高等數(shù)學(xué)在建筑學(xué)中應(yīng)用探究

洪小飛

河南省新鄭市中華北路鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 河南 新鄭 451100

數(shù)學(xué)與建筑學(xué)的結(jié)合使建筑更完美。幾千年來,數(shù)學(xué)一直是用于設(shè)計(jì)和建造的一個(gè)很寶貴的工具。它一直是建筑設(shè)計(jì)思想的一種來源,也是建筑師用來得以排除建筑上的試錯(cuò)技術(shù)的手段。

下面我們列出一部分長(zhǎng)期以來用在建筑上的數(shù)學(xué)概念：如,角錐、棱柱、黃金矩形、視錯(cuò)覺、立方體、多面體、網(wǎng)格球頂、三角形、畢達(dá)哥拉斯定理、正方形、矩形、平行四邊形、圓,半圓、球,半球、多邊形、角、對(duì)稱、拋物線、懸鏈線、雙曲拋物面、比例、弧、重心、螺線、螺旋線所、橢圓、鑲嵌圖案、透視等等。而這些概念在建筑中隨處可見,運(yùn)用得如此之深之廣泛,讓人驚嘆。

影響一個(gè)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)的有它的周圍環(huán)境、材料的可得性和類型,以及建筑師所能依靠的想像力,智慧,還有數(shù)學(xué)能力。而回望過去,歷史上不乏很多體現(xiàn)數(shù)學(xué)光芒的例子,下面列舉一些,而這些也只是其中很少很少的一部分。①為建造埃及、墨西哥和尤卡坦的金字塔而計(jì)算石塊的大小、形狀、數(shù)量和排列的工作,依靠的是有關(guān)直角三角形、正方形、畢達(dá)哥拉斯定理、體積和估計(jì)的知識(shí)。②秘魯古跡馬丘比丘的設(shè)計(jì)的規(guī)則性,沒有幾何計(jì)劃是不可能的。③希臘雅典的巴臺(tái)農(nóng)神廟的構(gòu)造依靠的是利用黃金矩形、視錯(cuò)覺、精密測(cè)量和將標(biāo)準(zhǔn)尺寸的柱子切割成呈精確規(guī)格(永遠(yuǎn)使直徑成為高度的1/3)的比例知識(shí)。④埃皮扎夫羅斯古劇場(chǎng)的布局和位置的幾何精確性經(jīng)過專門計(jì)算,以提高音響效果,并使觀眾的視域達(dá)到最大。⑤圓、半圓、半球和拱頂?shù)膭?chuàng)新用法成了羅馬建筑師引進(jìn)并加以完善的主要數(shù)學(xué)思想。⑥拜占庭時(shí)期的建筑師將正方形、圓、立方體和半球的概念與拱頂漂亮地結(jié)合在一起,就像君士坦丁堡的圣索菲亞教堂中所用的那樣。⑦哥特式教堂的建筑師用數(shù)學(xué)確定重心,以構(gòu)成一個(gè)可調(diào)整的幾何設(shè)計(jì),使拱頂匯于一點(diǎn),將石結(jié)構(gòu)的巨大重量引回地面,而不是橫向引出。⑧文藝復(fù)興時(shí)期的石結(jié)構(gòu)顯示出對(duì)稱方面的精心設(shè)計(jì),它是依靠明和暗、實(shí)和虛來實(shí)現(xiàn)的。

數(shù)學(xué)與建筑學(xué)本身就是美的。羅素說過,數(shù)學(xué)“不僅擁有真理而且擁有至高無上的美——一種冷峻嚴(yán)肅的美,就像一尊雕塑……它可以達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地”。數(shù)學(xué)的美是抽象的、簡(jiǎn)潔的和內(nèi)在的。數(shù)學(xué)的美對(duì)藝術(shù)的美有一種永恒的激勵(lì)作用。1.黃金分割和建筑、藝術(shù)所謂黃金分割就是一條線段被分割成兩段,其中較長(zhǎng)者正好是較短者與整個(gè)線段的比例中項(xiàng)。設(shè)較長(zhǎng)一段的長(zhǎng)度為,應(yīng)有,于是有可解得。在漫長(zhǎng)的歷史中,人們發(fā)現(xiàn)黃金分割可以反映客觀世界的某種和諧性。客觀世界中許多事物若符合黃金分割的比例,就會(huì)令人有一種賞心悅目的感覺。例如,金字塔原來高146m,底邊寬132 m,兩者之比非常接近黃金分割之比;雅典的巴特農(nóng)神廟,其正面以及柱、檐各部分的高寬比都符合黃金分割。另外,英國(guó)的圣保羅大教堂、溫莎城堡,伊拉克巴格達(dá)城門,中國(guó)長(zhǎng)城等在建筑時(shí)都用了黃金分割。2.中岳嵩山在河南省登封市境內(nèi),雄偉挺拔。在嵩山南麓,有一個(gè)古廟,叫做嵩岳寺。寺內(nèi)有一座寶塔,名嵩岳寺塔。是我國(guó)現(xiàn)存最古老的磚砌佛塔。嵩岳寺塔的底面是正12邊形,塔身為拋物線形。在全國(guó)現(xiàn)存的占塔中,12邊形寶塔已是獨(dú)一無二,再加上拋物線形側(cè)面,就更為別致了。嵩岳寺塔建于公元523年(北魏)。塔身有15層,高約40米。第一層外形是正1 2邊形,從第二層開始改為正8邊形,底層直徑10.16米,往上各層尺寸分別按適當(dāng)比例收縮,使塔的側(cè)面輪廓成為流暢的拋物線形。

另外,數(shù)學(xué)知識(shí)還廣泛運(yùn)用于建筑學(xué)計(jì)算中。

(1)一元一次不等式的應(yīng)用舉例：勞動(dòng)生產(chǎn)率的計(jì)算,鋼筋錨固長(zhǎng)度的確定,配料允許范圍的計(jì)算。例如：某工程的混凝土計(jì)劃每立方米用水泥320公斤,施工配料于要求的允許偏差不超過2%。問配制每一立方米混凝土水泥用量的允許范圍為多少? 需要用一元一次不等式來解。

(2)斜三角形邊、角計(jì)算的應(yīng)用舉例：吊裝鋼索內(nèi)力的計(jì)算、屋架有關(guān)長(zhǎng)度的計(jì)算、三角形地塊面積的計(jì)算。例如吊裝的鋼索內(nèi)力的計(jì)算。建筑工地上常用兩個(gè)定滑輪共同吊起一個(gè)重物。用這種方法既能把重物作上,下運(yùn)動(dòng),又易于把重物向左、右移動(dòng)。如果已知兩根鋼索與鉛垂線的夾角分別為30度和45度,物體的重量為1000公斤,求兩根鋼索所受的拉力用到了正弦定理。

(3)建立函數(shù)關(guān)系的舉例：梁的支座反力與梁上荷載作用位置的函數(shù)關(guān)系、吊車吊臂長(zhǎng)度與吊臂張角的函數(shù)關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題時(shí),必須掌握問題中出現(xiàn)的變量的變化情況以及它們之間相互聯(lián)系和相互制約的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系,也就是需要建立函數(shù)關(guān)系。實(shí)際問題是多種多樣的,建立函數(shù)關(guān)系式也沒有一個(gè)統(tǒng)一的方法,必須具體問題具體分析。通常,先分析所給問題中的數(shù)量關(guān)系,確定自變量與因變量,并用字母把它們表示出來,再根據(jù)問題中所給的條件,運(yùn)用數(shù)學(xué),物理、力學(xué)等方面的知識(shí),確立等量關(guān)系,從而列出函數(shù)表達(dá)式。

(4)二次函數(shù)與拋物線的應(yīng)用舉例：拋物線拱的計(jì)算、梁的彎矩圖的繪制。拋物線拱的計(jì)算所謂拋物線拱,就是由拋物線弧構(gòu)成的拱,其中拋物線弧的水平長(zhǎng)度稱為拋物線拱的跨度,常用I表示,拋物線弧的垂直高度稱為拋物線拱的矢高,常用f表示。由于拋物線拱具有力學(xué)性能好、省材料等優(yōu)點(diǎn),所以廣泛地應(yīng)用于土木工程中,如拋物線拱屋蓋(或屋架)、拋物線拱橋等。梁的彎矩圖的繪制在結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析中,經(jīng)常用到二次函數(shù)。

(5)函數(shù)圖形凹向判定法與函數(shù)圖形的描繪用于荷載作用下梁撓曲線的形狀分析。函數(shù)圖形的凹向這個(gè)概念,在分析鋼筋混凝土梁在荷載作用下的彎曲變形時(shí),是個(gè)很有用的概念。當(dāng)梁向上凹時(shí),梁的軸線下部受拉,上部受壓,這時(shí)梁內(nèi)承受拉力的鋼筋就應(yīng)設(shè)在梁的下部,當(dāng)梁向下凹時(shí),梁的軸線下部受壓,上部受拉,這時(shí)梁內(nèi)承受拉力的鋼筋就應(yīng)設(shè)在梁的上部。

(6)最大值、最小值問題的應(yīng)用舉例：制作容器的最省材料問題、圓木加工的最大承載能力問題、結(jié)構(gòu)吊裝的最大高度與最小臂長(zhǎng)問題。在建筑工地上,有時(shí)會(huì)遇到這樣的問題：根據(jù)施工用水的需要,想創(chuàng)作一個(gè)容積一定的開口水池,問如何選擇形狀與尺寸,使所用的建筑材料最省。結(jié)構(gòu)吊裝的最大高度與最小臂長(zhǎng)問題在建筑工地上,經(jīng)常用吊車把建筑構(gòu)件吊裝到預(yù)定的位置上去。這時(shí)會(huì)遇到下列兩個(gè)問題：(a)當(dāng)?shù)踯嚨男吞?hào)一定,建筑構(gòu)件的尺寸一定,問能否把建筑構(gòu)件吊到預(yù)定的高度? (b)當(dāng)建筑構(gòu)件的尺寸一定,吊裝的高度一定,問某種型號(hào)的吊車能否把建筑構(gòu)件吊上去。

(7)弧長(zhǎng)的微分與曲率用于直梁彎曲程度的計(jì)算。僅僅討論了函數(shù)圖形的彎曲方向——凹向,但還不夠。例如,在外力作用下,梁會(huì)發(fā)生彎曲,彎曲到一定程度,就可能影響使用(對(duì)于吊車梁,會(huì)影響天車的往返行駛),甚至發(fā)生斷裂。因此設(shè)計(jì)梁時(shí)必須考慮梁在荷載作用下彎曲的程度。用到了曲率的計(jì)算。

(8)平面圖形面積與一些立體體積的計(jì)算舉例：圓臺(tái)體體積計(jì)算、擬柱體體積計(jì)算,拋物線牛腿形混凝土塊的體積計(jì)算。平面曲線的弧長(zhǎng)與旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)让娣e的計(jì)算舉例：拋物線拱屋蓋的長(zhǎng)度計(jì)算、橢圓薄殼基礎(chǔ)中橢圓形鋼筋的長(zhǎng)度計(jì)算、雙曲線冷卻塔通風(fēng)筒的側(cè)面積計(jì)算。這些都是定積分的應(yīng)用。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)與各專業(yè)充分聯(lián)系起來,還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性。使看來十分枯燥的數(shù)學(xué)內(nèi)容與豐富多彩的外部世界之問架起橋梁。事實(shí)上,這種教學(xué)內(nèi)容改革的思想的滲透可以把數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用穿插起來,這就不僅能增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的目的性,增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),而且也將在填補(bǔ)數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用的鴻溝上起到很大作用。