基于優(yōu)化函數(shù)的PID參數(shù)整定技術(shù)在液壓振動(dòng)臺(tái)上的應(yīng)用

謝海波， 杜澤鋒， 盧俊廷， 張?zhí)垼?楊華勇

(浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 浙江杭州 310027)

引言

液壓伺服系統(tǒng)具有輸出力大、響應(yīng)頻率高、控制精度高等優(yōu)點(diǎn)，在工程中被廣泛應(yīng)用。通常，液壓伺服系統(tǒng)簡單有效的控制策略為PID控制。在計(jì)算機(jī)進(jìn)入控制領(lǐng)域之前，PID控制主要是通過電路硬件的方式實(shí)現(xiàn)，其調(diào)試過程花費(fèi)時(shí)間較長，效率較低。在計(jì)算機(jī)進(jìn)入控制領(lǐng)域之后，PID控制逐漸采用數(shù)字計(jì)算機(jī)組成的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)來進(jìn)行控制。通過軟件程序的編寫，PID控制更加靈活。目前，數(shù)字PID控制是生產(chǎn)過程中最普遍采用的控制方法，在多行業(yè)工程中獲得了廣泛的應(yīng)用。

然而PID控制的參數(shù)調(diào)定，一直以來都是困擾科研人員的一大難題。目前研究領(lǐng)域調(diào)定PID參數(shù)主要的兩種方法，一種是借助工程經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行試湊，另一種是借助計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行仿真。計(jì)算機(jī)仿真法因數(shù)學(xué)模型不夠準(zhǔn)確，調(diào)定的PID參數(shù)可靠性較低；經(jīng)驗(yàn)試湊法調(diào)定的PID參數(shù)效果較好，但參數(shù)調(diào)定效率較低，且精度不高。因此本研究提出了一種精確系統(tǒng)辨識(shí)并基于最優(yōu)求解函數(shù)的PID快速整定方法。該方法在搭建的伺服實(shí)驗(yàn)臺(tái)上取得了較好的效果，對(duì)工程控制有普遍借鑒意義。

1 高頻液壓伺服振動(dòng)臺(tái)

實(shí)驗(yàn)臺(tái)搭建的液壓伺服控制系統(tǒng)主要構(gòu)成有力反饋兩級(jí)電液伺服閥和雙出桿伺服油缸。

1.1 力反饋兩級(jí)電液伺服閥

力反饋兩級(jí)伺服閥如圖1所示，這種伺服閥由于銜鐵和擋板均在中位附近工作，所以線性好。對(duì)力矩馬達(dá)的線性度要求也不高，可以允許滑閥有較大的工作行程。

圖1 力反饋兩級(jí)伺服閥結(jié)構(gòu)圖

這種伺服閥的簡化方框圖如圖2所示，進(jìn)而可以推出伺服閥的傳遞函數(shù)為:

(1)

圖2 力反饋伺服閥的簡化方塊圖

在伺服系統(tǒng)中，通常以電流作為輸入?yún)?shù)，伺服閥的動(dòng)態(tài)響應(yīng)往往高于動(dòng)力元件的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，通常還可以進(jìn)一步簡化為二階振蕩環(huán)節(jié)，即:

(2)

ωsv—— 伺服閥固有頻率

ξsv—— 伺服閥阻尼比

1.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型簡化

該液壓系統(tǒng)參與數(shù)學(xué)建模的主要部分為：力反饋兩級(jí)電液伺服閥和帶位移反饋的伺服油缸。

伺服閥控制液壓缸的環(huán)節(jié)，在考慮負(fù)載質(zhì)量mt、忽略油液體積變化(即認(rèn)為油液有效體積模量為無窮大)、負(fù)載無阻尼和彈性作用時(shí)，閥控缸環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可以簡化為式(3)的二階環(huán)節(jié)。

(3)

式中,ω1為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。

根據(jù)伺服閥和閥控缸的簡化模型得到系統(tǒng)的方塊圖如圖3所示。

圖3 簡化后的系統(tǒng)方塊圖

由方塊圖的化簡可以得出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)階次。推知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為4階0次(即4個(gè)極點(diǎn)，無0點(diǎn))。

1.3 基于MATLAB的系統(tǒng)辨識(shí)

伺服閥的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，不便于拆卸與試驗(yàn)，因此伺服閥的關(guān)鍵參數(shù)不便于獲取。但實(shí)驗(yàn)臺(tái)搭建完成后，伺服缸的位移數(shù)據(jù)比較容易采集。因此給系統(tǒng)輸入特定波形，采集伺服缸的位移數(shù)據(jù)，然后借助MATLAB的系統(tǒng)辨識(shí)工具箱，識(shí)別出系統(tǒng)的各階次系數(shù)，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，基于MATLAB的系統(tǒng)辨識(shí)的流程如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)辨識(shí)流程圖

首先對(duì)系統(tǒng)輸入1組地震波形數(shù)據(jù)，該波形的主頻范圍在0～200 Hz。采集油缸的位移反饋信號(hào)，采集到的波形如圖5所示。

圖5 28 MPa隨機(jī)波形輸入輸出結(jié)果

已經(jīng)推知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以簡化為4階0次。將輸入給實(shí)驗(yàn)臺(tái)的樣本波形數(shù)據(jù)與采集到的油缸位移數(shù)據(jù)輸入到MATLAB的系統(tǒng)辨識(shí)工具箱中。設(shè)定待擬合的系統(tǒng)階次為4階0次，經(jīng)MATLAB計(jì)算，可以識(shí)別出的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式(4)：

(4)

(注：式中傳遞函數(shù)中，en代表10n)

對(duì)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行Simulink模型搭建，因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)在低頻時(shí)的跟隨特性較好，因此閉環(huán)傳遞函數(shù)中的零階系數(shù)可以近似等于3.117×1011，因此可以搭建出Simulink模型如圖6所示，其中數(shù)值限制模塊是為了模擬電壓輸出板卡的輸出電壓范圍為0～±10 V。

圖6 系統(tǒng)的Simulink模型

對(duì)模型進(jìn)行仿真，比較仿真系統(tǒng)的輸出波形與輸入波形，比較結(jié)果如圖7所示。同時(shí)，將仿真模型輸出波形與試驗(yàn)得到的實(shí)際油缸位移波形進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖8所示，數(shù)據(jù)顯示2個(gè)波形的擬合度高達(dá)81.5%。雖然可以看出仿真波形和實(shí)驗(yàn)輸出波形基本重合，但仿真模型在穩(wěn)態(tài)特性和瞬態(tài)特性上的可靠性還需要對(duì)比進(jìn)一步驗(yàn)證。

圖7 Simulink仿真輸出結(jié)果

圖8 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖

利用正弦波進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過比較仿真輸出波形與理論波形在時(shí)間和相位上的滯后量以及幅值上的差值，驗(yàn)證系統(tǒng)模型的高頻可靠性。構(gòu)建的正弦波仿真模型如圖9所示。因振動(dòng)臺(tái)的性能主要體現(xiàn)在高頻響應(yīng)，因此選擇頻率較高的90 Hz正弦波作為測試波形。

圖9 Simulink正弦仿真模型

通過仿真模型仿真得到的結(jié)果如圖10所示。在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行測試，輸入同樣頻率及幅值的正弦信號(hào)，得到的結(jié)果如圖11所示。對(duì)比實(shí)驗(yàn)測得的結(jié)果與仿真結(jié)果，從關(guān)鍵參數(shù)看出，波形的滯后均為0.004 s，即相位滯后129.6°。仿真波形振幅的超調(diào)量為2.17%，而實(shí)驗(yàn)的振幅波形超調(diào)量2.16%。通過該組波形的對(duì)比得知，MATLAB的系統(tǒng)辨識(shí)的模型與原系統(tǒng)的相似度較高，可以作為仿真模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

圖10 Simulink正弦波仿真結(jié)果

圖11 實(shí)驗(yàn)臺(tái)90 Hz正弦波實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2 常見PID控制策略

PID控制算法被廣泛應(yīng)用于各大工程項(xiàng)目之中，能適用于大部分的線性及非線性項(xiàng)目。目前PID控制算法已經(jīng)比較成熟。針對(duì)的液壓伺服振動(dòng)臺(tái)，選擇了以下3種合適的PID控制策略進(jìn)行分析。

2.1 基本PID控制算法

基本PID控制主要由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)及微分環(huán)節(jié)組成。比例環(huán)節(jié)用以減小誤差，積分環(huán)節(jié)用以消除誤差，微分環(huán)節(jié)主要在加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

仿真模型中的PID控制器的傳遞函數(shù)為式(5)。在Simulink中建立的基本PID的仿真模型如圖12所示。

(5)

圖12 基本PID控制Simulink仿真圖

2.2 分離式PID控制算法

在振動(dòng)臺(tái)控制系統(tǒng)中加入PID控制策略的主要為了提高系統(tǒng)的快速性，系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性是相對(duì)矛盾的兩個(gè)因素。增加了PID控制環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)快速性得到提升的同時(shí)，超調(diào)量也會(huì)相對(duì)增大。因此，希望在誤差信號(hào)較大時(shí)和誤差信號(hào)較小時(shí)用兩組PID控制器進(jìn)行分別控制。在誤差較大時(shí)，主要以增加系統(tǒng)快速性為主，在誤差信號(hào)較小時(shí)，主要以減小系統(tǒng)超調(diào)量為主。兩組PID控制器的調(diào)用，以誤差信號(hào)的大小作為觸發(fā)信號(hào)。在Simulink中建立的仿真模型如圖13所示。

2.3 微分先行PID控制算法

圖14為微分先行PID控制算法的原理方塊圖。

圖14 微分先行PID控制原理方塊圖

圖13 分離式PID Simulink控制模型

圖15 微分先行PID控制Simulink仿真圖

的特點(diǎn)是只對(duì)輸出量進(jìn)行微分而對(duì)輸入量不進(jìn)行微分。因?yàn)樵谳斎氲卣鸩〞r(shí)，輸入量通常是變化比較頻繁的，而輸出量變化比較緩和。這樣的PID控制策略可以避免因?yàn)榻o定量劇烈變化而帶來的系統(tǒng)震蕩。

在Simulink中搭建該P(yáng)ID控制算法的仿真圖，如圖15所示。

3 優(yōu)化函數(shù)的運(yùn)用

在MATLAB中的最小平方函數(shù)為lsqnonlin，設(shè)定需要整定的參數(shù)，便可以在指定范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解。優(yōu)化函數(shù)的求解步驟如圖16所示。

圖16 優(yōu)化函數(shù)求解步驟流程圖

3.1 基本PID控制仿真求解

利用MATLAB與Simulink聯(lián)合仿真，均設(shè)定PID初始值為[Kp,Ki，Kd，N]=[1 0 0 100]，求解范圍為：下限矩陣=[0 0 0 0],上限矩陣=[100 100 100 10000]，求解步長=[1e-3 1e-5 1e-5 1e-2];

用10 Hz的正弦波進(jìn)行誤差求解，求得的PID的最優(yōu)矩陣為:

[Kp，Ki，Kd，N]=[0.9007 2.1365 1.838e-4 3413.3]

利用求解得到的參數(shù)，進(jìn)行地震波曲線輸出，圖17為基本PID仿真輸出結(jié)果。

圖17 基礎(chǔ)PID參數(shù)優(yōu)化仿真輸出結(jié)果

對(duì)仿真結(jié)果與原實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果如圖18所示，可以看出，無PID控制的閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于80 Hz以上的頻率響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)明顯的超調(diào)，表現(xiàn)為80～135 Hz，振幅超調(diào)，130 Hz以后迅速衰減。而加入經(jīng)過參數(shù)最優(yōu)化處理的基本PID控制后，系統(tǒng)在80～135 Hz處的超調(diào)現(xiàn)象得到了較好的抑制，曲線在0～135 Hz對(duì)原波形的復(fù)現(xiàn)效果較好。

圖18 基礎(chǔ)PID仿真頻譜對(duì)比分析

觀察得知，加入PID控制的閉環(huán)系統(tǒng)與未加PID控制的閉環(huán)系統(tǒng)，對(duì)90 Hz左右的波形有較為明顯的改善。在仿真系統(tǒng)中輸入90 Hz的正弦波，輸出的結(jié)果如圖19所示。從90 Hz的正弦波仿真結(jié)果可以看出，加入了最優(yōu)參數(shù)PID后的曲線能夠較好地跟蹤上樣本的輸入，而無PID校正的閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)該輸入波形跟蹤情況較差。

圖19 90 Hz正弦波仿真結(jié)果

3.2 特殊PID控制方式的最優(yōu)求解

設(shè)定參數(shù)，可以對(duì)其余PID控制方式進(jìn)行最優(yōu)化求解。

對(duì)于分離式PID的求解，設(shè)定的參數(shù)為兩個(gè)PID控制器的8個(gè)參數(shù)[Kp1,Ki1,Kd1, N1,Kp2,Ki2,Kd2,N2]以及誤差分界點(diǎn)參數(shù)e。設(shè)定e的求解范圍為[0 1]，求解步長為0.0001。最終求解的結(jié)果為[Kp1,Ki1,Kd1,N1，Kp2，Ki2，Kd2，N2，e]=[0.2928 8.0853e-30 0.0071 111.2958 0.8073 9.9678e-5 0.0011 33.1529 0.1994]。

用90 Hz的正弦波進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如圖20所示，發(fā)現(xiàn)跟蹤效果并無明顯改善且輸出曲線出現(xiàn)偏置現(xiàn)象。

圖20 90 Hz分離式PID仿真結(jié)果

對(duì)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能進(jìn)行驗(yàn)證。輸入單位階躍信號(hào)，輸出的結(jié)果如圖21所示?？梢钥闯?，在無PID控制時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量大于20%，而加入?yún)?shù)優(yōu)化后的分離式PID控制后的系統(tǒng)的超調(diào)量為5%。故加入?yún)?shù)優(yōu)化后的分離式PID控制，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能得到了較好地改善。

圖21 分離式PID階躍響應(yīng)仿真結(jié)果

3.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法可行性

仿真求解得到兩組最優(yōu)解，通過實(shí)驗(yàn)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

一組為基本PID控制最優(yōu)參數(shù)，用與仿真相同的地震波及頻率90 Hz、振幅1 mm的正弦波進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果如圖22～圖24所示?？梢钥闯?，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果一致。

圖22 基礎(chǔ)PID參數(shù)優(yōu)化實(shí)驗(yàn)輸出結(jié)果

圖23 基礎(chǔ)PID實(shí)驗(yàn)頻譜對(duì)比分析

另一組為分離式PID控制的最優(yōu)參數(shù)。因?yàn)樵撍惴▋H對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)有較好的控制效果，因此用單位階躍輸入對(duì)仿真進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖25所示?？梢钥闯觯抡娴哪Ｐ团c系統(tǒng)真實(shí)模型，瞬態(tài)性能仍存在一定的差異。但代入最優(yōu)化參數(shù)后的分離式PID控制后，超調(diào)量由原先的30%降到了7%，穩(wěn)定時(shí)間由原先的0.11 s降為0.06 s，對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能仍有較大的改善。

圖24 90 Hz正弦波實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖25 分離式PID階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

本研究介紹了一種利用MATLAB系統(tǒng)識(shí)別與優(yōu)化函數(shù)迭代求解對(duì)PID控制參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)調(diào)節(jié)的方法，并介紹了對(duì)基本PID控制器參數(shù)的最優(yōu)調(diào)整與對(duì)分離式PID控制器的參數(shù)調(diào)整，可以通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果看出基本的PID控制器的最優(yōu)解，能夠較好地降低系統(tǒng)的諧振峰值， 改善系統(tǒng)中高頻的跟蹤性能。分離式PID的最優(yōu)化求解雖然對(duì)系統(tǒng)的中高頻性能改善不明顯，但對(duì)于系統(tǒng)的瞬態(tài)性能有較為明顯的提升。這種基于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的PID最優(yōu)化求解方法適用于大部分工程PID控制器的參數(shù)調(diào)試，對(duì)提高PID控制器參數(shù)調(diào)試效率有較大幫助，對(duì)工程中PID控制器的調(diào)試具有普遍借鑒意義。