(shù)則是將大于閾值的小波系數(shù)按一定的比例逐漸向零變化。這樣處理之后的小波系數(shù)具有較好的連續(xù)性，重構(gòu)后可以得到平滑的去噪信號(hào)，但會(huì)存在邊緣模糊等失真現(xiàn)象。

本文基于以上兩種閾值函數(shù)進(jìn)行了一些改進(jìn)，改進(jìn)后的閾值函數(shù)表達(dá)式如下：

圖2 改進(jìn)的閾值函數(shù)曲線

其函數(shù)曲線的大致走向如圖2中的實(shí)線所示。圖中的點(diǎn)劃線表示硬閾值函數(shù)曲線，虛線表示軟閾值函數(shù)曲線，其在[-T,T]區(qū)間均為零。

由式(5)可知，改進(jìn)后的閾值函數(shù)在閾值點(diǎn)±T附近依舊是連續(xù)的。隨著調(diào)節(jié)參數(shù)n值的變化，改進(jìn)的閾值函數(shù)總是位于軟、硬閾值函數(shù)兩條曲線之間。當(dāng)n=0時(shí)，小波系數(shù)不變，依舊可以得到原信號(hào)；當(dāng)n→∞時(shí)，改進(jìn)后的閾值函數(shù)無(wú)限接近軟閾值函數(shù)。這樣既不會(huì)像硬閾值函數(shù)那樣界限過(guò)于分明，也不會(huì)像軟閾值函數(shù)那樣易損失一些高頻信息。改進(jìn)后的閾值函數(shù)不僅連續(xù)，而且可導(dǎo)，便于進(jìn)行各種數(shù)學(xué)處理。

1.2 加窗插值FFT算法

由于間諧波的存在干擾了基頻的穩(wěn)定性，導(dǎo)致采樣過(guò)程無(wú)法實(shí)現(xiàn)同步。而非整周期同步采樣使得采樣序列周期延拓后在邊界處發(fā)生跳變，所以會(huì)產(chǎn)生頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，這些都是影響FFT諧波檢測(cè)精度的主要原因[7]。

對(duì)于電網(wǎng)中含有不同頻率的原始待測(cè)信號(hào)，其通用表達(dá)式為：

(6)

余弦窗的一般表達(dá)式為：

(7)

則加窗運(yùn)算之后為：

xi(n)=xm(n)wi(n)n=0,1,…N-1

(8)

加窗實(shí)際上就是利用各種窗函數(shù)將無(wú)窮長(zhǎng)的采樣序列截短。窗函數(shù)的頻譜特性主要包括有主瓣寬度、旁瓣峰值電平以及旁瓣漸近衰減速率等。當(dāng)主瓣的寬度越窄，其對(duì)頻率的分辨率就會(huì)加強(qiáng)；當(dāng)旁瓣的峰值電平較低時(shí)，頻譜泄露的情況就會(huì)有所改善；當(dāng)旁瓣漸近衰減的速率越快，其對(duì)泄露的抑制能力就會(huì)增強(qiáng)。因此，一個(gè)理想的窗函數(shù)應(yīng)該具備主瓣寬度窄，最大旁瓣小，峰值電平低，旁瓣衰減快等特點(diǎn)[8]。同時(shí)，還需要應(yīng)用插值算法對(duì)加窗后所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，以抑制非同步采樣帶來(lái)的影響，獲得較為精確的數(shù)據(jù)。

目前，由于余弦窗的頻譜簡(jiǎn)單，性能良好，在窗函數(shù)領(lǐng)域獲得較為廣泛的應(yīng)用。隨著系數(shù)的項(xiàng)數(shù)增加，旁瓣衰減變快，頻譜的計(jì)算精度有了一定的提高，但同時(shí)主瓣寬度也會(huì)增加，使得頻譜分辨率降低。所以項(xiàng)數(shù)的取值通常不會(huì)超過(guò)四項(xiàng)[9]。本文選取了三項(xiàng)系數(shù)中典型的Blackman窗和四項(xiàng)三階Nuttall窗進(jìn)行研究比較，其頻域特性對(duì)比如表1所示。

1.2.1Blackman窗插值算法

三項(xiàng)余弦窗的計(jì)算比較復(fù)雜，需要求解一元三次方程，故運(yùn)算速度慢，但計(jì)算精度比較高，其中典型的代表窗為Blackman窗。其表達(dá)式如下：

(9)

首先要對(duì)加窗后的信號(hào)xi(n)作離散傅里葉分析，得到Xi(λ)(λ是與頻率有關(guān)的系數(shù))。但其譜值會(huì)因?yàn)榉峭讲蓸影l(fā)生偏移，從而出現(xiàn)偏差。此時(shí)需要參照任意兩個(gè)相鄰頻率點(diǎn)的譜值關(guān)系[10]如式(10)所示。

表1 窗函數(shù)的頻域特性

(10)

式中：km為采樣點(diǎn)，為正整數(shù)。

將式(10)作為修正插值公式，即獲得頻率偏差值δm，進(jìn)而用δm(取其在0～1范圍內(nèi)的解)作為插值系數(shù)來(lái)求取修正后信號(hào)的幅頻信息：

(11)

1.2.2Nuttall窗插值算法

四項(xiàng)系數(shù)余弦窗通常被認(rèn)為是項(xiàng)數(shù)最多、計(jì)算最為復(fù)雜的余弦窗，但同時(shí)也獲得了較高的精度。4項(xiàng)3階Nuttall窗不僅僅具有高精度的優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)不斷地取值分析，當(dāng)系數(shù)選擇適當(dāng)時(shí)，便可以使一些其他的相關(guān)系數(shù)為零，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。代入系數(shù)后的相關(guān)表達(dá)式如下：

(12)

同理可得Nuttall窗的插值系數(shù)和頻率、幅值的修正公式分別為：

(13)

(14)

2 仿真驗(yàn)證

本文所使用的是MATLAB R2012a仿真試驗(yàn)平臺(tái)。由于通常情況下電網(wǎng)中諧波與間諧波的含量較小，為方便觀察分析，本文設(shè)定信號(hào)的基波頻率為f=50 Hz，幅值為100 A，然后分別疊加了3次、5次、7次三個(gè)奇次諧波，4次偶次諧波和2.5次、10.5次間諧波。其表達(dá)式如下：

x=100sin(2πft)+5sin(2.5×2πft+π/3)+

10sin(3×2πft+π/3)+2.5sin(4×2πft+π/3)+

5sin(5×2πft+π/3)+2sin(7×2πft+π/3)+

2.5sin(10.5×2πft+π/3)

(15)

圖3 原始設(shè)定信號(hào)

將設(shè)定信號(hào)輸入仿真平臺(tái)后可以得到如圖3所示的波形，可以看出，在疊加了諧波、間諧波成分之后的基頻正弦波信號(hào)出現(xiàn)了畸變，且每個(gè)周期的畸變程度不同。

算法的具體步驟如下：

(1)選取合適的小波基與分解層數(shù)，確定采樣信號(hào)在各層的樣本數(shù)量，求出分解后各層的小波系數(shù)；

(2)依據(jù)新的閾值選取方法求取合適的閾值，比較分解后的各層系數(shù)與閾值的大小關(guān)系，并通過(guò)新的閾值函數(shù)對(duì)其進(jìn)行循環(huán)處理，得到去噪后的小波系數(shù)；

(3)利用新的小波系數(shù)完成波形的重構(gòu)；

(4)對(duì)重構(gòu)的波形進(jìn)行加窗運(yùn)算，得到新的序列；

(5)先對(duì)加窗后的新序列進(jìn)行離散傅里葉分析，再求取插值系數(shù)對(duì)新序列進(jìn)行修正；

(6)根據(jù)修正公式計(jì)算幅頻信息即可完成檢測(cè)。

2.1 去噪分析

圖4 含噪信號(hào)序列

為了說(shuō)明改進(jìn)后的小波閾值去噪算法的有效性，本節(jié)將其與傳統(tǒng)的軟、硬兩種閾值函數(shù)進(jìn)行比較，對(duì)同一原始信號(hào)做去噪試驗(yàn)。本節(jié)在原始設(shè)定信號(hào)的基礎(chǔ)上添加了rayleigh噪聲信號(hào)，含噪信號(hào)如圖4所示。試驗(yàn)選用db8小波進(jìn)行4層分解。三種去噪算法的結(jié)果如圖5所示。

由圖5對(duì)比可以看出：利用硬閾值去噪后的波形的去噪效果明顯不佳，雖然能夠保留所有的特征值，但依舊存在較多的干擾信號(hào)，不能達(dá)到去噪的目的。利用軟閾值去噪得到的波形平滑，但在局部特征值處存在失真現(xiàn)象，不能保留完整的真實(shí)信號(hào)，無(wú)法進(jìn)行下一步的檢測(cè)工作。改進(jìn)后的閾值去噪算法在保留原始信號(hào)特征值的基礎(chǔ)上，可以最大程度地去除噪聲信號(hào)，能夠得到良好的去噪效果。

2.2 檢測(cè)分析

通過(guò)上述改進(jìn)后的小波閾值去噪法進(jìn)行信號(hào)處理，得到接近真實(shí)信號(hào)的采樣序列。仿真試驗(yàn)的第二個(gè)階段此基礎(chǔ)上進(jìn)行諧波、間諧波參數(shù)的檢測(cè)分析。本節(jié)通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)FFT、加Blackman窗FFT、4項(xiàng)3階Nuttall窗FFT三種檢測(cè)算法進(jìn)行實(shí)例仿真比較，驗(yàn)證不同加窗插值算法對(duì)間諧波檢測(cè)的精確程度。三種算法的頻譜分析如圖6所示。

圖5 小波閾值去噪對(duì)比

圖6 三種算法的頻譜圖

試驗(yàn)證明，傳統(tǒng)FFT算法已不能適應(yīng)間諧波成分的檢測(cè)。加Blackman窗插值FFT算法在間諧波頻率的檢測(cè)上要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)FFT算法，但計(jì)算量較大，使得實(shí)時(shí)性上有一定缺陷，而且在幅值檢測(cè)上有較為明顯的誤差存在。顯然，4項(xiàng)3階Nuttall窗FFT算法在這三種算法中精度最高，誤差最小，同時(shí)計(jì)算量也較少，更適用于電網(wǎng)諧波和間諧波的實(shí)時(shí)檢測(cè)分析。

以上三種算法測(cè)得的幅頻信息如表2、表3所示。

表2 幅值參數(shù)的仿真結(jié)果

表3 頻率參數(shù)的仿真結(jié)果

根據(jù)以上仿真結(jié)果證明，本文提出的將去噪和檢測(cè)優(yōu)化組合的算法可以完成現(xiàn)場(chǎng)采樣信號(hào)的基本去噪與準(zhǔn)確檢測(cè)，與理論分析的預(yù)想基本相符。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文利用加窗插值算法解決了間諧波帶來(lái)的頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，又為進(jìn)一步提高檢測(cè)精度及抗干擾能力，加入了改進(jìn)后的小波閾值去噪算法。一方面實(shí)現(xiàn)了較好的信噪分離，另一方面提高了間諧波成分的檢測(cè)精度。最終通過(guò)仿真比較，證明了該優(yōu)化方案具有良好去噪、簡(jiǎn)化計(jì)算和檢測(cè)準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)，為后續(xù)的諧波抑制與補(bǔ)償做了良好的前期準(zhǔn)備工作。但考慮噪聲信號(hào)與間諧波真實(shí)信號(hào)之間可能會(huì)存在相互干擾，本算法還需要更多的實(shí)際論證。